极限运算法则两个重要极限.doc

极限运算法则两个重要极限.doc 吉林工业职业技术学院教师 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 用纸 序号 1 复习旧课:1(无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言:前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限 讲述 2,3极限的运算法则 我们先介绍极限的运算2(3(1极限的性质 法则 定理1:(唯一性)如果极限存在，则它只有一个极限。即若limf(x) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 从略。 A,B，，则 limf(x),Alimf(x),B xlimf(x)定理2 : (有界性)若极限存在，则函数在的某一空心邻f(x)0x,x0 域内有界 limf(x),A定理3 : (局部保号性)如果，并且(或)，则A,0A,0x,x以上性质只对0x,x0 的情况加以叙述，其它x在的某一空心邻域内，有(或) 。 f(x),0f(x),00的形式也有类似的结 果。 x推论 若在的某一空心邻域内有(或)，且f(x),0f(x),00 limf(x),A，则(或) 。 A,0A,0x,x0 2(3(2极限的运算法则 定理1: 设,,则 limf(x),Alimg(x),B (1) = lim[f(x),g(x)]limf(x),limg(x),A,B (2) lim[f(x)g(x)],limf(x)limg(x),A,B 若g(x),C.(常数),则lim[Cf(x)],Climf(x),CA f(x)limf(x)Alim,,(B,0) (3) g(x)limg(x)B 证明 因为limf(x),Alimg(x),B,，利用2。2定理，它们可以分别写为: f(x)A，,(x)g(x),B，,(x) =, ,(x),,(x)其中均为无穷小量，则有: (1) f(x)+g(x)=A+B+[,(x)，,(x)] 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 2 由2(2定理知 仍为无穷小量,所以+以A+B为极限. 为多项式 设P(x),(x)，,(x)f(x)g(x) x,x 即=. 当时， lim[f(x)，g(x)]limf(x)，limg(x),A，B0 limP(x),P(x)容易证明: Q(x),0 00x,x0 P(x)P(x) 因为为多项f(x)0, limx,x0Q(x)Q(x)0式，所以极限值等于在 x处的函数值 02例1 求lim(3x,x，5) x,2 因为为两个多项f(x)2lim(3x,x，5)解 ,15 x,2式商的极限，且在x=1 处分母的极限不为零，2x，2x，3所以极限值等于函数lim例2 求 3x,1x,x，5值。 2x，2x，36 lim解 , 3x,1x,x，55 x,1lim例3 求 x,,1在x=-1处，分母为零，x，1 x，1不能直接计算极限。 lim解 因为,0根据无穷大于无穷小的关系 x,,1 x,1 x,1 lim所以有 ,, x,,1 x，1 注意:求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。 在x=-1处，分母为零，2x,1不能直接计算极限。 lim 例4 求 x,1x,10“”型，先设法 02(x,1)(x，1)x,1 约去非零因子。 limlimlim(x，1),2 解 ,, x,x,11x,1x,1x,1 2x,9 lim 例5 2x,,3x，7x，12 2(x，3)(x,3)x,9x,3 limlimlim,,6 解 ,, 2x,,3x,,3x,,3(x，3)(x，4)x，7x，12x，4 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 3 ,3”型，用无穷小 “3x，xlim 例 6 求 ,3x,,x，1量分出法，即分子、分 母同时除以x的最高次1幂。 3，323x，xxlim解 , lim,33x,,x,,1x，1 1，3x a,0,当m,n,b,0,0, b0mm,1,，，，axax？a ,m01,, 结论: lim0,当mn, ,nn,1x,, ，，，bxbx？bn01,,当mn.,, , ,, 12 例7 求 ,lim()2x,1 先通分，再计算。 x,1x,1 x，1,2121 解 ,,lim, lim()22x,x,11 2x,1x,x,11 小结: 1(极限运算法则 2(求极限方法 limP(x),P(x) 1)设为多项式，则。 P(x)0x,x0 Q(x),02)、均为多项式，且，则 P(x)Q(x)0 P(x)P(x)0,lim x,x0Q(x)Q(x)0 g(x)lim,,3)若f(x),0,g(x),A,0，则 f(x) g(x)0lim 4)若 为“”型时，用因式分解找出“零因子”。 f(x)0 a,0,当m,n,b,0,0, b0mm,1,，，，axax？a ,m01,lim0,当m,n, 5)结论: ,nn,1x,, ，，，bxbx？bn01,,当m,n., , ,, 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 4 6)若有界，则 ,(x),0,f(x)lim,(x)f(x),0 7)若为“”型时，一般是通分或有理化后再处lim[f(x),g(x)],,, 理。 2,4两个重要极限 2(4(1判别极限存在的两个准则 U(x,,)x准则1 (夹逼定理)设函数在的某一邻域内满足 f(x),g(x),h(x)00 g(x),f(x),h(x) limg(x),limh(x),Alimf(x),A且有极限，则有 x,xx,xx,x000 ,,x准则2 如果数列单调有界，则一定存在。 limxnnx,, 2(4(2两个重要极限 一般 xUsinsin1(极限 lim,1lim,1x,0U,0xU xtan 例8 计算 limx,0证明略 x xx1x1tansinsin 解 ,?=?lim=1 limlimlimx,0x,0x,0x,0 例8、例9 结果可作 xxcosxxcosx 为公式使用。 1,cosx例9计算 lim2x,0xx2cos12sin x,,22xx，，2x2sinsin2,, ,2cos,111,cosx22lim解 ,,lim lim2,,220x,x,0x,0xx2x,, 可证得此结论。 ,,2，， 2x，， sin,,112 ,,lim ,,xx220,,, 2,,，2， sin5xlim例10计算 x,0 3x 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 5 sin5x55sin5x解 , limlim,,x,0x,0 3x5x33 fxsin,,()lim,1 结论: f(x),0fx() 和差化积公式 xxsin3,sin例11计算 limx,0 练习: x xxxxx2cos2sinsinsin3,sincosx,cos3x解 ,x lim,2limcos2,lim,2limlim2x,0x,0x,0x,0x,0xxxx ,4 sinx例12 求 limx,0 tanx xxxsinxsinsin1解 , limlim(,),lim(,),1x,0x,0x,0xtanxtanxxxtan x sinx 例13 求 limx,, 因为当时， x,,tanx ,sinxsinxxsin 解 错误做法:,1 limlim(,),lim,1x,,x,,x,,tanx,xtanx ,tsin(t)，sinx,sinlim,正确做法:, limlim,,1 t,0x,,t,0tan(,t)，tanxttan 一般 1x2(极限 lim(1，),e,,x1xU lim(1，),e,,UUx12lim(1，)例14 计算 1x,,xUlim(1，U),e ,0Ux1111x222 lim(1，)[lim(1，)],e解 , x,,,,xxx 2x21lim(1，),e x,,xx例15 计算 lim(1，2x),x0 112,2xx2 解 , lim(1，2x)lim(1，2x),e,x0x0, 5x例16 计算 lim(1,) ,,x x 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 6 xx,(,5),,555,5,5x55 lim[1()][lim(1,)],e，解,,, lim(1,)x,,,,x,,xxxx 2,xx例 17计算 lim(),,x 3,x 2,x11xxx,3，3解 ,, lim()，lim(1，)lim(1),,,,xxx,, 3,xx,3x,3 11x,33, lim(1，),lim(1，),e,1,ex,,x,, x,3x,3 xln(1，)例18计算 limx,0例18，例19视情况选讲 x x1ln(1，)解 , lim,ln(1，x)limx,0x,0 xx 11 xx,, limln(1，x)lnlim(1，x),lne,1,,xx00 xe,1lim例19 x,0x xu,e,1则x,ln(1，u),当x,0时，u,0 解 令 xue,1lim,1lim所以 , u,0x,0，uxln(1) xsin 小结:? lim,1x,0x fxsin,,()xtan1,cosx1lim,1 ;,1;, limlim2f(x),0x,0x,0fx()x2x 11xx?; lim(1，x),elim(1，),e,,,0xxx xxe,1ln(1，)lim,1;,1 lim,0xx,0xx 作业P27——1(3) (6) ，P31——1(1)(6)(9)——2(1)(3)