【高数】§5.2 偏导数与全微分

【高数】§5.2 偏导数与全微分nullnull2.1 偏导数 2.2 高阶偏导数 2.3 全微分 2.4 复合函数的微分法 2.5 隐函数的微分法null5.2.1 偏导数定义设函数 z = f (x,y) 在点P0 (x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义，固定 y = y0 ，得到 x 的一元函数 z = f (x, y0) 如果此函数在 x = x0 点导数存在，则称之为二元函数z = f (x,y)在P0(x0, y0)点对x 的偏导数（或偏微商）记作null类似可以定义函数 z = f (x,y) 在 P0...

nullnull2.1 偏导数 2.2 高阶偏导数 2.3 全微分 2.4 复合函数的微分法 2.5 隐函数的微分法null5.2.1 偏导数定义设函数 z = f (x,y) 在点P0 (x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义，固定 y = y0 ，得到 x 的一元函数 z = f (x, y0) 如果此函数在 x = x0 点导数存在，则称之为二元函数z = f (x,y)在P0(x0, y0)点对x 的偏导数（或偏微商）记作null类似可以定义函数 z = f (x,y) 在 P0 (x0, y0) 点对 y 的偏导数，记作如果函数z = f (x,y)在平面区域 D 内每一点处对 x 和 y 的偏导数都存在，则称它在区域 D 内偏导数存在，并说它在区域内是可导的.nullnull偏导数的求法偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看成是另一个自变量的一元函数的导数．因此，求二元函数的偏导数,只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行一元函数求导即可．一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.nullnullnull 由二元函数在点(x0,y0)处连续，得不出其偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点连续。故二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系. 一元函数在其可导点处一定连续。与此不同，多元函数的偏导数存在不能保证函数在该点处连续。这是因为偏导数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时，函数数值f(x,y)趋于f(x0,y0)，但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数f(x,y)趋于f(x0,y0).偏导数的几何意义由一元函数导数的几何意义：z= f (x,y)L= tan偏导数的几何意义y =y0同理，Tx作平面 y =y0在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0 , y0 ))处作曲线的切线 Tx偏导数的几何意义M z= f (x,y)Lx =x0作平面 x =x0Tx偏导数的几何意义偏导数的几何意义M 由一元函数导数的几何意义：z= f (x,y)L= tan.x =x0TxTy偏导数的几何意义.作平面 x =x0null5.2.2 高阶偏导数这样的二阶偏导数共有四个，分别记作nullnullnull5.2.3 全微分定义设二元函数 z = f(x,y) 在点(x0, y0)的某邻域内有定义. 当自变量 x，y 在此邻域内分别取得增量 Dx 和 Dy 时，函数的改变量为如果存在常数 A 和 B ，使得其中则称 ADx + BDy 为函数 z = f(x,y) 在点(x0, y0)处的全微分，记作null可微的必要条件于是函数 z = f(x,y) 在点 P0 处的全微分可以写成若函数 z = f(x,y) 在点P0(x0, y0)处可微，则函数在该点处的两个偏导数存在，并且可微可导null可微的充分条件若函数 z = f(x,y) 的偏导数在点P0 及其某邻域内存在，并且在该点连续，则函数在该点可微。null—— 函数对 x 和 y 的偏微分偏微分nullnull5.2.4 复合函数的微分法null复合函数求导——链锁法则设u=u(x,y), v=v(x,y)在点(x,y)处可导，z=f(u,v)在相应点(u,v)可微，则复合函数z = f[u(x,y), v(x,y)]在点(x,y)处也可导，且特别地，若z=f(u,v)，而 u=u(x), v=v(x)，则复合函数z = f[u(x), v(x)]是 x 的一元函数. 于是有称之为二元函数 f(u, v) 对 x 的全导数nullnull5.2.5 隐函数的微分法nullnullnull作业：p. 210, (二) 3 (5)~(8); 4 (2); 5; 7 (1)(2) 8 (2)(4)(6); 10 (2)(4); 11 预习：§3

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