§6.4 全同粒子体系的波函数 泡利原理
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?6.4 全同粒子体系的波函数 泡利原理
重点:
波函数所满足的对称性
下面我们首先讨论在不考虑粒子间相互作用时，两个全同粒子组成体系的波函数的对称性问题，然后推广到N个全同粒子体系中去，
(一)两个全同粒子体系
在不考虑粒子间相互作用时，设两个全同粒子，分别处于i，j态，若哈密顿算符不显含时间，则单粒子的体征值方程为
(6.4-1) 式中分别
表
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示对应于i，j态的能量，体系的哈密顿算符
(6.4-2) 体系的能量为
(6.4-3) 波函数为
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(6.4-4) 这可由(6.4-4)式满足下列本征值方程看出:
(6.4-5) 交换两粒子坐标，则有
(6.4-6) 同样有
(6.4-7)
可见和都的本征函数，本征值都是，这表示体系
的能量本征值E是简并的，这种简并由于波函数中交换后得出，故称交换简并。
当两个粒子所处的状态相同，即i=j，则(6.4-4)和(6.4-6)式是同一对称波函数，当两粒子所处状态不同，即，(6.4-4)和(6.4-6)式既不是对称波函数，又不是反对称
波函数，不满足全同粒子体系波函数的要求，但可以把它们组合成对称波函数或反对称 波函数:
(6.4-8) 容易证明，归一化常数，显然，都是相的本征函数，并且都属于本
征值。
这样，归一化的对称波函数和反对称波函数为:
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(6.4-9)
(6.4-10a)
反对称波函数(6.4-10a)可写成行列式形式
(6.4-10b)
对二个玻色子系统的波函数取(6.4-9)式，二个费密子系统的波函数取(6.4-10a)或
，即体系中不(6.4-10b)式。由这式可见，当i=j，即两粒子状态相同时，就得到
能有两个费密子处于同一状态，这是泡利不相容原理在两个粒子组成体系中的表述。
(二)N个全同粒子体系
把上述计论推广到含N个全同粒子的体系，设粒子相互作用可以忽略，单粒子的哈密顿算符不显含时间，则有
(6.4-11)
体系薛定谔方程
(6.4-13) 的解是
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(6.4-15)
由此可见:由无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符其本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数之积，本征能量则等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程(6.4-13)的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程(6.4-11)。
对N个玻色子组成的全同粒子体系，对称波函数为
(6.4-16)
式中将N个粒子坐标互换的数目是N个，故括号内共有N项之和，因此，当归一～～ 化时，前面归一化常数为。由(6.4-16)式可见，是对称的，任二粒子交换不改
变符号。
对N个费密子组成的全同粒子体系，反对称波函数为
(6.4-17)
当两个粒子交换时，相当于在行列式中两列互相调换，这使行列式改变符号，所以上式是反对称的。
如果N个单粒子态中有两个单粒子处于同一状态，则行列式(6.4-17)
中有两行相同，因而，这表明不能有两个以上的费密子处于同一状态。这结果称为
泡利不相容原理。
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泡利 (Wolfgang Ernst Pauli，1900,1958) 瑞士籍奥地利理论物理学家，1945年诺贝尔物理学奖
如果忽略自旋与轨道相互作用，则体系的波函数可以写成坐标函数与自旋函数之积
如果是费密子系统，则是反对称的，在两粒子的情况下，这条件可由下面两种方式来
满足:
(6.4-18)
在第一种情况下，是对称的，是反对称的;在第二种情况下，是反对称的，
是对称的，因而是一对称函数与一反对称函数相乘，所得的积总是反对称的。
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