均值不等式的证明(精选多篇)

均值不等式的证明(精选多篇) 均值不等式的证明(精选多篇) 均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇:常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d-17xy+4?0 即证0 a-c=0 即:1/?-1/【2?*】 那么 1/+1/+1/ ?1/+1/-1/【2?*】 ?2/【?*】-1/【2?*】=/【2?*】 0 三、 1、调和平均数:hn=n/2、几何平均数:gn=^3、算术平均数:an=/n4、 平方平均数:qn=?/n这四种平均数满足hn?gn?an?qn的式子即 为均值不等式。 概念: 1、调和平均数:hn=n/ 2、几何平均数:gn=^ 3、算术平均数:an=/n 4、平方平均数:qn=? 这四种平均数满足hn?gn?an?qn a1、a2、„、an?r+，当且仅当a1=a2=„=an时劝=”号 均值不等式的一般形式:设函数d=^; ^=^) 则有:当r注意到hn?gn?an?qn仅是上述不等式的特殊情形，即 d?d?d?d 由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/??ab?/2?? 方法很多，数学归纳法、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等 式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理:设a?0，b?0，则^n?a^n+na^b。 注:引理的正确性较明显，条件a?0，b?0可以弱化为a?0，a+b?0, 有兴趣的同学可以想想如何证明。 原 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 等价于:/n)^n?a1a2„an。 当n=2时易证; 假设当n=k时命题成立，即 /k)^k?a1a2„ak。那么当n=k+1时，不妨设a是a1，a2，„，a中 最大者，则 ka?a1+a2+„+ak。 设s=a1+a2+„+ak， {/}^ ={s/k+/}^ ?^+^k/k用引理 =^k*a ?a1a2„a。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式:上凸函数f，x1,x2,...xn是函数f在区间内的任意n 个点， 则有:f?1/n* 设f=lnx，f为上凸增函数 所以，ln?1/n*=ln 即/n?^ 在圆中用射影定理证明。 第三篇:均值不等式的证明 均值不等式的证明 设a1,a2,a3...an是n个正实数，求证/n?n次?.要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把 对n做反向数学归纳法 首先 归纳n=2^k的情况 k=1。。。 k成立k+1。。。 这些都很简单的用a+b =?可以证明得到 关键是下面的反向数学归纳法 如果n成立对n-1， 你令an=次? 然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。 所以得证 n=2^k中k是什么范围 k是正整数 第一步先去归纳2，4，8，16，32...这种2的k次方的数 一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。 而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳， 指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。 请赐教! sqrt{}?/n?n次根号?n/ 证明: 1.sqrt^2+^2+..^2)/n)?/n 两边平方,即证^2+^2+..^2)?^2/n 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了: 柯西不等式变式: a1^2/b1+a2^2/b2+...an^2/bn?^2/ 当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn是等号成立 只要令b1=b2=...=bn=1，代入即可 柯西不等式 *?^2 2./n?n次根号 琴生不等式:若f在定义域内是凸函数，则nf/n)?f+f+...f 令f=lgx显然，lgx在定义域内是凸函数 nf/n)=nlg? f+f+...f=lga1+lga2+lga3...lgan=lga1*a2..an 也即lg?1/n=lg^=lgn次根号 f在定义域内单调递增，所以/n?n次根号 原不等式即证:a1^n+a2^n+...an^n?na1a2a3...an 先证明a^n+b^n?a^b+b^a做差-b^)?0 2*?a1^a2+a2^a1+a2^a3+a3^a2...an^a1+a1^aan =a2+a3^)+a3+a4^)... ?a2a1^a3+a2a3^a1+...?...?2na1a2...an 即a1^n+a2^n+...an^n?na1a2a3...an 数学归纳法:但要用到^n 1+nx这个不等式，不予介绍 3.n次根号?n/ 原不等式即证:n次根号*?n 左边=n次根号+n次根号++n次根号+...n次根号 由2得和?n*n次根号所以左边?n*n次根号=n 所以?n/ 证毕 特例:sqrt?/2?sqrt?2/1/a+1/b 证明: 1.sqrt?/2两边平方a^2+b^2?^2/4即证^2?0显然成立 2./2?sqrt移项即证-sqrt)?0显然成立 此不等式中a+b可以表示一条直径的两部分，/2=rsqrt就是垂直于直径的弦，而r?弦的一半 3.sqrt?2/1/a+1/b两边同时乘上1/a+1/b即证sqrt*?2 而sqrt*=sqrt+sqrt?2。 第四篇:均值不等式及证明 一、均值不等式 (一)概念: 第五篇:均值不等式的证明方法 柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong(数学之家) 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是an?gn: 一些大家都知道的条件我就不写了 x1?x2?...?xn n ? x1x2...xn 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在 再次提出: 二维已证，四维时: a?b?c?d???2ab?2cd?4八维时: ??4abcd?4efgh?8abcdefgh abcd ?4abcd 这样的步骤重复n次之后将会得到 x1?x2?...?x2n 2 n ? 2 n x1x2...x2n 令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2? n x1?x2?...?xn n ?a 由这个不等式有 a? na?a 2 nn ? 2 n x1x2..xna 2?n n ?2a n 1? n2 n 即得到 x1?x2?...?xn n ? n x1x2...xn 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个 竞赛题的例子: 例1: n 若0?ai?1证明? i?1 11?ai ? n 1?n 例2: n 若ri?1证明? i?1 1ri?1 ? n 1?n 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的 归纳法: 给出例1的证明: 当n?2时11?a1 ? 11?a2 ? ??2 设p?a1?a2,q? ??2 ?p?2q?pq?2q?p?2q?p?2q，而这是2元均值不等式因此11?a1? ? 11?a22 n ? 11?a3 ? 11?a4 ?? 此过程进行下去 n ? 因此? i?1 1?ai 1?2 n 令an?1?an?2?...?a2n?n?g n 有? i?1n 11?ai 11?ai ? n 11?g ? n n2?n n ? n 1? n 1?g 即? i?1 例3: 已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都?1,记r?t? n 1n n ?r,s ii ? 1n n ?s i i 1n n ?t,u ii ? 1n n ?u i i ,v? 1n n ?v，求证下述不等式成立: ii ? i?1 ? n 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式 其实由均值不等式，以及函数f?ln因此 e?1e?1 x x 是在r上单调递减 rstuv? ? ? n 我们要证明: n ?? 证明以下引理: n ?? n?2时，??2 ?a? ?2a?a??2a ??2a显然成立 2?n n n 因 此?? 2?n n ?，g? n ? 因此?? 所以原题目也证毕了 这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明jensen: f?f ?f，则四维: f?f?f?f?2f?2f?4f 一直进行n次有 f?f?...?f n ?f, 令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2? n x1?x2?...?xn n n ?a 有 f?...?f?f n n ?fa n )?f 所以得到 f?f?...?f n ?f 所以基本上用jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比jensen的限制更少 其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件 均值不等式的证明,