一(选择题(共2小题)
1(如图,已知动点P在函数y=(x,0)的图象上运动,PM?x轴于点M,PN?y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y=,x+1交于点E,F,则AF•BE的值为( )
A( B( C( D( 4 2 1
考点: 反比例函数综合题。
专题: 动点型。
分析: 由于P的坐标为(a,),且PN?OB,PM?OA,那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示,那么BN、
NF、BN的长度也可以用a表示,接着F点、E点的也可以a表示,然后利用勾股定理可以分别用a表示
AF,BE,最后即可求出AF•BE(
解答: 解:?P的坐标为(a,),且PN?OB,PM?OA,
?N的坐标为(0,),M点的坐标为(a,0),
?BN=1,,
在直角三角形BNF中,?NBF=45?(OB=OA=1,三角形OAB是等腰直角三角形),
?NF=BN=1,,
?F点的坐标为(1,,),
同理可得出E点的坐标为(a,1,a),
2222222?AF=(,)+()=,BE=(a)+(,a)=2a,
222?AF•BE=•2a=1,即AF•BE=1(
故选C(
点评: 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标,进而通过坐标系中两点的距离公式得出所
求的值(
22(如图,抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B(若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为( )
A( B( C( D(
考点: 二次函数综合题。
分析: 首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点
A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与x=的交点是E,与x轴的交点是F,
而且易得A′B′即是所求的长度(
解答: 解:如图
2?抛物线y=x,x,与直线y=x,2交于A、B两点,
2?x,x,=x,2,
解得:x=1或x=,
当x=1时,y=x,2=,1,
当x=时,y=x,2=,,
?点A的坐标为(,,),点B的坐标为(1,,1),
?抛物线对称轴方程为:x=,=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,
连接A′B′,
则直线A′B′与x=的交点是E,与x轴的交点是F,
?BF=B′F,AE=A′E,
?点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,
延长BB′,AA′相交于C,
?A′C=++(1,)=1,B′C=1+=,
?A′B′==(
?点P运动的总路径的长为(
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故选A(
点评: 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用(注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数
形结合与方程思想的应用(
二(解答题(共28小题)
6((2004•长沙)如图,等腰梯形ABCD,AD?BC,AD=3cm,BC=7cm,?B=60?,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连接AP,过P作?APE=?B,交DC于E(
(1)求证:?ABP??PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的长;
(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DE:EC=5:3,如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由(
考点: 等腰梯形的性质;解分式方程;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质。 专题: 几何综合题。
分析: (1)欲证?ABP??PCE,需找出两组对应角相等;由等腰梯形的性质可得出?B=?C,根据三角形外角
的性质可证得?EPC=?BAP;由此得证;
(2)可过作AF?BC于F,由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半,在Rt?ABF中,根据?B的
度数及BF的长即可求得AB的值;
(3)在(2)中求得了AB的长,即可求出DE:EC=5:3时,DE、CE的值(设BP的长为x,进而可表
示出PC的长,然后根据(1)的相似三角形,可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式,由此可得出关
于x的分式方程,若方程有解,则x的值即为BP的长(若方程无解,则说明不存在符合条件的P点( 解答: (1)证明:由?APC为?ABP的外角得?APC=?B+?BAP;
??B=?APE
??EPC=?BAP
??B=?C
??ABP??PCE;
(2)解:过A作AF?BC于F;
?等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,
?BF=,
Rt?ABF中,?B=60?,BF=2;
?AB=4cm;
(3)解:存在这样的点P(
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理由是:?
解之得EC=cm(
设BP=x,则PC=7,x
由?ABP??PCE可得
=,
?AB=4,PC=7,x,
?=
解之得x=1,x=6, 12
经检验都符合题意,
即BP=1cm或BP=6cm(
点评: 此题主要考查了等腰梯形的性质,以及相似三角形的判定和性质(
7(如图所示,已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合),过点P作PE?CP
交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,
(1)写出y与x的函数解析式,并指出自变量的取值范围; (2)如果?PCD的面积是?AEP面积的4倍,求CE的长; (3)是否存在点P,使?APE沿PE翻折后,点A落在BC上,证明你的结论(
考点: 二次函数的应用;勾股定理;翻折变换(折叠问题)。 分析: (1)运用三角形相似,对应边比值相等即可解决,
(2)运用三角形面积的关系得出,对应边的关系,即可解决, 解答: (1)解:?PE?CP,
?可得:?EAP??PDC,
?,
又?CD=2,AD=3,设PD=x,
AE=y,
?,
?y=,,
0,x,3;
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(2)解:当?PCD的面积是?AEP面积的4倍,
则:相似比为2:1,
?,
?CD=2,
?AP=1,PD=2,
?PE=,PC=2,
?EC=(
点评: 此题主要考查了相似三角形的判定,以及相似三角形面积比是相似比的平方(
29(如图,在直角坐标系xoy中,抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点(其中A在原点左侧,B在原点右侧),C为抛物线上一点,且直线AC的解析式为y=mx+2m(m?0),?CAB=45?,tan?COB=2( (1)求A、C的坐标;
(2)求直线AC和抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否存在点D,使得四边形ABCD为梯形,若存在,请求出点D的坐
标;若不存在,请说明理由(
考点: 二次函数综合题。
专题: 综合题。
分析: (1)已知了直线AC的解析式,可确定点A的坐标;过C作CM?x轴于M,在Rt?CAM中,AM=CM,
而CM=2OB,由此可得AO=BO,根据A点坐标即可确定点C的坐标(
(2)将C点坐标代入直线AC的解析式中,可求得m的值,进而确定直线AC的解析式;同理,将A、C
的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组求得抛物线的解析式(
(3)此题应分作两种情况考虑:
?AB?CD,此时CD与x轴平行,D、C两点关于抛物线的对称轴对称,因此D点坐标不难求得;
?AD?BC,首先根据抛物线的解析式求得点B坐标,进而可用待定系数法求得直线BC的解析式,由于直
线AD与BC平行,因此它们的斜率相同,根据A点坐标即可确定直线AD的解析式,然后联立抛物线的
解析式,即可求得交点D的坐标(
(由于此题已告知四边形ABCD字母的
书
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写顺序,因此无需考虑BD?AC等情况() 解答: 解:(1)直线AC:y=mx+2m(m?0)中,
当y=0时,mx+2m=0,m(x+2)=0,
?m?0,
?x=,2;
故A(,2,0);
过C作CM?x轴于M;
Rt?CAM中,?CAB=45?,则CM=AM;
Rt?COM中,tan?COM=2,则CM=2OM,
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故CM=2OM=2AM;
?OA=2,则OM=2,CM=4,C(2,4),
?A(,2,0),C(2,4)(
(2)将点C坐标代入直线AC的解析式中,有: 2m+2m=4,m=1,
?直线AC:y=x+2;
将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,有:
,
解得;
2?抛物线:y=x+x,2;
2故直线AC和抛物线的解析式分别为:y=x+2,y=x+x,2(
(3)存在满足条件的点D,其坐标为(,3,4)或(5,28); 理由:假设存在符合条件的点D,则有:
?CD?AB,由于AB?CD,此时四边形ABCD是梯形; 易知抛物线的对称性为:x=,;
由于此时CD?x轴,
故C、D关于直线x=,对称,
已知C(2,4),
故D(,3,4);
?AD?BC,显然BC?AD,此时四边形ABCD是梯形; 易知B(1,0),用待定系数法可求得:
直线BC:y=4x,4;
由于AD?BC,可设直线AD的解析式为y=4x+h, 则有:4×(,2)+h=0,
即h=8;
?直线AD:y=4x+8;
联立抛物线的解析式可得:
,
解得(舍去),,
故D(5,28);
综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为:D(,3,4)或(5,28)(
点评: 此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识
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点;要注意的是,在判定某个四边形为梯形时,一定要满足两个条件:?一组对边平行,?另一组对边不
平行(或平行的对边不相等),两个条件缺一不可(
212((2012•赤峰)如图,抛物线y=x,bx,5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1(
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使?CFP是直角三角形,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由(
考点: 二次函数综合题。
专题: 代数几何综合题。
分析: (1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A
的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式;
(2)根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等,设出点F的坐标为(x,,5),0
代入抛物线求出点F的横坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可;
(3)分?点P与点E重合时,?CFP是直角三角形,?CF是斜边时,过C作CP?AF于点P,然后根据
点C、E、F的坐标求出PC=PF,从而求出点P在抛物线对称轴上,再根据抛物线的对称轴求解即可(
2解答: 解:(1)?y=x,bx,5,
?|OC|=5,
?|OC|:|OA|=5:1,
?|OA|=1,
即A(,1,0),…(2分)
2把A(,1,0)代入y=x,bx,5得
2(,1)+b,5=0,
解得b=4,
2抛物线的解析式为y=x,4x,5;…(4分)
(2)?点C与点F关于对称轴对称,C(0,,5),设F(x,,5), 02?x,4x,5=,5, 00
解得x=0(舍去),或x=4, 00
?F(4,,5),…(6分)
?对称轴为x=2,
设直线AF的解析式为y=kx+b,
把F(4,,5),A(,1,0),代入y=kx+b,
得,
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解得,
所以,直线FA的解析式为y=,x,1;…(8分)
(3)存在(…(9分)
理由如下:?当?FCP=90?时,点P与点E重合,
?点E是直线y=,x,1与y轴的交点,
?E(0,,1),
?P(0,,1),…(10分)
?当CF是斜边时,过点C作CP?AF于点P(x,,x,1), 11
??ECF=90?,E(0,,1),C(0,,5),F(4,,5),
?CE=CF,
?EP=PF,
?CP=PF,
?点P在抛物线的对称轴上,…(11分)
?x=2, 1
把x=2代入y=,x,1,得 1
y=,3,
?P(2,,3),
综上所述,直线AF上存在点P(0,,1)或(2,,3)使?CFP是直角三角形(…(12分)
点评: 本题是对二次函数的综合考查,主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解,待定系数法求函数解析式,
二次函数的对称性,以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质,(3)中要注意分CF是
直角边与斜边两种情况讨论求解(
216(如图,已知抛物线C:y=a(x+2),5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的1
横坐标是1;
(1)求a的值;
(2)如图,抛物线C与抛物线C关于x轴对称,将抛物线C向右平移,平移后的抛物线记为C,抛物线C的21233
顶点为M,当点P、M关于点O成中心对称时,求抛物线C的解析式( 3
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考点: 二次函数综合题。
专题: 综合题。
分析: (1)将B点坐标代入抛物线C的解析式中,即可求得待定系数a的值( 1
(2)在抛物线平移过程中,抛物线的开口大小没有发现变化,变化的只是抛物线的位置和开口方向,所以
C的二次项系数与C的互为相反数,而C的顶点M与C的顶点P关于原点对称,P点坐标易求得,即3131
可得到M点坐标,从而求出抛物线C3的解析式(
解答: 解:(1)?点B是抛物线与x轴的交点,横坐标是1,
?点B的坐标为(1,0),
2?当x=1时,0=a(1+2),5,
?(
2(2)设抛物线C解析式为y=a′(x,h)+k, 3
?抛物线C与C关于x轴对称,且C为C向右平移得到, 2132
?,
?点P、M关于点O对称,且点P的坐标为(,2,,5),
?点M的坐标为(2,5),
22?抛物线C的解析式为y=,(x,2)+5=,x+x+( 3
点评: 此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系,需要熟
练掌握(
17(如图,已知?ABC内接于半径为4的?0,过0作BC的垂线,垂足为F,且交?0于P、Q两点(OD、OE的
22长分别是抛物线y=x+2mx+m,9与x轴的两个交点的横坐标(
1)求抛物线的解析式; (
(2)是否存在直线l,使它经过抛物线与x轴的交点,并且原点到直线l的距离是2,如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由(
考点: 二次函数综合题。
专题: 代数几何综合题。
分析: (1)连接BO,根据垂径定理与圆周角定理可得?BAC=?BOQ,再根据等角的补角相等可得?BOD=EAD,
然后证明?BOD和?EAD相似,根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到OD、OE的关系,再根
据相交弦定理列式整理出AD、BD的关系,从而得到OD•OE的值,令y=0,根据抛物线与x轴的交点问
题用m表示出OD•OE,从而得到关于m的方程,求解得到m的值,再根据OD、OE都是正数,且是抛物
线与x轴的交点的横坐标可得抛物线对称轴在y轴的右边求出m的取值范围,从而得到m的值,代入抛物
线计算即可得解;
(2)根据抛物线解析式求出与x轴的两个交点坐标分别为(2,0)(8,0),?当直线l经过左边交点时,
直线l平行于y轴,原点到直线l的距离是2;?当直线l经过右边交点时,是交点为L,过点O作OM?l
与点M,过点M作MN?x轴于点N,则OM=2,根据相似三角形对应边成比例列式求出ON的长度,再
利用勾股定理求出MN的长度,然后分点M在x轴上方与下方两种情况,利用待定系数法求直线解析式求
出直线l的解析式(
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解答: 解:(1)如图,连接BO,?OQ?BC与F, ?=,
??BAC=?BOQ,
??BOD=180?,?BOQ,?EAD=180?,?BAC, ??BOD=EAD,
又??BDO=?EDA(对顶角相等),
??BOD??EAD,
?=,
?AD•BD=OD•DE,
根据相交弦定理AD•BD=DQ•DP,
?OD•DE=DQ•DP,
?圆的半径为4,
?OD(OE,OD)=(4+OD)(4,OD), 整理得,OD•OE=16,
22令y=0,则x+2mx+m,9=0,
?OD、OE是抛物线与x轴的交点的横坐标,
2?OD•OE=m,9, 2?m,9=16,
解得m=?5,
?线段OD、OE的长度都是正数,
?,=,=,m,0,
解得m,0,
?m=,5,
2?抛物线解析式为y=x,10x+16;
(2)存在(
2理由如下:令y=0,则x,10x+16=0,
解得x=2,x=8, 12
所以,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),(8,0), ?当直线l经过点(2,0)时,直线l平行于y轴时,原点到直线l的距离为2,
所以,直线l的解析式为x=2;
?当直线l经过点(8,0)时,如图,设点L(8,0), 过点O作OM?l与点M,过点M作MN?x轴于点N,则OM=2,
??OML=?MNO=90?,?MON=?LOM, ??OMN??OLM,
?=,
即=,
解得ON=,
在Rt?OMN中,MN===,
设直线l的解析式为y=kx+b,
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当点M在x轴上方时,点M的坐标为(,),
则,
解得,
此时直线l的解析式为y=,x+,
当点M在x轴下方时,点M的坐标为(,,),
则,
解得,
此时直线l的解析式为y=x,,
综上所述,存在直线l:x=2或y=,x+或y=x,使原点到l的距离为2(
点评: 本题是二次函数综合题型,主要考查了垂径定理,圆周角定理,相交弦定理,抛物线与x轴的交点问题,
根与系数的关系,相似三角形的判定与性质,待定系数法求直线解析式,综合性较强,难度较大,(1)作
出辅助线构造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解题的关键,(2)注意要分情况讨论求解(
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2,2x,3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点D( 20(如图,抛物线y=x
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)若点C在该抛物线上,使?ABD??BAC(求点C的坐标,及直线AC的函数表达式; (3)P是(2)中线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值(
考点: 二次函数综合题。
专题: 代数几何综合题。
分析: (1)抛物线的解析式中,令y=0,可求得A、B的坐标,令x=0,可求得点D的坐标(
(2)若?ABD??BAC,则C、D必关于抛物线的对称轴对此,由此可得C点的坐标;进而可利用待定系
数法求得直线AC的函数解析式(
(3)设出点P的横坐标,根据直线AC和抛物线的解析式,即可表示出P、E的纵坐标,从而得到关于PE
的长和P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可得到PE的最大长度及对应的P点坐标( 解答: 解:(1)令y=0,
解得x=,1或x=3,(1分) 12
?A的坐标为:A(,1,0),B的坐标为:B(3,0),(2分)
令x=0,解得y=,3;
?D的坐标为:D(0,,3)((3分)
(2)根据抛物线的对称性可得C的坐标为:(2,,3),(5分)
设AC的解析式为:y=kx+b,
将A(,1,0),C(2,,3)代入可求得k=,1,b=,1;
?直线AC的函数解析式是y=,x,1((8分)
(3)设P点的横坐标为x(,1?x?2),(注:x的范围不写不扣分)
则P、E的坐标分别为:P(x,,x,1),(9分)
2E(x,x,2x,3);(10分)
222?P点在E点的上方,PE=,x,1,(x,2x,3)=,x+x+2=,(x,)+;(12分)
?当x=时,PE的最大值=((14分)
点评: 此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法以及二次函
数最值的应用等知识,难度适中(
225(已知,如图,抛物线y=x+bx+3与x轴的正半轴交于A、B两点(A在B的左侧),且与y轴交于点C,O为坐标原点,OB=4(
(1)直接写出点B,C的坐标及b的值;
(2)过射线CB上一点N,作MN?OC分别交抛物线、x轴于M、T两点,设点N的横坐标为t(
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?当0,t,4时,求线段MN的最大值;
以点N为圆心,NM为半径作?N,当点B恰好在?N上时,求此时点M的坐标( ?
考点: 二次函数综合题。
分析: 2(1)根据抛物线y=x+bx+3直接得出点C的坐标,由OB=4,得出B点坐标,代入解析式即可得出b的
值,
22(2)?首先求出直线CB的解析式,进而得出MN=(,t+3),(t,t+3)=,(t,2)+2,得出
最值即可;
22?根据当0,t,4时,由?得:MN=,t+2t,以及当t,4时,点M在点N的上方,MN=t,2t分别求
出t的值即可(
解答: 解:(1)点B(4,0),C(0,3),b=,,
(2)?如图所示,设过点B(4,0),C(0,3)的直线CB的解析式为:y=kx+m,(k?0),
?,
解得:,
?直线CB的解析式为:y=,x+3,
?MN?OC,
2?依据题意得出:N(t,,t+3),则M(t,t,t+3),
?当0,t,4时,点M在点N的下方,
2?MN=(,t+3),(t,t+3),
2=,t+2t,
2=,(t,2)+2,
?当t=2时,MN有最大值2;
?依据题意得出:
当MN=BN时,点B恰好在?N上,
由于t=0,(点M,N重合),
t=4(点M,N和B重合)均不符合题意,故舍去,
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2a)当0,t,4时,如图,由?得:MN=,t+2t, 又?MN?OC(OC?OB,
?MN?OB,垂足为T(t,0),
?cos?NBT===,(I)
即=,
此时点N在点T的上方,点T在点B的左边( ?TB=4,t,
代入(I)式得:
NB=(4,t),
2由(4,t)=,t+2t,
2整理可得:2t,13t+20=0,
解得:t=4(不合题意舍去), 1
t=, 2
故此时点M的坐标是(,,);
2b)当t,4时,如图所示,点M在点N的上方,MN=t,2t,
此时点N在点T的下方,点T在点B的右边, ?TB=t,4,
代入(I)式,可得:NB=(t,4),
2由(t,4)=t,2t,
2整理可得:2t,13t+20=0,
解得:t=4(不合题意舍去), 1
t=(不合题意舍去)( 2
综上所述:符合题意的点M的坐标为(,,)(
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点评: 2此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法,根据已知得出(4,t)=,t+2t或(t
2,4)=t,2t是解题关键(
227(如图,抛物线y=x,4x,1顶点为D,与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C( (1)求这条抛物线的顶点D的坐标;
2(2)经过点(0,4)且与x轴平行的直线与抛物线y=x,4x,1相交于M、N两点(M在N的左侧),以MN为直径作?P,过点D作?P的切线,切点为E,求点DE的长;
(3)上下平移(2)中的直线MN,以MN为直径的?P能否与x轴相切,如果能够,求出?P的半径;如果不能,请说明理由(
考点: 二次函数综合题。
专题: 代数几何综合题;数形结合。
2分析: (1)利用配方法即可将函数解析式变形为:y=(x,2),5,由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐
标;
2(2)由经过点(0,4)且与x轴平行的直线与抛物线y=x,4x,1相交于M、N两点(M在N的左侧),
即可求得M与N的坐标,即可求得P的坐标,然后即可求得PE与PD的长,根据切线的性质,由勾股定
理即可求得DE的长;
(3)根据已知,可得点P的横坐标为2,又由以MN为直径的?P与x轴相切,可得抛物线过点(2+r,r)
或(2+r,,r),将点的坐标代入解析式即可求得r的值,则可证得以MN为直径的?P能与x轴相切(
222解答: 解:(1)?y=x,4x,1=x,4x+4,5=(x,2),5,
?点D的坐标为(2,,5);
2(2)?当y=4时,x,4x,1=4,
解得x=,1或x=5,
?M坐标为(,1,4),点N坐标为(5,4),
?MN=6(P的半径为3,点P的坐标为(2,4),
连接PE,则PE?DE,
?PD=9,PE=3,
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根据勾股定理得DE=6;
(3)能够相切(
理由:设?P的半径为r,根据抛物线的对称性,抛物线过点(2+r,r)或(2+r,,r),
2代入抛物线解析式得:(2+r),4(2+r),1=r,
解得r=或r=(舍去)(
点评: 此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化,还考查了圆的切线的性质等知识,是二次函数的综合题
型(此题综合性很强,注意数形结合与方程思想的应用(
229(如图1,抛物线C:y=,x+4x,2与x轴交于A、B,直线l:y=,x+b分别交x轴、y轴于S点和C点,抛1
物线C的顶点E在直线l上( 1
(1)求直线l的解析式;
(2)如图2,将抛物线C沿射线ES的方向平移得到抛物线C,抛物线C的顶点F在直线l上,并交x轴于M、122N两点,且tan?EAB=•tan?FNM,求抛物线C平移的距离; 1
(3)将抛物线C沿水平方向平移得到抛物线C,抛物线C与x轴交于P、G两点(点P在点G的左侧),使得?PEF233为直角三角形,求抛物线C的解析式( 3
考点: 二次函数综合题。
专题: 计算题;压轴题;分类讨论。
分析:
22解答: 解:(1)?抛物线C:y=,x+4x,2=,(x,2)+2, 1
?顶点E(2,2),代入直线l的解析式后,得:
,×2+b=2,b=3
?直线l:y=,x+3(
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(2)?顶点F在直线l上,
?可以设顶点F(m,,m+3),
2?抛物线C可表示为 y=,(x,m),m+3; 2
?A(2,,0)、B(2+,0),E(2,2)
?tan?EAB==;
?tan?EAB=•tan?FNM,?tan?FNM=1,?FNM=45? ?ON=m+(,m+3)=m+3,即 N(m+3,0)
2代入y=,(x,m),m+3中,得 m=4,即 F(4,1); ?EF==,即抛物线C平移的距离EF=( 1
2(3)由(2)知 C:y=,(x,4)+1,?M(3,0)、N(5,0); 2
?将抛物线C沿水平方向平移得到抛物线C,?PG=MN=2, 232设P(p,0),则Q(p+2,0),抛物线C顶点(p+1,1)、抛物线C:y=,(x,p,1)+1; 33?E(2,2)、F(4,1),
222222222?PE=(p,2)+2=p,4p+8;PF=(p,4)+1=p,8p+17,EF=5;
222?当?PEF=90?时,p,4p+8+5=p,8p+17,?p=1,此时C为 y=,(x,2)+1; 3
222?当?PFE=90?时,p,8p+17+5=p,4p+8,?p=,此时C为 y=,(x,)+1; 3
222?当?EPF=90?时,p,8p+17+p,4p+8=5,即 p,6p+10=0,?,0,此时C不存在; 3
22?抛物线C的解析式为 y=,(x,2)+1或y=,(x,)+1( 3
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