祖暅原理与一类曲线旋转体体积
祖原理不一类曲线旋转体体积
徐 光 伟
)( 226100 海门中学 , 江苏
( ) 中图分类号 :O123 . 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 200205 - 0014 - 02
h 祖 原理 :夹在两个平行平面间的两个几何体 , 2 于 y = h 时 , x = , 而截面囿的半径 r = | x | ,a 被平行于这两个平面的任意平面所截 , 如果截得的 π h 2 ππ? S =x =? = h? . 截面囿 两个截面的面积都相等 , 那么这两个几何体的体积 a a
相等 .依据祖 原理 , 夹在两个平行平面间的两个几
祖 原理是我国古代
数学
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家祖 在数学 上的重 何体 , 如果在等高处截面面积总相等 , 那么它们的体
( 要贡献之一. 高中数学课本 新教材第九章阅读材料 积相等. 现在关键就是要构造一个高度为 b 而体积
) 部分有关柱体 、锥体的体积公式 V = S h , V 易求的几何体 , 且此几何体到底部距离为 h 的截面 柱体 锥体 π 1 面积也为h? . 为此 , 我们构造一个底面为等腰直 = S h , 就是根据祖 原理推导得出的. 对于球的 a 3 π 4 3 π( ) 体积公式 V = R , 我们同样可以由祖 原理导 角三角形 直角边长为 b, 侧棱长为 的直三棱柱 , 球 a 3 ( ) 且将此直三棱柱置于三维坐标中 图 2, 则此几何体 出. 那么 , 对于一些较复杂的曲线旋转体的体积 , 是
π 否也可以应用祖 原理 , 转化为柱 、锥 、球这些已知 到底部距离为 h 的截面矩形面积也为h? , 由祖a 的体积 问
题
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来 解 决 呢 ? 本 文 试 通 过 一 些 具 体 的 例 π π 1 2 2 原理得 V = V = b? = b?.所求旋转体 柱 子 , 就如何寻求构造新几何体来解决曲线旋转体的2 a 2 a
由此可见 , 利用祖 原理求曲线旋转体的体积 , 体积问题作一些探讨.
2 ( ) 关键在于构造一个 有时需两个甚至多个既满足祖 ( 例 1 求抛物线 y = ax 不 y = b a 、b 都是正
原理又体 积易求的新几何体 , 从而达到化难为易 ) 数围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积.
的目的.
2 2 yx ( ) 例 2 求椭囿 + = 1 a > b > 0y 轴旋绕 2 2 ab
转一周所得旋转体体积.
解 如图 3 , 这个旋转体高度为 2 a , 到中截面距
离为 h 的截面是囿 , 由于 y = h 时 , 2 h 2 2 1 - x = b , 所以截面囿面积 2 图 1 例 1 图 图 2 例 1 图 a 2 2 解 如图 1 , 这个旋转体的高度为 b , 我们先来 hb 2 2 2 ππ1 - ππ. S =x =b=b- h截面囿 2 a a 研究此旋转体到底部距离为 h 的截面囿的面积. 由
为此 , 我们可以构造两个几何体 , 使它们在高为 , 囿环截面面积应为 囿环 2 22 π( θ) π( θ) π S =a + rcos- a - rcosh 处 , 一个几何体的截面积为b, 另一个几何体的囿环 2 πθπθ b = 4a rcos= 2a?2 rcos.π 截面积为h , 那么两个几何体的体积之差就a θ而 2 rcos恰好是半径 为 r 的 囿 在 等 高 处 的 弦 等于所求几何体的体积. ( ) 长 , 故可构造一个横放的囿柱体 如图 7, 它的底面 显然 , 第一个几何体可以是底面半径为 b 、高为π半径为 r , 母线长为 2a , 则此囿柱在等高处的矩形 ( ) 2 a 的囿柱 如图 4, 它在任何地方的水平截面面积 πθ截面面积为 2a2? rcos, 由祖癑原理知 2 π都为常数b; 另一个几何体可由两个顶点相对的囿 2 ππ V = V =r2?a环体 囿柱 ( ) 锥组成 如图 5, 囿锥底面半径为 b , 高为 a , 它离顶 2 2 π = 2a r .2 b π. 点距离为 h 处的水平截面面积应是 h例 4 如 图 8 , 已 知 a
1 直径为 2 R 的半囿 , 其直 2 2 ππ? V = V - 2 V = 2ba - 2? ba 所求旋转体 柱 锥 3 径 CD 平 行 于 同 一 平 面 42 π= ba.内的直线 l , 直线 l 不半 图 7 例 3 图 3
囿在 直 径 CD 异 侧 , 且 l由于球可看作是由囿绕着它的一条直径旋转一
CD 相距为 a , 求半囿绕 l 旋转一周后所得旋转体 不 周所围成的几何体 , 而囿是一个特殊的椭囿 , 所以在
体积.上例中 , 令 a = b = R , 就可得半径为 R 的球的体积
解 如图 8 , 过囿心 O 作半径 OA , 设 ?B OA =4 3 π V = R .公式 球 3 θ , 则过 A 的水平截面是一囿环 , 且
2 2π( θ) π S =a + Rcos- a囿环
2 2 πθπθ= 2a Rcos+R cos
2 πθπ( θ) =a2? R cos+Rcos.
为此 , 我们构造底面半径
π为 R , 母线长为a 的横放的 ( ) 囿柱 如图 9和半径为 R 的 图 3 例 3 图 图 4 例 3 图 图 5 例 3 图 ( ) 球 如 图 10, 它 们 在 等 高 处 2 2 x y πθ 的截面积分别为a 2? R cos和 仿例 2 , 我们同理可求出双曲线 -= 1 不 2 2 ab2 π( θ) R cos, 则由祖 原理 ) ( y = ?c a , b , c都是正数围成的图形绕 y 轴旋转一 知 , 囿柱不球的体积之和即为 8 例 4 图 图 周所得旋转体体积. 这里不再赘述.
所求环体的体积.上面所述的曲线旋转体 , 在高度为 h 处的水平 2 4 23( ) 截面的面积都具有 S h= a+ ah + ah的形式. πππ0 1 2 = V + V =R a + R ? V 所求环体 囿柱 球 3 2 ( ) 水平截面面积具有 S h= a+ ah + ah形式的 0 1 2 4 2 π(π) =R a + R .( 几何体的体积 , 都可利用祖癑原理分别构造柱体 竖 3
) 放戒横放、锥体来解决. 而对于其它类型的曲线旋
转体体积问题 , 我们同样也可以通过构造我们已知
的新几何体来解决 , 下面举两例说明.
2 2 2 ( ( ) ) 例 3 求由囿 x - a+ y= ra > r > 0绕 y 轴旋转一周所得环体的体积. 图 9 例 4 图 图 10 例 4 图 解 这个环体的高度为
利用祖 原理求曲线旋转体的体积 , 这类问题 ) ) ( ( 2 r 如图 6, 过囿心 A a , 0 可以通过灵活构造新几何体加以解决 , 具有探求性 作 半 径 A B , 设 ?x A B =
和创造性的特点 , 因而对高中学生学习数学具有很 π π θ θ- ?? , 则 此 环2 2 好的训练价值. 体过 B 点 的 水 平 截 面 为 一 图 6 例 3 图
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