凸函数的定义和性质

凸函数的定义和性质凸函数的定义和性质凸函数的定义和性质 2008年《和田师范专科学校》(汉文综合版)JuI.2008第28卷第三期总第53期凸函数的定义和性质段锋 (常德职业技术学院应用工程系湖南常德415000) [摘要]凸函数是数学分析中的一个重要概念,本文对凸函数的定义,性质以及应用作出较为详尽的介绍,并对其中一些常用结论进行了证明. [关镶E词]凸函数;数学分析:J~sen不等式:级数;收敛:单调减少凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学,运筹学,管理学,...

凸函数的定义和性质凸函数的定义和性质 2008年《和田师范专科学校》(汉文综合版)JuI.2008第28卷第三期总第53期凸函数的定义和性质段锋 (常德职业技术学院应用工程系湖南常德415000) [摘要]凸函数是数学分析中的一个重要概念,本文对凸函数的定义,性质以及应用作出较为详尽的介绍,并对其中一些常用结论进行了证明. [关镶E词]凸函数;数学分析:J~sen不等式:级数;收敛:单调减少凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学,运筹学,管理学,和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.本文对凸函数的定义,性质以及应用作出较为详尽的介绍,并对其中一些常用结论进行了证明.本文只对上凸函数进行讨论,而对下凸函数(有时亦称凹函数)可以进行相似的讨论. 1.凸函数的定义设函数y:在区间I内有定义,如果对于Vx,,x,?I,连 (xt,f(xt))(x2,.,()J两点的弦都在介于这两点的弧段之下,则称该函数在区间I内是凸函数. 这个定义是凸函数的几何特性的直观描述,明确且容易把握. 2.凸函数的性质性质I.如果函数Y,J在区间(a,b)内是凸函数,则对于 VxI,x2?【a,b)及V?【0,1】,都有: f[~Lxl+(1一X)x2】?Xf(x1)+(1一X)f(x2)(2.1) 证明:设(,f(x))和(x2,厂())是曲线Y厂()上的任意两点,(不妨设xt<),则过这两点的直线的方程为 y:.f(x.)+兰二兰!f(x, )?据凸函数的定义,连接,-,.()) x2一x. , . x2一xI. 和【,.,)J两点的弦都在介于这两点的弧段之下,故 f(x)?f(XI)+x2)(2?2—X2--—X:,则 x2一xlx2一xl一 :1--(2.3).显然,当x.xx2时,e[o,1】.将2.3 一 ^ 式代入2.2式,并且注意x:kx. +(1一X)x:,于是有: f[Xxl+(1一)x2】f(xI)+(1一)f(x2),证毕. 推论1.1如果函数y厂)在区间(a,b)内是凸函数,则对于Vxl,x2?(a,b),髓 r ('/f(x1)+f(x2)(2.4).2 证明:将2.1式中的九取为1/2,代入2.1,即得2.4式. 推论1.2(Jensen不等式)如果函数Y,)在区间(a,b) 内是凸函数,则对,…,?(口,b),以及,…, ?【o,l】且:l,都有厂(++...+)?厂()+ p2f(x2)+…+/)(n?Z)(2.5). 证明;对n作归纳推理: (1)当n=l时显然成立,而当n=2时,2.5式就是2.1式,也成立. (2)而假设当n=k时,2.5式亦是成立的,则只需证明当n=k+l 时也成立即可,也就是证明对于,…,?(口,b)以及 k+l Vp…P…,Pk+?[o'l】且?pi:l,恒有: I?+P2X2+…++l"J ?pif(xi)+p2f(x2)+…++I,(+I) 实际上,令xxk+?Lx?,其中pk+p?=p,P>0, PP k十则:?:1.由假设: 厂(+屯+…+一I一I+f) .,.()+厂(xO+…+.1厂(一1)+_() = )+p2f(x2)+...+f(xt_)+,ofI丛+盟IPP/ >- p~f(x1)+厂(屯)+…+p一f(xt.,)+pl丝厂()+.』!厂()ILPPj =ptf(x~)+p2f(x2)+…+I.1厂一I)+ptf(xt)+pt+If(xt+I) 得证. 定理2如果函数y=厂)在区间(a,b)内是凸函数,且厂() 在(a.b)内可微,则f,(x)在(a.b)内单调减少(不必二阶可微). 证明:用反证法证明,先假设函数f,(x)在(a,b)内并不总是单调减少,同时由于函数y=厂)在(a,b)内可微,故函数f(x) 至少区间(a,b)的一个子区间fa,.b,1内单调增加. 由于函数y厂()在(a.b)内是凸函数,所以函数y厂)在 fa,.br1内也是凸函数. 对于,?6,),不妨设,又设xo=—xt_+x2,则由2.4 媚f(f(xI)+f(x2).2 所以,f(x0)一f(x)?f(x2)一f(x0), 所以,二坠二(2.6). Xo—XIx2一xo 而由拉格朗日中值定理,在(x,Xo)中至少存在一个薯,使 f(号): f(号2): — f(— Xo)-f(— x — 0在(Xo,x2)中至少存在一个薯2,使 21二兰显然亏l<薯2a而由2.6则有厂()> X2一xo 厂(己).这与假设矛盾,所以假设不成立.得证. 3.凸函数的运算性质由凸函数的定义很容易得出如下结论: 性质1.设函数序列{fn(x))中每一个函数在区间I上都是凸函数,则这个函数列的和C(X)在区间I上也是凸函数.一性质2.设函数序列{fn(x)}中每一个函数在区间I上都是凸函数,且lim(x):f(x),则函数厂)在区间I上也是凸函数. 性质3.设收敛的函数像级数s(x):e(X)中各项'(x) i=t (i=l,2,3,……)在区间I上都是凸函数,则函数1在区间I 上也是凸函数. 参考文献: 【llT~g.数学分析的概念与方法【M1.上海科技出版社,1988. 【21孙本旺等.数学分析中的典型例题的解题方法【M1.湖南科技出版社,1993. 【31李建国.凸函数【J1.益阳师专,1986(1). 【4】刘锐宽.凸函数的几个性质田.阜新矿业学院,1988(3). 【51俞文辉等凸函数的不同定义间的关系及应用田.南昌高专,2005(5). Thedefinitionandnlllln'~ofconvexfuncti彻 AI~llrllt'tCOllV~functionisaimportantconceptofMathematicalanalysis roams'is.inthispaperexpoundthedefinitionofconvexfunction, andproves0me commonnaturesofconvexfunctiot~ Keyword:convexfunction;mathematicalanalysiscoumsis;JensenInequality series;convergence;monotonedc口easing 作者简介:段锋(1967.),湖南常德职业技术学院应用工程系高级讲师,研究方向:高等数学,微分方程.收稿日期:200%11-8 196

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