预应力筋线型及预应力内荷载的分布规律

收稿日期 : 2005207203 基金项目 : 辽宁省自然科学基金资助项目 (03023685)· 作者简介 : 张道明 (1965 - ) ,男 ,吉林白城人 ,东北大学博士研究生 ,吉林白城师范学院讲师 ; 梁 　力 (1955 - ) ,男 ,辽宁丹东人 ,东 北大学教授 ,博士生导师· 第27卷第5期 2 0 0 6 年 5 月 东 北 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) Journal of Northeastern University (Natural Science) Vol127 ,No. 5 May 2 0 0 6 文章编号 : 100523026 (2006) 0520567204 预应力筋线型及预应力内荷载的分布规律 张道明 , 梁 　力 , 李 　明 (东北大学 资源与土木工程学院 , 辽宁 沈阳　110004) 摘 　　　要 : 针对二次抛物线不能准确反映预应力筋实际线型特点的事实 ,提出了采用三次样条插 值函数作为预应力筋的布筋线型函数 ,并在理论上确定了预应力筋反弯点的空间几何位置·根据预 应力内荷载的特点 ,推导了预应力内荷载的计算方法 ,并应用这种函数精确地确定了预应力内荷载 的分布规律·同时 ,设计了单层单跨预应力钢筋混凝土框架结构 ,对试件进行了实测 ,并结合大型 ANSYS有限元 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 程序进行数值模拟研究·试验结果和 ANSYS有限元数值模拟结果相互吻合 ,验 证了预应力筋的线型为三次样条插值曲线及预应力内荷载的分布规律为曲线函数的结论· 关 　键 　词 : 预应力筋 ;布筋线型 ;样条插值函数 ;反弯点 ;预应力内荷载 ;ANSYS 中图分类号 : TU 378 　　　文献标识码 : A 在预应力钢筋混凝土梁板等超静定结构中 , 连续曲线布筋应用十分广泛[1 ,2 ]·连续曲线布筋 改善了构件截面的受力形态 ,适应梁板结构沿构 件长方向正负弯矩多次交变的特点 ,同时 ,连续曲 线布筋也满足预应力筋施工 工艺 钢结构制作工艺流程车尿素生产工艺流程自动玻璃钢生产工艺2工艺纪律检查制度q345焊接工艺规程 要求·目前 ,除了 普遍选用二次抛物线[3～5 ]作为预应力筋布筋曲 线函数 ,还有其他的布筋曲线函数 :如 ANSYS 土 木工程模块预应力筋线型编辑器中应用的贝塞尔 曲线 (Bezier curve) 和文献 [ 6 ] 的双圆曲线 ( bi2 circular curve)·其中 ,二次抛物线可以满足单波布 筋线型的要求 ,但不能满足连续曲线布筋对曲线 光滑的要求·本文借鉴文献 [ 6 ]的方法 ,首次提出 应用分段三次样条函数作为预应力筋线型函数的 方法 ,并根据三次样条插值理论 ,推导出满足布筋 曲线要求的三次样条曲线函数·根据预应力对结 构作用的特点 ,首次确定预应力内荷载分布规律 , 为预应力筋准确布筋和准确计算预应力内荷载提 供了理论依据· 1 　布筋曲线函数的确立 1. 1 　预应力束几何特征 按等效荷载法和平衡荷载法 ,理想的预应力 束形状在中间支座处形成尖角[2 ] ,但为满足支座 处承载力和施工工艺的要求 ,此处的预应力束形 成反向曲线[7 ]·因此 ,过渡曲线的长度αl 应根据 梁的尺寸、预应力筋的柔度、支座处负弯矩确定· 典型预应力筋曲线如图 1 所示 ,它由三段曲线组 成预应力筋线型 ,其曲线函数为 f i ( x ) ( i = 1 , 2 , 3) 、曲线上的点 A , B , C 平面位置已知 ,而且 ,根 据预应力筋曲线的特点 ,在 B , D 点曲线一阶导 数为零 ; C 点是曲线的拐点 ,具有函数连续、一阶 导数连续和二阶导数为零的特点· 1. 2 　预应力筋曲线的确定 根据预应力筋的几何特征 ,不仅要求其曲线连 续 ,而且还要求曲率连续 ,这就要求分段曲线在整 个区间上具有连续的二阶导数 ,二次抛物线不能满 足此项要求 ,而三次样条插值函数能满足预应力筋 曲线的特点·三次样条插值函数实际上是由一段 一段的三次多项式曲线拼接而成[8 ]·在拼接处 ,不 仅函数自身是连续的 ,它的一阶导数和二阶导数也 是连续的 ,该样条曲线不但具有非常好的光滑性 , 而且具有良好的收敛性和稳定性[9 ,10 ]· 根据预应力筋曲线各段函数的边界条件 ,其 曲线可分为两类 : ①给定的曲线一端一阶导数为 零 ,如图 1 曲线 AB 段 ; ②给定的两段相邻的曲线 起始段和末端段一阶导数为零 ,在两段曲线拼接 点处一阶导数相等 ,二阶导数等于零 ,如图 1 曲线 B C 和 CD 段·根据三次样条插值函数曲线理论 , 在小区间[ x i , x j ]上 ,其基本函数方程如下 : f i ( x ) = ( x i - x) 3 6Δx i 92 f i ( x i - 1)9 x 2 + ( x - x i - 1) 3 6Δx i 92 f i ( x i)9 x 2 + f i ( x i - 1) - 92 f i ( x i - 1) 69 x 2 Δx 2i ( x i - x)Δx i + f i ( x i) - 92 f i ( x i) 69 x 2 Δx 2i ( x - x i - 1)Δx i · (1) 式中 ,Δx = x i - x j· 设曲线上各点 ( A , B , C , D) 的二阶导数为 MB = 92 f ( xB )9 x 2 , MB = 92 f ( xB )9 x 2 ; M C = 92 f ( x C)9 x 2 , M D = 92 f ( xD)9 x 2 · 其中 ,由于 C 点是拐点 ,则 M C = 0· 图 1 　预应力线型 Fig. 1 　Tendon profile 由式 (1)可以看出 ,确定曲线方程关键是确定 各端点的二阶导数· 在曲线 B C 段 ,由曲线的边界条件9 f ( xB )9 x = - ΔxB C3 MB - ΔxB C6 M C + f ( x C) - f ( xB ) ΔxB C = 0 ;9 f ( x D)9 x = - Δx CD3 M C +Δx CD6 M D + f ( xD) - f ( x C) Δx CD = 0 · 整理上式 ,并联立 M C = 0 得 MB = 3 ( f ( x C) - f ( xB ) ) Δx 2CB ; (2) M D = 3 ( f ( x C) - f ( xD) ) Δx 2CD · (3) 根据插值函数内节点处处有连续的一阶导数 的条件 ,由三弯矩方程[9 ]确定的曲线 AB C ,各节 点二阶导数 M A , MB , M C 之间的关系方程如下 : μB M A + 2 MB +λB M C = dB · (4) 式中 , μB = xB - xA x C - x A ,λB = x C - xB xc - x A ; dB 为曲线 AB C 的二阶差分 dB = 6 f [ xA , xB , x C ] = 6 Δx A C f ( x C) - f ( xB ) ΔxB C - f ( xB ) - f ( x A ) Δx AB · M A = dB - 2 MB μB · (5) 通过公式的推导已确定了曲线各节点处的二 阶导数 ( M A , MB , M C , M D) ·因此 ,可以确定各段 曲线函数方程· 1. 3 　曲线反弯点 C 的平面位置确定 根据式 (1)～式 (4) ,在曲线 B C , CD 段有 f ( x ) x = x +C = f ( x C) ( f ( x C) - f ( xB ) ) ΔxB C f ( x ) x = x -C = f ( x C) ( f ( x D) - f ( x C) ) Δx CD 则有 f ( x C) - f ( xB )ΔxB C = f ( xD) - f ( x C) Δx CD , (6) 说明 C 点在 B 点和 D 点的连线上· 反弯点 C 距内支座水平距离αl =Δx (α= 0105～0115) 的大小是由 CD 的曲率决定的 ,应满 足施工工艺要求[7 ]·根据《混凝土结构规范》,钢 绞线和钢丝束的曲率半径ρ≥4 m ,则 D 点处曲 率半径 ρD = Δx 2CD 3 ( f ( xD) - f ( x C) ) ≥4 m ; (7) 则 Δx = αl ≥12 f ( x D)ΔxBD , (8) α ≥12 f ( x D)lΔxB C , (9) 则 f ( x C) = f ( xD) - ( f ( x D) - f ( xB ) ) Δx CD ΔxBD · (10) 在实际结构设计中 ,还要求满足跨中截面抗 裂的综合弯矩的要求 ,如果α取值过大 ,会减小 跨中综合弯矩值 ,从而降低构件跨中截面抗裂性 能 ,因此 ,合理选择α值是十分必要的·由式 (6) 、 式 (8) 、式 (10) 可知 ,反弯点在预应力筋最高点和 最低点的连线上 ;反弯点距内支座距离αl 与内支 座处的预应力筋高度成正比 ,与反弯点前后的预 应力筋最高点和最低点的距离成反比·在理论上 公式 (9) 和 (10) 确定了预应力筋反弯点的空间位 置· 2 　预应力荷载的确定 预应力荷载是通过对预应力筋施加张力 ,锚 固预应力筋使其阻止预应力束回缩 ,并阻止预应 力筋法向反弹[10 ]建立的内荷载 ,理论推导如下· 单位长度Δx 的预应力束法向反弹力 Fr 形 865 东北大学学报 (自然科学版) 　　　　　　 　　　　　第 27 卷 成的内荷载如下 :任取一段Δx 长度预应力束如 图 2 所示 ,设预应力束曲线为 y = f ( x ) ·预应力 束微单元切向夹角α和β可由图 2 求得 ,根据泰 勒公式 :9 f x - Δx29 x = 9 f ( x )9 x - 92 f ( x )29 x 2 Δx +93 f ( x ) 49 x 3 Δx 2 + ⋯;9 f x +Δx29 x = 9 f ( x )9 x + 92 f ( x )29 x 2 Δx +93 f ( x ) 49 x 3 Δx 2 + ⋯· 图 2 　预应力束反弹力 Fig. 2 　Normal re silience of tendon 去掉三次幂及更高阶的项 ,切线夹角为 α = Δx 92 f ( x ) / 29 x 2 1 + ( 9 f ( x ) / 9 x) 2 ; β = Δx 92 f ( x ) / 29 x 2 1 + ( 9 f ( x ) / 9 x) 2 · 由几何关系确定预应力束单元法向反弹力 Fr : Fr = A pσp ( x ) (sinα+ sinβ) = A pσp ( x )Δx 92 f ( x ) / 9 x 2 1 + ( 9 f ( x ) / 9 x) 2 · (11) 同时 ,确定了预应力束微单元法向内载集度 qr : qr = Fr (1 + f′( x ) 2) d x = A pσp ( x ) 92 f ( x ) / 9 x 2 (1 + ( 9 f ( x ) / 9 x) 2) ∃− · (12) 根据实际结构理论分析和设计的需要 ,由曲 线几何关系确定预应力束横向内载集度 qr , y ( x ) 为 : qr , y = qrcos (1 + f′( x ) ) ∀− d x = qr · (13) 从式 (12) 和式 (13) 可知 ,预应力束微单元法向内 载集度 qr 比较全面地反映了预应力荷载是如何 产生的·预应力束横向内载集度 qr , y ( x ) 不但适 用于预应力筋线型为二次抛物线时的预应力内荷 载计算 ,也适用于三次样条插值曲线函数为预应 力筋线型时预应力内荷载计算·可以说 ,法向内载 集度 qr 满足了结构对预应力荷载精确计算的要 求·同时 ,从式 (13) 可以看出 ,如果预应力筋曲线 方程取二次抛物线方程 ,式 (13) 为等效荷载表达 式·根据样条插值理论确定布筋方程如下 : 预应力束三次样条插值曲线函数方程的 AB 和 D E 段 : y = - 15 (1 - X) 2 - 45 X + 165 ; BD 段 : y = 60 X3 - 180 X + 120· X = x 350 , ( AB :0 ≤ x < 350) ; x - 350 1 400 , ( B C :350 ≤ x < 1 750) ; 3 150 - x 1 400 , ( CD :1 750 ≤ x < 3 150) ; 3 500 - x 350 , ( D E :3 150 ≤ x < 3 500) · 根据不同的曲线函数和不同的预应力荷载计 算方法确定预应力梁横向荷载分布·如果不考虑 预应力损失 ,预应力梁横向荷载分布为曲线·由插 值函数方程可见不同的预应力束曲线函数和预应 力荷载计算方法对梁横向内荷载分布的影响·说 明三次样条插值曲线真实地反映了预应力筋布筋 形态· 3 　试验及数值分析 3. 1 　试验概况 试验仅在框架梁上采用后张法施加预应力 , 采用无粘结预应力筋·试件混凝土为 C40 , 采用 整体现浇制作·预应力筋采用一端张拉·试件张 拉控制应力均取 1 079 N/ mm2· 3. 2 　试验及数值分析 通过对预应力筋加载张拉力 ,实测了框架结 构的内力反应 ,如图 3 所示·采用 ANSYS 公司的 有限元分析程序分别应用三次样条插值曲线方程 和二次抛物线作为预应力筋曲线方程对试件进行 了数值模拟 ,结果见图 4 和图 5·通过实测结果和 数值模拟结果对比 ,可知取三次样条插值函数为 预应力筋曲线方程时 ,其数值模拟结果和实测值 接近 ;二次抛物线为预应力筋曲线方程时 ,数值模 拟结果有一定误差· 图 3 　实测弯矩图 (kN·m) Fig. 3 　Bending moment of te st (kN·m) 965第 5 期 　　　　　　　张道明等 : 预应力筋线型及预应力内荷载的分布规律 图 4 　样条曲线的内荷载弯矩图 (kN·m) Fig. 4 　Bending moment of spline (kN·m) 图 5 　等效荷载弯矩图 (kN·m) Fig. 5 　Bending moment of equivalent loads (kN·m) 4 　结　　论 (1) 首次提出应用样条插值理论 ,解决预应 力筋多波连续布筋函数问题· (2) 三次样条插值函数方程的选用是合理 的 ,它可以准确计算预应力荷载和设计预应力筋 线型· (3) 应用三次样条插值函数能准确地确定预 应力筋反弯点位置· (4) 曲线函数的合理选择 ,为准确计算预应 力内荷载提供了条件 ;为采用有限元法分析预应 力结构 ,提供了预应力内荷载边界条件· (5) 预应力横向内荷载值沿梁长方向分布规 律为曲线函数· 参考文献 : [ 1 ] 孙保俊·预应力连续配筋线型与等效荷载研究 [J ]·工业 建筑 , 1998 ,28 (11) :19 - 23· ( Sun B J . 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Correspondent : ZHAN G Dao2 ming , E2mail : zdmzdm @ sina. com) Abstract : A cubical spline interpolation function is put forward to show the tendon profile of prestressed bars because the tendon profile canpit be accurately expressed by the quadric parabola. With the cubical spline , the spatial location of tendonpis inflexion and the way to calculate prestressed internal load are both given theoretically and the nonlinear distribution of prestressed internal load is revealed. In addition , two samples of prestressed RC frames of single floor and span are tested with a numerical simulation done by ANSYS. The results of experiments and numerical simulation are very near. Thus , a conclusion is drawn that the tendon profile shows a cubical spline interpolation curve and that the prestressed internal load is distributed nonlinearly. Key words : tendon ; tendon profile ; spline function ; inflexion ; prestressed internal load ; ANSYS ( Received J uly 3 , 2005) 075 东北大学学报 (自然科学版) 　　　　　　 　　　　　第 27 卷