合情推理与演绎推理 高中数学选修2-2（人教课改版）

合情推理与演绎推理 高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 选修2-2（人教课改版） 合情推理与演绎推理 目标认知 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 编号:236647 加入收藏夹 学习目标: 1(了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理; 合情推理与演绎推理 2(了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理. 高二数学周末练习五(导数、推理与证 明) 重点: 推理与证明(1) 用归纳和类比进行推理，做出猜想;用“三段论”证明问题. 高二数学周末练习六(推理与证明) 推理与证明(一) 难点: 用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。 高中试题-〉数学-〉代数-〉推理与证学习策略: 明(选修) ?合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势; ?合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现 规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是， 结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超 出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理. ?演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法.只要前提 5 4 3 2 1 真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的. 知识要点梳理 知识点一:推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理(从结构上说，推理一般由两 部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论( 知识点二:合情推理 再详细点就更好了 根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，银川张睿韬 经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常再详细点就更好了。 见的合情推理。 长空飘血 1.归纳推理 要是有些像书上的典型例题就更好 (1)定义: 了、、、 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事tytylq 实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 不考啊... (2)一般模式:部分整体，个体一般 高二聂元昊 很好 (3)一般步骤: 最爱214 ?通过观察个别情况发现某些相同性质; ?从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题; ?检验猜想. (4)归纳推理的结论可真可假 归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想; 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理 (1)定义: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). (2)一般模式:特殊特殊 (3)类比的原则:可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象. (4)一般步骤: ?找出两类对象之间的相似性或一致性; ?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题(猜想); ?检验猜想. (5)类比推理的结论可真可假 类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象;一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。 知识点三:演绎推理 (1)定义: 从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理( (2)一般模式: “三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式: ?大前提——已知的一般原理; ?小前提——所研究的特殊情况; ?结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论. (3)用集合的观点理解“三段论” 若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质. (4)演绎推理的结论一定正确 演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。 规律方法指导 合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)从推理模式看: ?归纳推理是由特殊到一般的推理( ?类比推理是由特殊到特殊的推理( ?演绎推理是由一般到特殊的推理( (2)从推理的结论看: ?合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 ?演绎推理所得的结论一定正确。 (3)总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥 的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而 演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的;演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可 以为演绎推理提供方向和思路. 经典例题透析 类型一:归纳推理 1(用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程. 思路点拨:依题意，表示数列的前项和，即.为此， 我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出与的对应关系式. 解析:对数列的前项和分别进行计算: ， ， ， ， . 观察可得，数列{S}的前五项都等于1到相应序号的自然数之和的平方， n 由此猜想数列的前项和. 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华: ?本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典 型的归纳推理. ?归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研 究的基本方法之一. ?归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式 时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系. ?虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功 能，对于数学的发现却是十分有用的. 举一反三: 【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，„，(2,1)，„的前项和的归纳过程. 【答案】对等差数列1，3，5，„，(2,1)，„的前1，2，3，4，5，6项的和分别进行计算: ; ; ; ; ; ; 观察可得，前项和等于序号的平方，由此可猜想. 【变式2】设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确. 【答案】 ， ，. ?43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都为质数 由此猜想，为任何正整数时，都是质数. 验证:当时，，为合数， 因此猜想的结论不正确. 【变式3】在数列中，a=1，且，计算a，a，a，并猜想1234的表达式. 解析:，，， 猜想:. 2(平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分, 思路点拨:可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数，从中发现规律，再归纳出结论. 解析:设平面被n条直线分成部分，则: 当n=1时，S=1+1=2; 1 当n=2时，S=1+1+2=4; 2 当n=3时，S=1+1+2+3=7; 3 当n=4时，S=1+1+2+3+4=11. 4 据此猜想，得. 举一反三: 【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，„„，则的表达式是___________. 【答案】 【变式2】图(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图形 (1)数一数，每个平面图各有多少个顶点,多少条边,它们将平面各分成了多少个区域, (2)推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系. 【答案】 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表: 平面图形 边数() 区域数() 顶点数() a 3 3 2 b 8 12 6 c 6 9 5 d 10 15 7 (2)观察:3+2,3=2;8+6,12=2;6+5,9=2;10+7,15=2. 通过观察发现，它们的顶点数、边数、区域数之间的关系为:. 类型二:类比推理 3(在三角形中有下面的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边; (2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边; (3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心; 三角形的面积，(为三角形的三边长，为三角形的内 (4) 切圆半径)( 请类比写出四面体的有关性质( 思路点拨:利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想( 解析: (1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面; (3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心; (4) 四面体的体积，(为四面体的四个面的面积，为四面 体的内切球半径). 总结升华: 1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律: (1)平面中的点类比为空间中的线; (2)平面中的线类比为空间中的面; (3)平面中的区域类比为空间中的空间区域; (4)平面中的面积类比成空间中的体积( 2(运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系.即进行类比的对象必须 具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些已知特征，否则会使类比成为“乱比”，对两个 “风马牛不相及”的事物，没有可比性，也没有类比的价值.可从不同角度选择类比对象，但要强 调类比的原则是根据当前问题的需要. 3(类比推理是数学教学中经常采用的推理形式，如向量的运算性质与实数的运算性质的类比，立体几 何中的许多定理性质与平面几何中的有关定理、性质的类比等. 举一反三: 【变式1】在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么, 【答案】类似的命题为“正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值”. 平面几何中的命题可用面积法证明其正确性， 即该点与正三角形三个顶点连结所得到的3个小三角形面积和等于正三角形的面积. 由此类比可得到启发，可用体积法证明正四面体中这个类似的命题. 【变式2】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质. 【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形， 所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体， 且三个面与面所成的二面角分别是，，， 类比直角三角形的性质猜想四面体的性质. 如图所示，在中，. 于是把结论类比到四面体中， 若三个侧面、、两两互相垂直且分别与底面所成的角为，，, 则. 【变式3】已知等差数列的公差为，前项和有如下性质: ?通项 ?若，则 ?若，则. ?，，构成等差数列. 类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质. 【答案】在等比数列中，公比为，前项和为 ?通项: ?若，则 ?若，则 ?，，构成等比数列. 【变式4】在?ABC中，若BC?AC，AC=b，BC=a，则?ABC的外接圆半径.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是:在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S—ABC的外接球半径R=________. 【答案】 类型三:演绎推理 4(已知:在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明:?平面 证明:连结 ?三角形两边中点的连线是三角形的中位线„„„„大前提 而、分别两边、的中点，„„小前提 ?是的中位线.„„„„„„„„„„„„结论 ?三角形的中位线平行于第三边„„„„„„大前提 而是的中位线，„„„„„„小前提 ??.„„„„„„„„„„„„结论 ?平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 „„„大前提 在平面外，在平面内，且?，„„小前提 所以?平面.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 总结升华: ?三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论 是根据一般原理对特殊情况作出的判断. ?演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前 提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确. ?归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是 由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论 不一定正确，有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 举一反三: 【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题: 证明:因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，„„„„大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，„„„„„„„„„„小前提 所以菱形是正多边形.„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 (1)上面的推理形式正确吗, (2)推理的结论正确吗,为什么, 【答案】上述推理的形式正确，但大前提是错误的(因为所有边长都相等，内角也相等的凸多边形才是正多边形)，所以所得的结论是错误的. 【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提. 已知:中，求证:. 【答案】延长到，得的外角，过点在内作? ?若两直线平行，则同位角相等、内错角相等，„„„„ 大前提 而?，„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 ?.„„„„„„„„„„„„结论 由平角是，„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 而 ,是一个平角，„„„„„„小前提 ?„„„„„„„„„„„结论 【变式3】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，?BFD=?A，DE?BA，求证:ED=AF. 【答案】 (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ?BFD与?A是同位角，且?BFD=?A，(小前提) 所以，DF?EA.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE?BA且DF?EA，(小前提) 所以，四边形AFDE为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等(大前提) ED和AF为平行四边形的对边，(小前提) 所以，ED=AF.(结论) 上面的证明通常简略地表述为: 四边形AFDE是平行四边形ED=AF. 【变式4】用三段论证明函数在(,?，+?)上是增函数. 证明: 法一:设，则， 因为， 所以，即. 于是根据“三段论”，得在上是增函数. 法二:. 当时，有恒成立， 即在(,?，+?)上恒成立. 所以在(,?，+?)上是增函数( 【变式5】函数y,f(x)在(0，2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是___________. 【答案】?函数y,f(x)在(0，2)上是增函数， 由0,x+2,2得-2,x,0 ?函数y=f(x+2) 在(-2，0)上是增函数， 又?函数y=f(x+2)是偶函数， ?函数y=f(x+2) 在(0，2)上是减函数 由图象可得f(2.5),f(1),f(3.5). 学习成果测评 基础达标: 1(下列关于归纳推理的说法中错误的是( ) A(归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B(归纳推理是由特殊到一般的一种推理过程 C(归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D(归纳推理具有由具体到抽象的认识过程 2(有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误 的，是因为( ) A(大前提错误 B(小前提错误 C(推理形式错误 D(非以上错误 3(数列3，8，15，___，35，48，„ 根据数列的特点，在横线“___”上，应填写的数字是( ) A(,, B(,, C(,, D(,, 4(由集合，，，„子集的个数归纳出集合的 子集的个数 为( ) A( B( C( D( 5(三角形的面积为、、为三角形三边长，为三角形内切圆的半径.利用类 比推理可以得出四面体的体积为( ) A( B( C(、、、分别为四面体的四个面面积，为四面体内切球 的半径) D(为四面体的高) 6(函数在上是增函数，函数是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关 系是___________. 7(在某报《自测健康状况》的报导中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的 特点，用适当的数填入表中“ ”处. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压(水银柱毫米) 110 115 120 125 130 135 145 舒张压(水银柱毫米) 70 73 75 78 80 83 88 8(设数列满足，，则,_________， ,________， ___________，由此，可猜测可能为,___________(用表示). 9(从中得出的一般性结论是_____________. 10(若数列中则 . 11(若，则____________. 12(判断下列推理是否正确. (1)如果不买彩票，那么就不能中奖.因为你买了彩票，所以你一定中奖; (2)因为正方形的对角线互相平分且相等，所以，若一个四边形的对角线互相平分且相等，则四边形 是正方形; (3)因为，所以; (4)因为，所以. 13(找出圆与球相似的性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质. ?圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦; ?与圆心距离相等的两弦相等; ?圆的周长是直径); ?圆的面积. 14(找出三角形与四面体相似的性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. 15(证明函数在内是增函数( 能力提升: 16(已知函数，定义域为，，对任意，有 ，猜想的表达式为( ) A( B( C( D( 17(设„，，则 ( ) A( B( C( D( 18(设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 表示这条直线交点的个数，则 ;当时__________(用表示). 19(由图1有面积关系:，则由图2有体积关系:________. 20(在等差数列中,若,则有等式 (, ) 成立，类比上述性质，相应地:在等比数列中，若,则有等式___________成立. 21(如图所示，图(1)中有五条线段，图(2)、图(3)见下图，由此猜想第个图 形中有线段的条数为 . 22(证明:函数的值恒为正数. 综合探究: 23(数一数下图中的凸多面体的面数、顶点数和棱数，然后归纳推理得出它们 之间的关系. 参考答案: 基础达标: 1(A 2(C 3(B 4(C 5(C 6(f(2.5),f(1),f(3.5). 解析:?函数y,f(x)在(0，2)上是增函数， 由0,x+2,2得-2,x,0 ?函数y=f(x+2) 在(-2，0)上是增函数， 又?函数y=f(x+2)是偶函数， ?函数y=f(x+2) 在(0，2)上是减函数 由图象可得f(2.5),f(1),f(3.5). 7(140,85. 8(3;4;5; 解析:由，得; 由，得; 由，得， 由此猜想. 9( 10(; 解析:前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成， 即 11(; 解析: 而 12((1)错误;(2)错误;(3)错误;(4)正确. 13(解析:二者相似的性质有: ?圆是平面上到一定点的距离等于定长的点的集合;球面是空间中到一定点的距离等于定 长的点的集合. ?圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形;球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. 通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质: 圆 球 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)的圆 心的连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等 圆的周长是直径) 球的表面积 圆的面积 球的体积 14(解析:二者的相似性有: ?三角形是平面内数目最少的基本元素(直线)围成的最简单的封闭图形;四面体是空间 中数目最少的基本元素(平面)围成的最简单的封闭几何体. ?三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形;四面体可 以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形. 通过与三角形的有关性质类比，可以推测四面体的有关性质: 三角形 四面体 三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积. 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个四面体的六个二面角的平分面交于一点，且点是三角形内切圆的圆心. 这个点是四面体内切球的球心. 三角形的中位线等于第三边的一半，且平行四面体的中位面(以任意三条棱的中点为顶于第三边. 点的三角形)的面积等于第四个面的面积的 ，且平行于第四个面. (证明:. 15 当时，有， 所以. 所以在内是增函数( 能力提升: 16(C 解析:由 所以， ， 根据，猜想的表达式为: . (B 17 解析:， 故可猜测是以4为周期的函数，有 所以 18( ， 解析: 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数. 猜测得出，有， . 19( 20((, ). 解析:等差数列中, 此处用了: . 而的前一项为， 故成立. 若等比数列中,对于, 则有 ， 且的前一项为, 所以(, ). 21( 解析:图(1)中有5条线段，图(2)中有条线段，图(3)中有条线 段， 故可猜想第()个图形中有条线段. 22(证明: ?当时，其各项均为正数， 时，. ?当时， ， 右边代数式中三项均为正数， . ?当时， 其右边代数式中三项均为正数， . 综上所述，对任意都有成立. 综合探究: 23(解析:各多面体的面数、顶点数、棱数如下表所示. 多面体 面数() 棱数() 顶点数() 三棱锥 4 4 6 四棱锥 5 5 8 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 正八面体 8 6 12 五棱柱 7 10 15 截角正方体 7 10 15 尖顶塔 9 9 16 观察:4+4―6=2;5+5―8=2;5+6-9=2;6+6―10=2;6+8―12=2;8+6―12=2; 7+10―15=2;9+9,16=2; 发现，它们的顶点数、棱数及面数有共同的关系式:.