陈鄂生--量子力学习题与解答-第一章－(双页并排,无涂污,文字经OCR处理)

考研辅导教材 垦 r力学习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与解答 陈鄂生 山东大学威海分校 空间科学与物理学院 内容简介 本书根据作者在山东大学与山东大学威海分校讲授"量子力 学"课程的资料整理而成.书中汇集量子力学习题约 280 个，按类 型分成八章，并给出详细解答.这八章的内容是，薛定诗方程与一 维定态问题，力学量算符，表象，三维定态问题，近似方法，自旋，全 同粒子体系，散射.每章前面列出学习要点.这些习题大部分取自 近十余年中国科学院与中国科技大学，南京大学，复旦大学，北京 大学等硕士研究生入学考试试题.在附录 1 中，给出上述院校量子 力学试卷 70 多份，它们都是历届学生提供的.这些试卷的试题，除 简单题外，均给出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 或答案出处(前八章).附录 2 收录了国外某 高校的一份量子力学试卷，并给出试题的参考答案，相信对国内学 生会有帮助.本书也是"量子力学基础教程"(陈鄂生，山东大学出 版社， 2007 年)的配套书，该书中大部分习题的解答可以从本书中 找到.附录 3 给出查找该书习题解答的索引. 本书可作为大学本科物理专业"量子力学"课程的参考书，并 供报考物理专业硕士研究生的考生考前学习使用. 普朗克常数 光速 电子电荷绝对值 精细结构常数 阿伏加德罗常数 玻耳兹曼常数 气体常数 电子质量 质子质量 中子质量 玻尔半径 电子经典半径 玻尔磁子 核磁子 基本物理常数 h = 6. 62608 X 10-34 焦耳·秒二 6. 62608 X 10-27 尔格·和、 ñ = h/ 2π= 1. 05459 X 10-34 焦耳·秒 = 1. 05459 X 10-27 尔格·秒 c = 2. 99792 X 108 米/秒 = 2. 99792 X 10 10 厘米/秒 e 二 1. 60219 X 10-19 库仑 = 4. 80324 X 10-10 静电单位 α = e2 /ñc = 1/137.036 二 7.29735 X 10-3 NA 二 6 ‘ 02205 x 1023 1 克分子 k = 1..38066 X 10-23 焦耳/度 = 1. 38066 X 10一16 尔格/度 R = NAk = 8. 31441 焦耳/度·克分子 二 8.31441 X 10 7 尔格/度·克分子 me = 9. 10953 X 10-31 千克 = O. 511003 MeV /c2 mp = 1. 67265 X 10-27 千克 = 938 ‘ 280 MeVfc2 m n = 1. 67492 X 10~2í'干克= 939.553 MeV /c2 a 二 Jr2 / l1lee 2 二 5. 29177 X 10-l1米 re = e2 /m.ec2 = 2. 81794 X 10-15 米 ρ 二 eJ[ /2mec = 9. 27408 X 10-24 焦耳/特斯拉 = 9.27408 X 10-21 尔格/高斯 μN = eli /2mpc --.:.. 5. 05082 X 10-27 焦耳/特斯拉 = 5.05082 X 10-24 尔格/高斯 1 焦耳= 10 7 尔格 1λ = 10一10 m = 10-8 cm 1 a. m. u = 1. 66057 X 1 。一27 kg = 931. 502 MeV f c2 1 eV = 1. 60219 X 10-19 焦耳 = 1. 60219 X 10一12 尔格 1 特斯拉= 10 4高斯 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 附录 1 目 录 薛定i号方程，一维定态问题· 力学量算符· 表象……... ... ... ... ... .., ... ... ... ... ... ... ... ... .,. .., ... ... 三维定态问题… 近似方法…. , • • 自旋…… I •• ••• • • • • • • .. •• , •• ... . .•• • •• ••• • • • • • • •• . • • • • •. ".. ••• • • • 全同粒子体系…. 散射……..........，...................."....二. .. . . ." ... . . . . . " 60 119 148 192 279 365 411 硕士研究生入学考试试题…………………………… 433 中国科学院(1990~2008) …………………………… 433 复旦大学(1995 r--.J 2006) ……………. . lIIÌi……………… 460 南京大学(1992~2007) ……………………. . .……… 468 北京大学(1992 ， 94--..-2007) ………………………… 483 附录 2 国外某高校试卷 1 份………………………………… 501 附录 3 "量子力学基础教程"习题解答索引………………… 514 第一章 薛定湾方程，一维定态问题 学习要点 1. 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋 运动的粒子的态，用波 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数中(r ， 。表示， I ø(r , t) 尸 di 表示 t 时刻 粒子处于空间 r 处 dr 体积元内的几率，即 lø(r ， t) 1 2 表示几率密 度.根据波函数的物理意义，波函数 Ø(r ， t)应具有如下性质: (1) 在全空间找到粒子的几率 f I if!(叫 2崎有限值，目11 ø(r ， t) 是平方可积'的; 或 其中 (2) I cþ(r , t) I 是单值的; (3) tþ(.r ， t) 与 \J tþ(r ， t) 是连续的. 2. 波函数 cþ(r ， t)满足薛定博方程 咔仰，叫-2v2 十VC叫øC川 咔￠川=的(川 (1-2) 自=一手\1 2 十V(r ， t) (卜3) Lμ ñ;?: 是粒子的哈密顿算符.它由动能算符 T=一~ \1 2 与势能算符2μ V(r , t) 组成.如果势能 V. = V(r) 不含 t ， 则 cþ.(r , t) =矿山lñcþ (r) (1-4) ø(r) 满足定态方程 〔-272十叫￠ω-.- E cþ(r) (1-5) 或自ø(r) === E ýJ (r) (1-6) 这里 E作为哈密顿算符 H 的本征值，代表粒子的能量.在己知势 能 V(r) 的条件下，可以求出定态方程。一5) 的解:定态能量 E与 定态波函数 tþ(r) . 对于粒子被束缚在有限空间内运动的态(束缚 态) ，定态能量 E 取分立值，假定定态方程 (1 日的解已经求出， 它们是 En 与 øn(r) ，η~ 1 ， 2 ，….选择件1 (r) 中的常数因子，可以使 之满足归一化条件 JI ψ冉ω川川1(ββ(，ω川r 包含时间在内的定态波函数为 Ø'1 (r , t) = e - iE" 内øll(r) 含时薛定博方程(1-1) 的二般解为 (1二7) (1二8) ￠(r ， t 〉 =21CnjZn附件l(r) (1--9) 其中 Cn为任意常数.如果已知初条件 μr ， t 二 0) 二伊(r) ， 则常数 Cn不再是任意的，它由伊(r) 唯→地确定: Cn === ( 川)= J 们 ) 伊科W州(ωωr忖) (1--10) |阳C.，η1 1 2 代表粒子的能量取值为瓦的几率. 3. 一维束缚定态有如下性质: (1) 能量是非简并的; (2) 波函数是实函数; (3) 如果势函数 v(x)满足对称条件 V(-. x) ==V(x) ，则波函 数 ø(x)有确定的宁称 ，ifJ (x)不是偶函数，就是奇函数. 4 一维元限深方势阱 V(x) = { 2 。α 能量和波函数为 E ., ===!12 1[2/[2 2ρa2 .' n= 1 , 2 ,… (1-11) ø.(X)=~J! sin 芋， Oa 如果坐标原点取在势阱的中心，则定态波函数为 (1-13) 。， |z|>? cþn(♂)具有宇称〈二 1)叶1. 为 5. 势能为 VU)=im2工2 的一维谐振子定态能量和波函数 2 E. = (n 十打印， n === 0 , 1 , 2 ,… tþll (x) === N n e一ι2 /2 H n (ax ) , N n α π 1/22 nn ! (1一14) (1一15) 件(工)具有宇称(- l)n. 6. 在 8 函数势场 v(x) == AO(x - a) 中，定态波函数 ø(x) 在 x a 点连续，波函数的一阶导数 ø' (x) 在 x α 点不连续: -" 2uA ø'(α+) 一￠ru)= 尹仰) (1--16) 7. 波函数为 ø(x) 的一维运动粒子的动量几率分布函数为 W(p) = I /qlu/ïJe 叫ωdx 1' 2 (1 • 17) 几率流密度为 j =-Z(旷(工)扣ω-W〉 tr叫 (1-18) 3 (6) 卢tgßa . α (7) ~==卢α 片、 可 习题与解答 1J==aa , 式 (V)变为 一个质量为严的粒子在一维势场1. 1 (8) 1]== ~tg~ 由平与 C 的定义式(7)得IX.I>α IxlO). 2μYoa2 lf2 其中(1) 求基态能量 E。满足的方程; (2) 求存在且仅存在一个束缚态的条件. (10) Q== 在上述有限深方势阱中的束缚定态能量 Efl 能在 O[解] 与 -v，。之间，令 C 11llIlli--It--lπ 今缸 μ、71tff''/ d4/ ,, 一-， '-2|!,-,,, It--t n丁一 一句 J CJFQ V 均l 飞叭 lllJ 川/」 β霄 η (1) E== 一|凹， α=JTJ=俨阶IEI) 定态方程为 Q Ixl>α d2ψ(x ) 2 dxZ 一 α "1. O ，市〉 0) 内的交点得到市。，啦，….从而得到偶宇称定态能量 (3) (4) 工<-a -aa <þZ (:x;) == B COSßX 队 (x) ==A e一皿 由￠与 ø'在 x==a 点的连续条件，得 Bcosßa二Ae一础 (11) 5 Ei == 二异; (t=0 ,2,…) Lμa- (5) Bßsin.卢。 ==A αe一回 以上两式相比，得 4 从图 1. 1 看出，无论势阱参数 G 与 V。取什么值，至少存在一个偶 宇称的束缚态→基态.基态能量 E。满足的2工程为(功与 (9) . 类似地推导可得奇宇称态能量 E 由方程 币二 -'ctg' (12) 与 (9)决定由图 1. 1 看出，只有当 Q>号时，才存在奇宇称的束缚 态(曲线 (12) 与 (9)才有交点) ，它的最低能量 E1 >Eo ，为体系的第 一激发态能量.由此可见，体系存在且仅存在一个束缚态的条件为 2μVodπ Q=JJK2<言，或 Vo a2 <飞51 (13) 1.2 质量为严的粒子处于一维势场 c::x::> , z二三a o , O , z三二 -， a 中，求定态能量 E 与波函数 ýJ (x). [解] 在 Oa 瞅瞅瞅一化条阳An=JI; 1.3 求在半壁无限深方势阱 cx) , 工<0 vω=io ， Oa V o , 中存在束缚态的条件(VO>O). [解] 显然 xa 方程(2)与 (3) 满足条件 cþ( 0) == 0 与 cþ( ∞ )==0 的解为 阶1 (x) == Asinkx , Oα 由连续条件ýJl (a) =-== cþ2 (a) 与 ø' 1 (a) == ø' 2 (a)得 Asinka==Be ω 以上两式相比得 à 、r 式 (8)变为 Akcoska== -Bae-aa α ==-kctgka 1J== αa ， ,==ka (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 7 1]== - çctgç (10) (2) 给出粒子处于工>0 区域中的几率.它是大于 1/2 ，还是 小于 1/2 ，为什么? [解] 在此势场中的束缚定态能量 E0 (2) 图1. 2 ø(x)满足条件 由市， ç 与走的定义式(9)与 (1)得 I (12 2μVoaZ-n 平 T♀L-? =\0[ ø(O十) == ø(O一) , <þ( 土∞)==0 (3) (11) 户的-ø' (0一)==一抖(0) 方程 (2)满足条件(3) 的解为 (4) 其中 Q== 2μVo a 2 /[2 (12) (Ae户， ø(x) ==才 A I Í"i e 工<0 x>o (5) 定态能量由曲线 (10)与 (11)在科坐标系第一象限(平>O ，S->O) 中 的交点决定由图 1.2 看出，只有在 Q注π/2 时两曲线才有交点， 故存在束缚态的条件是 将(5)式代人 (4)式中得 ηω-ur D尸十 (6) 2 /1 Vndf h Q=A/ 俨 J 飞二百E/[2 -::;;-- 2" ~执4 1.4 质量为严的粒子在一维势场 V叶飞8(x) 十川={~， Vo a2注坦 0卢 (13) 或 )2μ附 IEI ) 坦-flEl/[2 Jr 2 'v /[2 式 (7)两边平方，得 (7) x<ü x>O J2μIEI _ 1 {2正 - 'lT~ -一』…ñ2. 2日飞 /[2 ' U 由 (1) 式知， γ 与卢均为正主犁，显然 IEI 有解的条件是 乍到，或 ~2>号 (8) 中运动，其中 α 与 V。均为正实数. (1) 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应 的本征函数; (9) 9 这正是存在束缚态的条件气由 (8)式得 的2 12uα2\z IEI 二百LLYIt?一-Vo ) 。μα 飞 n I E=== 王三 12μd vy --'------ ., 8μα2 飞 ñ2 v 0 ) 相应的波函数如 (5)式所示，其中卢与 y 是由 (1) 与 (10)式决定的 已知量.常数 A 由归一化条件确定为 叫声)川 粒子处于 x>ü 区的几率为 IA12 J~e一叫z=-L0 ， γ>0 ，卢'a V(工) == ~ lαδ(x-a/2) ， Oa 区 ，<þ (x) == O. 在 O0 (10) 5→∞ cþ(~) → 0 ， x O. [解] 在此势阱中束缚态能量 E< O. 令 (12) 5 →∞ (1) E=== 一 IEI ， 令 η nr 十 1 ，由 (11) ， (6) 与 (1) 式得 (13) 是=在 =JZ严 JZE|(2) 由此得体系定态能量 x>Ü 一­z d' 立工十工，山'FR b 为程方态定 对于工< 0 ，以x) === o. 令 E ===- -.1d2 2lfZn 2 ' (3) cþ(x) === xe-kx F (x) (14) n:= 1 ,2 ,… 代人方程(2)_ ，得 F(x) 满足的方程 (15) (16) ç>Ü e<Ü X>Ü 定态波函数 {A~e-ç/2 F(l-n ， 2 ，~)， Iþ(ç) = t 0-', 将~ === 2kx == 2间x/占2n 代人上式，得 以← ifp叫1叫树阳， (4) (5) d2 F(x) I /0 0 J __" dF(x) X d2 x 十 (2-uz)dz 十(卢 - 2k) F(x) === Ü 作变量变换 z →军 ===2缸，方程(4) 变为 d2 F(~) I / _. ",'\ dF(~) E 十 (y -~) '-A..I- 1~'" / - aF (ç) === 0 d2 ç 1" I ~" dç 其中 X<Ü 其中 C 为归→化常数.α1 -且 1 →旦王2是 klf2 求-维氢原子定态能量和波函数，V(z)=-1乙 I x f • 1.8 (6) y == 2 , 这是合流超几何方程，它的一个解为合流超几何函数 在此势阱中束缚态能量 E<ü. 令[解] (1) (2) ß==字 d2ψ(工)究 B d2 X 二句ω十lfI忡忡。 是=fT，E== 一 IEI ， 定态方程为 (7) (8) _ 1 I a ç 曰"中 1) ~2 F(a ， Y ，~) = 1 十一一十 一y 1! ' y(γ 十 1) 2! 十 a(a 十 1)(α 十 2) ~ I -一-y(γ十 1)(γ 十 2) 3! ' 另二个解在 ~=o 点发散，舍去. 功(军) == ~e-çI2 F(a , y , ç) 15 或其中 A 为任意常数.已知 E→∞ ， F(日 ， y ，~)→ e~ ，故 14 d2cþ(X ) 卢d2z-F￠(z) 十 1::!-ø (x) == 0 , z d2 ø(X) 卢d2.z-r￠(z)-i￠ (z) 二 0 ， z 工 >0 (3) xü 区的方程。)同 1. 7 题中 x>O 的方程完全相同.因此 cþ(x) === Cx e一严2 X/~2 n F (l-n , 2 ，年e 2 x/J[zn) ,x > 0 (5) n ==:: 1 ,2 ,… 由于 V(- x) == v(x) ， 被函数 cþ(x) 有确定的宇称.我们可以根据 宇称确定 xö[Cze-JdhZnF(1-n ， 2 ， 2μe2 x/占2 n) , 功Cx)=才 lClxle-四 Ixl/Ir"nF (l-n ， 2 ， 2μe2 I x 1/扩 n) ,x<ü 或在全工区表示为 cf} 十〉 (z)=C|z |e-J14/KZnF(11 ， 2 ， 2卢e2 I J; I / J[2 n) 奇宇称解: rCxe→Jz/占27(1-n ， 2 ， 2μe2 X/lf2 n) , x>O cþ(x) ==才 lCxe 严 I x I /k" n F ( 1 -n , 2 , 2με21xl/占2的 ， x0) 的作 用下，作→维束缚运动.粒子能量 E< 0 ，它的波函数为 cþl (x) === Al e'U:十 A1re-k ，工 <0 18 19 Ø2 (X) == A 2eÀX + A 2' e-ÀX , X > 0 (1) 计算矩阵 M: 10 a\ M === I \1 bl 其中 ab 为任意常数.可以取 a===b==O ，便有 10 0\ M=== r 1 飞 1 0/ 利用 ø' (x) 在 Z 二 0 点的不连续条件: ψf阶cþl'叶 (8) A、 守 方程 (1)变为 (二)= M(~>) (2) 求能量 E 及波函数 cþ(x); (3) 求动量的几率分布表达式， [解] 定态方程为 1f2 d2 ý;(X) EL dzz-db)￠(z)==句(x) /2μIEI E二二 |E| ， A=J22 (9) (10) (1) 得 À==但== ~ 1 2μ IEI v== 一旦1lf2 叮1r2 ，~ 2lf2 (11) (2) do 「MWL←问 LW 王于 ω 制 A ，ψ，，达 件表条布化分一率归几的的AY 量 由动 (12) d 2 w(x) ~?/" I 2阻止一向(X) 十 78(圳(X) ~ 0 (3) 方程 (3) 的一般解为 cþl (x) == Al eÀX 十 Al ' e-ÀX , x < 0 (4) 1 r十∞W(P)=LnLI/2|e-wvb)dz 2À3 币。2 十三f 1. 13 质量为 μ 的粒子在位势 V(X) :=- aô(x) (其中日> 0) 之下作一维束缚运动，试求坐标a>O使得粒子在区域 I x I>a 的 几率为 1/2. [解] 在位势 V(x) ==-a.Ò(X) 中的束缚定态只有二个，波函 数为 如 (X) 二 A2 eÀX 十 A2Fe-k ?z > 0. 由 tþ(+ ∞) == 0 得 A2 二 A1 ' == o. 由白 (0) =ψ(0) ，得 AI == A 2 ' A. 于是 (13) 功1 (x) == AeÁX , X < 。 如 (x) == Ae←缸， X> 0 (5) 矩阵方程 (乙)= M(二) (6) 实为 (:)二 M(:) (7) r.v À e ÀX , x ~ 0 … ø(x) ==才二 , À 二岂 l.vÀ e一缸， x> 0 n 显然 20 由 21 , tillL 1.14 粒子在二维势场 V川)=轩山Z 十 y2 十 2Àxy) 中 运动，其中 IÀI-1/2 ，一∞〈町，工2< ∞.试求系统的能 量本征值. [解] 系统的哈密顿算符为 自=-2(磊十三~ )十扑山1十À) (xi 十x~ ) - 2a(xl 一句) - 2ÀXIXZ 十2a2 J (1) (5) 寸(旷工z ) , 或工17;(叫， 作变换工 ， y →草 ， 1J- 在此变换下， (3) 叶(Xl - X2) 工2 气j;(E-q) A 之亨 (2) (6) 23 川 =;(F 一户， 工1 - X2 耐， 1. 16 质量为严的粒子在势场 zi 十 zi=52 十矿， 主付+ 3一厅，一一旦叫十f一叫 V(xyz) = A(x2 斗 y2 十 2，.\xy) 十 ß(Z2 十 2cz) 中运动 ，A ， B>O ， jÀI- c ， xy 任意 "γ 仙-M 十 2η'η ， F)/! 飞 、A 飞/ qL-A 严川山LldzfL/ 飞 才勺 2问 2问勺问 hJ一仇， μ1-21 一句''μμ1-2 十十+十十十主耐， -WA 口叫旦得主付一切主矿 2a ινFMLUEn 伊旦与叫 μn一句问 一 -H 一一一-+ 一一一一一一一一一二HAHAH z <- c ， xy 任意 (4) (5) 求基态能量. [解] 系统的哈密顿算符为 (8) 自=~;:(};2 十恙十L) 斗A(x2 十 y2+2Àxy)十 B(Z2 十 2cz) 令~=去(x十Y) '1/=去 (x-y) ， ~=z+c ,,/"t tJ Z 作变换工 ， y ， z ~号，可， ~.在此变换下， A 二-Ef2二十 1二十三二}十 A(l 十 À)~22μ 飞 d々.~ . ar/ . éJ~~ I 十 A(l - À) 矿十 B~2 - Bc 2 =- ;:1 (主十至二十;二)十二问i ~2 十护与22μ d~2 I a 平 éJ~~/ I 2 十护~ ç2 二 Bc 2 (1) (2) (6) 其中 2 2v2a _ ( JZalz-M 于一 1十以平- \ "1-1十 2).. J (1 十 2人 )2 令 h-ifL ， ω。 =ω ，.jl+2À 这里 ω。为正实数 (À >-1/2). 于是 儿 =-E4十 4mir 十 2Àf1w 2 a 2 Lμσ ~ ú (7) (3) 其中 (9) 1 = A /2A(l 十 A) ,W2. = ^ I~ACl → A ) ,W3 :== A/2B (4) A I ， ω2 一- À I ,W3 A I 一二 vμY 严 Yμ 这里 ω1 ， ω2 与 ω3 均为正实数.体系的能量为 E = (n] 寸)也1 十 ( nz 十~ )阳2 十(川~ )阳3 -Bc 2 体系能量为 E =E1 十 E2 = (n] 十~ )luv 十 ( nZ 十~ )郎。十旦旦ω2 a2 (10) nl ,n2 0 , 1 , 2 ,… 24 / 2 . 雪主~ v cpo cpa o , 伊。 三二 cp<2π (2) 设 t=O 时撤去路障.撤去路障后的定态波函数与定态能 (6) (7) (8) (9) (10) (11) 质量为/1.的粒子处于一维谐振子势场 V1 二 ju2 的 基态 tþo (工) ，某时刻弹性系数 h 突然变为 2ι 即势场变为民= 缸2. 求此时刻粒子处于新势场 V2 的基态供的几率. [解] (1) (2) 27 ln z /[2 Øm (伊) ::::::云云工巳1m飞 EfJ =--1m=O ，土 1 ，土 2 , · A 月二J t 2I V~汀 任意 t 时的波函数为 0::::二 cp< 于)0 伊。 <({J <2π O 运