中 等 数 学
●课外训练●
羧孥 豁 巍渤 锄徽澄(1 14)
第 一 试
一
、选择题(每小题 7分，共 42分)
1．方程 驯 +41z=2 009的质数解有
( )组 ．
(A)4 (B)6 (c)8 (D)10
2．一条直线上有 n个点，这条直线上线
段的条数记为 a ；一个平面内有 n条直线，
这 n条直线把这个平面最多分成b 个部分、
最少分成 C 个部分．则 a 与 b 一c 的关系
是( )．
(A)a >b 一c， (B)a =b， 一c
(C)a
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
，使其中一辆车尽可能
地远离出发点 A，并求出这辆车一共行驶了
多少千米?(两车耗油量相同，每升油可使一
辆车前进 12 km．)
二、(25分)已知在凸四边形 ABCD中，
2008年第 12期 35
AB：CD，G、H分别为 BD、AC的中点，延长
到点E，延长 DC到点F，使 AE=CF．求
证：GH平分 ．
三、(25分)“若 a‘、b、c为正实数 ，则
≤ ，其中，当且仅当 0：b：c
时，上式等号成立．”利用以上结论，求函数
Y=2x(4一 )(3—2 )(0< <昙)的最大值．
参 考 答 案
第 一 试
一
、1．A。
由原方程得
xy=2 009—41 =41(49一z)．
因为 、 为质数，所以，
= 41或 Y=41．
(1)当 =41时，Y=49一 ，知 Y、z必有
一 个为偶数，故(Y，z)=(2，47)，(47，2)，此
时，原方程有两组质数解；
(2)当Y=41时，类似(1)得原方程也有
两组质数解．
2．B． ，
注意到
。 ：1+2+⋯+(凡一1)： ，
6 ：l+(1+2+⋯+n)：旦半 ，
c = n+1．
故 6 一。 ： 一(n+1)：
3．C．
从反面考虑 ．
假如六个条件都不能满足，则初一年级
至少选 2人；初二年级至少选 3人；⋯⋯高三
年级至少选 7人．此时，总共至少选
2+3+4+5+6+7=27人 ．
故至多选 26人．
4．B
A PB l
B P
O B
．
点 ， 上 于点 ＼A}一 P
． 设 (0，0 )． ．。 ．L ，
则 ‘
： a
2 (一 )1
= 口2+丢．
在Rt A PAM中， ={n2一{{．
PM=~AM2+PA2=√(口2一 )
=√(。2+丢) =。2+丢=P ．
如图2，联结 CF．
由垂径定理得
／ 、 ／ 、
AC=AD ， A
有 B= AFD．
由 OC=OB，得
B = OCB． 图 2
于是， AFD： OCB．
所以，c、H、G、F四点共圆．
因此 ， CGH= AFC= B
．GH f OB
中 等 数 学
在△ OCB中，由 CG=GB，得 CH=册
根据三角形中位线定理得
GH= ∞= 口 =丢．
二、1．平行四边形．
如图3，作 DE上
AB于E、BF上CD于
F．则
EAD = FCB．
又 AD=BC，故
△ D △ FcB． 图3
因此，DE=BF，AE：CF． ①
联结 BD．
则 Rt△ BED oo Rt△ DFB．
故 BE=DF． ②
② 一①得 AB=CD．
所以，四边形 ABCD是平行四边形．
2．504．
从 1，2，⋯，2 008中选出两个偶数，和为
2 012的共有 501组，即
4+2 008，6+2 OO6，⋯ ，1 004+1 008．
由于2或 1 006与其中的任意一个偶数
之和均不等于2 012，因此，至少取出501+2+
1：504个偶数，才能保证其中一定有两个偶
数之和为2 012．
3．—3(,f
—
3+ v／H )
．
如图4，作 BE¨ll
AC于点 ，交 AD于
点F．则
1= 2．
由△ AFE∽
△ BCE
AF AE
丽 丽
图 4
j／l =丽AE·BC
= BCc。t BAE = ．
由△ BFD O0△ ACD
面
—
ao -
—
43
： —
1
— jAD 一43A0—2：0 — 2 一AD一 一 一 一
AD： 或 AD： (舍去)．
故 Js堋 =1 BC·AO=
—
3(J
—
3+ v／H )
．
4．9．
由题设，将原不等式变形整理为
Y 一(15—0) +似 >10． ①
将式①看作关于 Y的一元二次不等式．
因为式①对任意实数 Y均成立，所以，
A=[一(15—0) ] 一4ax ≤O，
即 (17, 一34a+225) ≤0．
又因为 >0，所以，
0 一340+225≤0．
解得 9≤n≤25．
故 口的最小值是 9．
第 二 试
一
、两车由 A地行驶到 日地，乙车在
地停留，先借给甲车部分汽油，让甲车油箱加
满，甲车最远行驶到 C地用掉油箱中一半的
油，再返回 日地时用掉油箱中另一半油，此
时，乙车再第二次借汽油给甲车，两车同时返
回至 A地 ．
设甲车从 4地到 C地共用汽油 L，乙
车从 A地到日地共用汽油Y L．则
y= (n+6)，
1 一y：— 1口．
解得 = ，y=鲁．
故这辆车(甲)共行驶路程为
12× __鱼×2：6(2。+6)(km)
．
2008年第 l2期 37
二、如 图
5，设直线 GH
交EF于点Jp，
联 结 AF，取
EF、 AF、 BC
的中点分别为
P 、Q、R，联结 曰
GR、HR、P Q、
14q、H PI．易
知
GR cD，
图 5
HR Il l AB
，HO&~CF，P Q 4E．
又 AB=CD，AE=CF，贝0
GR=ItR HQ=e'Q GR f HQ．HR P Q．
故 尺GH：—18o
—
~
- A
—
GRH
，
／QHP，：—18
—
0
—
~
—
-
—
~
_—
H
—
Q
—
P'
，
GRH= HOP ．
于是，,~RGH= QHP ．
又由GR∥邯 ，有／／RGH= QHP．
凼此， QHP ： QHP．
从而，lip与HP 重合，此时，P为EF的
中点．故 平分EF．
三、由已知不等式知 ≤( ) ．
要求 Y的最大值 ，必须使 Y的三个因式
之和为常数且三个因式相等时， 的值必须
存在．显然，Y的三个因式不满足以上条件，
为此要引进参数．
设 n、b均为正数 ．则 ，
Y= [ (4a—ax)(3b一2bx)]
r上0
≤ [ 兰 ]3
= 【 坠 3业 r． 一 6 L J ‘
~{ a +2
， ⋯
b-l=O
3
,
b-2bx
时，解得
( ，n，6)=(吾，了1，吾)或(3'3’一1)(舍去)．
故y的最大值为 ( 专 ) = ．
(李 明 陈 飞 安徽省五河县第三
中学．233300)
声 明 尸
一 L
1．本刊2008年第8期刊登的题为“巧求函数 Y= + 的最小值”一文，与《中
COS sin
学数学研究}2007年第1 1期苏昌橙、孙建斌两位老师的“数学好玩：构造‘数字式’解题艺
术欣赏”一文中的例 12雷同，有抄袭之嫌。我们希望今后不再有此类事情发生。在此，向
苏昌植 、孙建斌两位老师致歉，并对孙老师的指正表示感谢。
2．近日收到读者来信指出，本刊2008年第9期刊出的文章存在“一稿多投”现象。在
此，我们向热心读者表示衷心的感谢。
我部郑重声明，本刊严禁一稿两投(多投)，严禁抄袭他人作品。请有此行为的作者自
律。今后，凡已收到录用通知的作者，不得将被录用的文章再投他刊，如已被其他刊物采
用或发表，须在第一时间告知我部，否则，导致本刊重复发表者，我们将采取必要
措施
《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施
，严
肃处理(在刊物上曝光，三年内不再刊登其稿件)。
为防止此类现象再次发生，我刊将尽量缩短出版周期，更好地为广大读者和作者服
务。
本刊编辑部
浙公网安备 33021202002483