第三章中值定理与导数的应用经典例题
第三章 中值定理与导数的应用
a,a,a？a为满足 例4 设123n
aa,1nn2a,，？，(,1),,0 1n32,1
的实数，试
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
方程
acosx，acos3x，？，acos(2n,1)x,0, 12n
(0,,/2)在内至少存在一个实根.
证 作辅助
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数
11f(x),asinx，asin3x，？，asin(2n,1)x, 12n32n,1
f(0),f(,/2),0,f(x)[0,,/2](0,,/2)显然在上连续,在内可导,故由罗尔定理知,
,,(0,,/2),至少存在一点使
,f(,),0,
,f,(),acos,，acos3,，？，acos(2n,1),,0即 12n
(0,,/2)从而题设方程在内至少有一个实根.
f(x)[a,b](a,b)例5 设在上连续,在内可导, 且
f(a),f(b),0.
,f(,),f(,),,(a,b)证明: 存在,使成立. 证 从结论倒退
分析
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知, 可引进辅助函数
,x ,(x),f(x)e,
,(a),,(b),0,,(x)[a,b]由于 易知在上满足罗尔定理条件,且
,x,x,, ,(x),f(x)e,f(x)e,
,,(a,b),(a,b)因此, 在内至少存在一点使
,,(,),0,
,,,,,即 f(,)e,f(,)e,0,
,,因 所以 e,0,
,f(,),f(,).
x,ln(1，x),x.例9(E04) 证明当时, x,01，x
f(x),ln(1，x),f(x)[0,x]证 设则在上满足拉格朗日定理的条件. 故
,f(x),f(0),f(,)(x,0)(0,,,x),
1,？f(0),0,f(x),, 1，x
x(0,,,x),ln(1，x),从而 1，,
111,1，,,1，x又由 ,,1,,x,1，1，
xx ,,x,？,1，x1，
x,ln(1，x),x.即 1，x
32,3x，1.1x，0.9x,1.4,010.例2 用切线法求方程的实根的近似值,使误差不超过
32f(1),0.f(0),0,[0,1]解 令因故是一个隔离区间. f(x),x，1.1x，0.9x,1.4,
2,,,f(x),6x，2.2,0,[0,1]在上, f(x),3x，2.2x，0.9,0,
,,x,1.？f(x)f(x)与同号,令用切线法计算得: ？0
f(1)x ,1,,0.738;1,f(1)
f(0.738)x,0.738, ,0.674;2,f(0.738)
f(0.674)x,0.674, ,0.671;3,f(0.674)
f(0.671)x,0.671,计算停止. ,0.671;4,f(0.671)
,310.所得根的近似值为0.671，其误差都小于
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