梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
梁在外力作用下,各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置,则剪力 Q 和弯矩 M 可以表示为坐标的函数,即
它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样,可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时,取平行于梁轴线的直线为横坐标 轴,值表示各截面的位置;以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负,这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形,称为剪力图和弯矩图。 例 5-1 简支梁 AB 承受承受均布荷载作用,如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程,并绘制剪力图和弯矩图。
图 5-10
解: (1) 计算支反力 以整梁为研究对象,利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的,所以 A 、 B 两端的支反力应相等,即
(1)
方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程 以梁左端 A 为的坐标原点,取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力 Q () 、弯矩 M () 皆为正,如图 5-10b 所示。由平衡方程
将 (1) 式代入上面两式,解得
( 2 )
( 3 )
(2) 、 (3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图 由式 (2) 可知,剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值,如 A 、 B 两截面的剪力,即可作出剪力图,如图 5 - 10c 所示。
由式 (3) 可知,弯矩图为一抛物线,需要算出多个截面的弯矩值,才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值:当时 , M =0 ;当
时,;当 时,。由此作出的弯矩图,如图 5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知,在靠近 A 、 B 支座的横截面上剪力的绝对值最大,其值为
在梁的中央截面上,剪力 Q , 0 ,弯矩为最大,其值为
例 5-2 简支梁 AB 承受集中力偶 M作用,如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。 0
图 5-11
解: (1) 计算支反力 由平衡方程分别算得支反力为
反力 R的方向如图, R为负值,表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。两个支反力形成的力偶矩刚好与集中力偶 M平衡。 AB0(2) 建立剪力、弯矩方程 由于梁上作用有集中力偶,剪力、弯矩方程同样应分段列出。利用截面法分别在 AC 与 CB 段内截取截面,根据截面左侧 ( 或右
侧 ) 梁段上的外力,列出剪力方程和弯矩方程为
AC 段
(1)
(2)
CB 段
(3)
(4)
(3 )绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3)两式可知,两段梁上的剪力相等,因此,AB 梁的剪力图为一条平行于 x 轴的直线 ( 图 5-11b) 。由 (2) 、(4)两式可知,左右两段梁上的弯矩图各为一条斜直线,如图 5 - 11c 所示。由图可见,对于 a
规定
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把弯矩图画在杆件弯曲变形凹入的一侧,也就是画在杆件受压的一侧