null第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.1 离散傅里叶变换的定义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则x(n)的N点离散傅里叶变换定义为:X(k)的离散傅里叶逆变换为:由定义知：
DFT使有限长时域离散序列
与有限长频域离散序列
建立起对应关系null 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有
由于
所以，在变换区间上满足：离散傅立叶逆变换是唯一的null [例 3.1.1] x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。
解： 设变换区间N=8， 则：设变换区间N=16， 则：DFT的结果与N长度有关nullnull3.1.2 DFT和ZT/FT的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：比较上面三式可得关系式：或：
说明
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X(k)为x(n)的傅里叶变换X(e jω)在区间[0,2]上的N点等间隔采样。N点DFT的物理意义是对
x(n)的频谱在[0，2π]上进
行N点等间隔采样
即对序列的频谱离散化表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样。null上例中，DFT变换区间长度N分别取8、16，X (k)的幅度曲线图如图所示。因此，对同一序列x(n) ：
（1）DFT的变换区间长度N不同，变换结果不同。
（2）当N足够大|X (k)|的包络可逼近|X(e jω)|曲线。
（3）|X (k)|表示ωk=(2π/N)k频点的幅度谱线。null3.1.3 DFT的隐含周期性
DFT的隐含周期性可以从三个不同角度得出：
（1）X(k)是对x(n)的傅里叶变换X(e jω)在区间[0,2]上的N点等间隔采样，由于X(e jω) 周期性的， X(k) 也为周期性的。
（2）由于WNkn的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，周期均为N。
因为：对任意整数m，总有：所以， X(k)满足：同理在(3.1.2)式中，有： x(n+mN)=x(n)null 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， M为整数，
则 ((n))N=n1
x(n)为长度为N的有限长序列 （3）由X(k)与x(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系也可得出其隐含周期性。null图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 null 如果x(n)的长度为N， 且 (n)=x((n))N， (n)的离散傅里叶级数DFS表示为所以N点DFT的第二个物理意义是
x(n)的周期延拓序列x((n))N频谱特性3.2 离散傅里叶变换的基本性质3.2 离散傅里叶变换的基本性质学习DFT的性质要与FT的性质对照，弄清两者的主要区别：
FT的变换区间为（-，+），它以原点为对称点；
DFT的变换区间为0 n N-1 ，它以N/2为对称点。3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位
设x(n)为有限长序列，长度为M，则x(n)的循环移位为:
y(n)=x((n+m))NRN(n) (3.2.2) 3.2.1 线性性质
若x1(n)-----N1、x2(n)-----N2 y(n) = ax1(n)+bx2(n)，a、b为常数，
取N=max［N1, N2］， 则y(n)的N点DFT为:
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 (3.2.1)null图 3.2.1 循环移位过程示意图 null2. 时域循环移位定理
设x(n)是长度为M的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位， 即: y(n)=x((n+m))NRN(n)
则：
Y(k)=DFT[y(n)]N= W-kmNX(k) (3.2.3)
其中：X(k)=DFT[x(n)]N, 0≤k≤N-1。 时域循环移位
频域乘以W-kmNnull3. 频域循环移位定理
若： X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1
Y(k)=X((k+l))NRN(k)
则： y(n)=IDFT[Y(k)]=WnlNx(n) (3.2.4)频域循环移位
时域乘以WnlNnull3.2.3 循环卷积定理
1． 两个有限长序列的循环卷积
设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为
（3.2.5）yc(n)=h(n) x(n)L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。null用矩阵计算循环卷积的公式当n = 0, 1, 2, …, L－1时，由x(n)形成的序列为:
{x(0), x(1), …, x(L－1)}令n=0, m=0, 1, …, L－1，(3.2.5)中x((n-m))L形成的循环倒相序列为令n = 1, m = 0, 1, …, L-1，由式（3.2.5）中x((n-m))L形成的序列为null上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:
（1） 第1行是序列{x(0), x(1), …, x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M
办法
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预滤波
增大采样频率2. 栅栏效应
2. 栅栏效应
1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对FT在一个周期内的N点等间隔采样。
2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景。解决途径：
在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点，使 一 个 周 期 内 点 数 增 加, 但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据。 null(3) 截断效应
实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n), 称为矩形窗函数。
根据傅里叶变换的频域卷积定理，有null
其中
对矩形窗数w(n)=RN(n)，有
null 例如，x(n)=cos(ω0n)，ω0=π/4, 其频谱为
Y(ejω)与X (ejω)相比有两方面的差别：
（1）存在泄漏（谱的展宽）（2）谱间干扰（旁瓣引起）null比较截断前、后的幅度谱的差别：
频谱泄露
定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽 的现象称为频谱泄漏。
约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。
影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。
谱间干扰
出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣
影响：降低谱分辨率
泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。
减轻截断效应的方法---
（1）适当加大窗口宽度；
（2）采用适当形状的窗函数截断
null [例] 设模拟信号xa(t)＝cos(2×1000t+)，现在以时间间隔Ts=0.25ms进行均匀采样，假定从t＝0开始采样，共采N点。
(1)写出采样后序列x(n)的表达式和对应的数字频率。
(2) 若希望DFT的分辨率达到l Hz，应该采集多长时间的数据。
解 (1)对应的数字频率：=Ts=0.5
(2)要使分辨率达到 1Hz所以，需要采集1秒时间的数据。
浙公网安备 33021202002483