【doc】长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法

【doc】长方形矩阵的广义逆矩阵的计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法 2008年2月 27卷第2期 绵阳师范学院 JournalofMianvan~Norma1Univ Feb.,2008 V01.27N0.2 长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法 邓勇 (喀什师范学院数理系,新疆喀什市844o06) 摘要:矩阵是 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具,凡是用到矩阵的地方,基本上都要涉 及广义逆矩阵,尤其在数值 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与数理统计中有着重要的作用.利用分块矩阵的初等变换,得到了求长方形矩阵的 广义逆矩阵AJ=,Af的一种方法.该方法克服了传统的满秩分解法的复杂运算,简便易行,便于操作. 关键词:长方形矩阵;广义逆矩阵;分块矩阵;初等变换 中图分类号:0151.12文献标识码:A文章编号:1672-612x(2008)024)034434 在以往的有关文献中,往往只给出长方形矩阵广义逆矩阵的定义,除A一外,对如何求长方形矩阵的广 义逆矩阵并没有一般的方法介绍,本文将对此问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 作一些探讨. 1几种广义逆矩阵的定义 定义1.1设A为m×n长方形矩阵.若存在n×m矩阵G,满足以下四个等式 ?AGA:A?GAG=G?(GA)=GA?(AG)=AG 中的一部分或全部,则称G为矩阵A的一个广义逆矩阵. (1)满足第一个等式AGA=A的广义逆矩阵G称为矩阵A的减号逆,记作A一; (2)满足第一个,第三个等式 AGA=A,(GA)=GA 的广义逆矩阵G称为矩阵A的极小范数逆,记作K; (3)满足第一个,第四个等式 AGA=A,(AG)AG, 的广义逆矩阵G称为矩阵A的最dx--乘逆,记作Af; (4)满足全部等式 AGA=A,GAG=G,(GA)=GA,(AG)=AG 的广义逆矩阵G称为矩阵A的加号逆,记作A. 定义1.2设A为mxn矩阵,若rankA=n,则称A为列满秩的;若rankA=m,则称A为 行满秩的;若 rankA=m=n,则称A为满秩的. 定义1.3设A为nl×n矩阵且rankA=r<rain{nl,n}.若A=DC,其中D是m×r列 满秩矩阵,C是r ×/1,行满秩矩阵,则称此分解式为A的满秩分解式. 2关于广义逆矩阵的若干结果 rA(AA),,当rankA=m; A一=J(AA)A,当rankA=n; 【Cr(CC)(DD)D,当A=DC为A的满秩分解式时. 收稿日期:2007-09—11 作者简介:邓勇(1967一),男,副教授,主要研究方向:基础数学. 第2期邓勇:长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法?35? 是A的一个减号逆l】.2】. 引理2.2对于任意矩阵A,它的极小范数逆A:总存在,但不唯一.并且 .fA(AA),,当rankA=m; 一lA(AA)一,在一般情况下. 是A的一个极小范数逆.[1,21 引理2.3对于任意矩阵A,它的最小二乘逆Af总存在,但不唯一.并且 .一 f(AA)I1A,当rankA=n; 一l(AA)一A,在一般情况下. 是A的一个最tJ~--乘逆.【?】 引理2.4对于任意矩阵A,它的加号逆A总存在并且唯一.其中 A=A:AA一或A=C(CC)I1(DD)I1D 这里A=DC是A的满秩分解式n】. 注:(a)当A为满秩矩阵时,A的一个加号逆恰好为它的常义逆矩阵A=A,;(b)矩阵A的极小范数 逆A:,最小二乘逆Af以及加号逆A,都是减号逆的一种. 定理2.1设A是m×n矩阵,若A是行满秩矩阵,则总有A一=A:=A(AA),;若A是列满秩矩 阵,则总有A一=At-=(AA)A;若rankA=r<min{In,n},则总有A一=A=C:Dt-,其中A=DC是A的 满秩分解式. 证明由引理2.1—2.4显然可得. 3求广义逆矩阵的初等变换法 给定一个m×凡矩阵A,总有m凡尼A {l<mintm,n?由定理2?-知,求矩阵A的任何一种广义逆矩阵,关键是求出一个A:和A一.而A一的求法,文献'I5已经给出,所以我们只需讨论A:和At-的求法. 设rank(AA)=r,(不必限制r<rain{m,凡})则存在m阶可逆矩阵P,Q,使得 P(AAr)Q=E — r 贝0AA=PDQ,.令 G=Q[三]P=Q.P (AA)G(AA)=(PI1DQI1)(QDP)(P一DQ一)=p-1DQ_.=P一DQ_.=AA 所以G是AA的一个广义逆矩阵(AA)一. 据此,我们对下面分块矩阵施行初等变换's-101: E olPIPc]AAr,Q洲:]P] O]P. 同理,对下面分块矩阵施行初等变换: Pxr~[ATArAQ州 ? 36?绵阳师范学院(自然科学版) 因此,Af=Q[Er兰PA.这里P,Q均为凡阶可逆矩阵. 例?设A= [三],求A的一个最小二乘逆Af. 解因为A=【一11 1411I 1114I 1O1 01I 所以 23 32 OO OO 0 75 14 11 14 1 巴 】,所以ArA=【三】.对下列矩阵施行初等变换有: 例2设A= [茎],求A的一个极小范数逆A二. 解因为巴 51O 1O20 153O 12 24 1,所以从r:46J — 31l1『5 II=【一5一 J 15] 30I.对下列矩阵施行初等变换有: 45j 0 IIl I 第27卷 23 3一H5一H—oo 2一M一7,OO . 一M一,oo 3一.:.00 _nI.. ?O,?O2一M4一,OO . 一M.一3一oo 3 5一H—oo..... 2一7,ooo.,n—M. . 一M,oo.o一.o n一M—O? HO一?O 11 一 _rl+r2 1?1一一OO H一1?????????????????????J 3一M5一M,oo 2一H一7一OO ? 一一M?001一:一一OO 1O一1O 1 —4 2一M4一 . 一M.一3 O1 1O 1?????J ?一M?一 OO?一5,OO O?一5O,OO . 一52—53—5,oo 3OO,3—56—5 2OO一2—54—5 ?OO,?一52—5 O?一5O,OO ? 一5OO,OO 369,3—56—5 m246,2—54—5 ?23一?一52—5 OO1一OO O1O—OO 1OO?OO ?一36 第2期邓勇:长方形矩阵的广义逆矩阵的计算方法?37? — 1OO OOO OOO ???I????????? OIOOO OIOOO OO OO OO OO OO 1OO 一 21O 一 3O1 OOO OOO 0 0 0 ??? O O O ??? 1OO 一 21O 一 3O1 OOIOOO OOIOOO A= [妻三三][妻量三][三;三;]={_【.0兰】 参考文献: [1]M.Z.Nashed.GeneralizedInversesandApplications.NewYork,1976. [2]J.C.G.Boot.TheComputationoftheGeneralizedInverseofsingularorRectangularMatri ces[J].TheAmericanMathematical Monthly,1963,70(3):302—303. 齐民友.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2003. 徐德余.求逆矩阵与广义逆矩阵的统一方法[j].绵阳师范学院,2004,23(5):5—8. 马秀珍,韩静华.关于几种广义逆矩阵及其应用的探讨[J].沈阳航空工业学 院,2005,22(2):74—75. R.E.Cline.ElementsoftheTheoryofGeneralizedInversesforMatrices.Newton:EducationDevelopmentCenter,1979. B.Nobel,J.W.Danie1.AppliedLinearAlgebra(2nded).NewJersey:Prentice— Hall,EnglewoodCliffs,1977. G.Strang.LinearAlgebraanditsApplications.NewYork:AcademicPress,1976. ,1992,05:26—27. 吴有为.求广义逆矩阵的初等变换法[J].数学通报 ]任晓红,李国兴,谢道生,等.求广义逆矩阵A的初等变换法[J].西北轻工业学 院,2000,18:105—106. ]徐德余.矩阵初等变换的推广及其应用[J].绵阳师范学院,2005,24(5):7—9. ACalculationMethodforGeneralizedInverseMatrixofRectangularMatrix DENGYong (DepartmentofMathematicsandPhysics,KashgarNormalCollege,Kashgar,Xinjiang844006) Abstract:Matrixisanimportantmathematicaltoolinthefieldofeconomicmanagementandengineering technology,ete.Generalizedinversematrixwouldbeemployedwherevermatrixmustbeused.Itisespeciallyim— portantinnumericanalysisandmathematicalstatistics.Inthispaper,amethodtofindthegeneralizedinverse matrixA二,Af—oftherectangularmatrixisobtainedwithelementary缸 aJ1sf0nnationofblockmatrix.Thismethod0 vereomesthecomplexoperationoffullrankdecomposition.Itissimpleandfeasible,easytooperate. Keywords:reet~mgularmatrix;generalizedinversematrix;blockmatrix;elementarytransformation OO?一5 O?一5O . 一52—53—5 ?OO 以 一?一52—5所 "mu