导数求斜率

导数求斜率导数求斜率江苏省扬中高级中学卞国文教学心得与反思浅谈利用导数求切线问题中的“在”与“过” 32004年江苏第二次模拟试卷(常州卷)卷11:过点P作曲线y=x的两条切线L与L,设L，L的夹角为，则tan= ( ) ,,1212 新教材增添了导数内容，求曲线的切线是导数的的重要功能之一，但容易出现疏漏，尤其在求曲线的切线问题中的“在”与“过”更易出错。如上题为求切线中的“过”的问题学生遇到就可能出现两种情况: (1)对题目中的条件默认为过点P的切线只有一条，从而无从下手，(2)理解过点P的切线有两条...

导数求斜率江苏省扬中高级中学卞国文教学心得与反思浅谈利用导数求切线问题中的“在”与“过” 32004年江苏第二次模拟试卷(常州卷)卷11:过点P作曲线y=x的两条切线L与L,设L，L的夹角为，则tan= ( ) ,,1212 新教材增添了导数内容，求曲线的切线是导数的的重要功能之一，但容易出现疏漏，尤其在求曲线的切线问题中的“在”与“过”更易出错。如上题为求切线中的“过”的问题学生遇到就可能出现两种情况: (1)对题目中的条件默认为过点P的切线只有一条，从而无从下手，(2)理解过点P的切线有两条但不知道怎样处理。 3/23正解:由y=x得y=3x设Q(x,x)为切点， 00 23则在Q点处的切线的方程为L:y,x=3x(x,x) 000 232?PL，?1,x=3x(1,x) ?(1,x)(2x+1)=0 ,00000 13//? x =1或x=, ?k= y?=3 ?k= y?= x=11000x,,242 k,k912,?tan== 131，kk12 3点评:可以发现斜率为的切线并不以点P(1，1)为切点，而是经4 11过点P且以点(,，)为切点的直线。这说明“过”曲线上一点,28 P的切线，点P未必是切点。那么解决这样的问题笔者认为“待定切点法”非常优越，一般能有效防止思维盲目导致的漏解。即:设点A(x,y)是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线00 方程为 /(x)(x,x)y,y=f,再根据题意求出切点，这样就无需判断所过点000 是否为切点了。 3,x例1:求曲线S:y=3x过点P(2，,2)的切线的方程 “待定切点法”: 江苏省扬中高级中学卞国文 3解:设切点Q()则在Q点处切线为L x,3x,x000 32y?点P(2，,2)L ,3x，x,(3,3x)(x,x),0000 32? ? ,2,3x，x,(3,3x)(2,x)x,2或x,,1000000?当时切线方程为y=,2 x,,10 当时切线方程为y=,9x，16 x,20 再看求切线中的“在”的问题，相对“过”的问题就比较简单 3,x例2 :求曲线S:y=3x在点P(2，,2)的切线的方程; 分析:这里曲线在点P处的切线，过点P就是该切线的切点 2y，2,(3,3x)(x,2)解:所求切线方程为 x,2 即 y=,9+16 例3 (2004年江苏省第一次模拟试卷)第16题:若直线y=x是曲 32线的切线，求a的值 y,x,3x，ax 2/y,3x,6x，9,1解:设切点P(则 ? x,y)x,x00000 x,y ? 00 32y,x,3x，ax ? 0000 13a,1或由???得 4 笔者认为对于利用导数解决切线“过”与“在”问题可归纳为以下几点: (1) 曲线在某点处的切线若有则只有一条; (2) 曲线过某点的切线往往不止一条; (3) 切线与曲线的公共点不一定只有一个; (4) 解决问题关键是设切点，用导数切斜率。而很多同学没有意识到以上的问题导致漏解。

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