幂指函数极限的计算

幂指函数极限的计算 毕 业 论 文 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目: 幂指函数极限的计算 学 院: 数学与信息科学学院 姓 名: 何晓岭 指导教师: 魏喜凤 幂指函数极限的计算 【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给 0,B出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(型)和不确定式(型、 01A 0型、型)的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例, 说明这些方法的实用性. 【关键词】幂指函数;极限;确定式;不确定式;计算方法 I The Calculation of the Power Exponent Function Limit 【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples. 【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem II 目 录 1 引言........................................................... 1 2 幂指函数的定义................................................. 1 2.1指数函数....................................................... 1 2.2幂函数......................................................... 1 2.3幂指函数....................................................... 1 3 幂指函数的极限................................................. 1 3.1确定式 ........................................................ 3 3.2不确定式 ...................................................... 3 4 幂指函数极限的计算方法......................................... 3 4.1直接法......................................................... 3 4.2重要极限....................................................... 4 4.3对数解法....................................................... 5 4.4等价无穷小代换................................................. 8 5 结论........................................................... 9 参考文献.......................................................... 9 致谢.............................................................. 11 III 石家庄学院毕业论文 1引言 函数极限问题是《数学分析》中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧. 因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力. 2 幂指函数的定义 2.1指数函数 x一般地，形如函数叫作指数函数，其中是自变量，xyaaa=> (0,1) 定义域为. R 2.2 幂函数 ,一般地，形如函数叫作幂函数，其中是自变量，定义域为xyxxR,,() . (0,)+ 2.3 幂指函数 vx()ux()vx()设 、 是定义在区域D上的两个函数，形如的函数叫yux,() ux()0,作区域D上的幂指函数，其中. 以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性. 3 幂指函数的极限 vx()xxx,,,, 对自变量情形下的幂指函数yux,()的极限问题进行探讨: 0 ux()0,求幂指函数的极限时，因为，可以把它改写为指数函数 vxvxux()()ln()yuxe,,()，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限 1 幂指函数极限的计算 lim(()ln())vxuxvxvxux()()ln()xx,0,其中假设所写出的极限存在.这样，就把lim()limuxee,,,,xxxx00 vx()求幂指函数的极限转化为求极限.所以，很自然地考lim(()ln())vxuxlim()uxxx,,xx00 察和，而对于极限和，若至少有一个不存在(不lim()uxlim()vxlim()uxlim()vxxx,xx,xx,xx,0000 vx()包括极限为无穷的情况)，则幂指函数的极限问题极为复杂，且在实yux,() 际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设lim()0uxA,,, lim()vxB, xx,xx,00 (包括A、B为无穷的情形).下面，将给出讨论: vxB()(1); 则. lim()uxA,01,,,,,AB,xx0 B,0,,BAB,，,,，,,,()vx (2) ; 则 . 01,,,,,ABlim()ux,,,,B,xx0，,,,,,BAB,,,,,,, vxBB()(3); 则 . AB,,,1,lim()11uxA,,,,xx0 vx()(4)时，是不确定式. lim()uxAB,,,1,,xx0 vxB()(5); 则. lim()uxA,1,,,，,,,AB,xx0 B,，,,，,,，,,,BAB,,()vx6)(; 则 . 1,,,，,,,ABlim()ux,,,,B,xx00,B,,,AB,,,,,,, vx()(7)时, lim()ux是不确定式. AB,，,,,0,xx0 vxB()lim()uxA,(8)时, . AB,，,,,，,,0,xx0 vxB()lim()uxA,时, . AB,，,,,,,,0,xx0 vxB() (9) lim()uxA,，,,; 则. AB,，,,，,,,xx0 vxB()lim()0uxA,, (10); 则. AB,，,,,,,,xx0 vxB()lim()0uxA,,AB,,,，,0,0(11)时，. ,xx0 vxB()lim()uxA,，,,AB,,,,,0,0时，. ,xx0 vxB()，,AB,,，,0,lim()00uxA,,,(12); 则 . xx,0 vxB(),,AB,,,,0,lim()0uxA,,，,,(13); 则. xx,0 2 石家庄学院毕业论文 vx()(14)时，是不确定式 . lim()uxAB,,0,0,xx0 ,0,0 上述情况(4)记作 型、(7)记作 型 、(14)记作 型， 型、011, 00 型、 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数0, 极限问题的确定式. 自变量时，幂指函数的极限类型与的极限类型有相同的情xx,x,,0况，就不再列出. vx()注1 若为小于1的非负数，而为无穷时，则极限并不是不lim()uxAB,xx0 ,确定式. 其中包括易误认为是不定式的型，因为，当指数趋于无穷大时有0 ，,,,00,0,，,，而当指数趋于负无穷大时有 . vx()注2 对于幂指函数的不确定式极限问题，它的底数部分与ux()yux,() 指数部分的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而不vx() 能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限 的先后次序. 4 幂指函数极限的计算方法 4.1直接法 直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部 ux()分和指数部分二者的极限都存在，且底函数的极限大于零时，即当 lim()0uxA,,lim()vxB, ，(B为正常极限)时，则利用指数函数的连续性xx,xx,00 lim()vxvxB()xx,0得 . lim()(lim())uxuxA,,,,xxxx00 x,11，x2lim()有一道求极限的问题 ，如果对底数部分和指数部分分别求极x,,3，x x,11，x11，,xx,2lim()11,,lim1,lim,,,限 ，则由1的任何次幂都等于1得的x,,xx,,,,3，x32，x 解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分分别求极限，不理解只 lim()0uxA,,lim()vxB,有当，(B为正常极限)时，才可以用直接法求极限，xx,xx,00 ,,错误之二在于认为不管幂的值为多少都有，其实，1的任何次幂都等于111, 3 幂指函数极限的计算 指的是1的有限次幂. 下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限: 1,x1，x1,x 例4.1.1 求极限 . lim()x,02，x 1,x11，x解 因为 ， 为正常极限 , lim1,lim0,,x,0x,01,x22，x 1,x11，x1,x所以用直接法就得到极限lim(),. x,022，x 1,x1，x1,xlim() 例4.1.2 求极限 . x,12，x 12，x111,x 解 因为 ，为正常极限, limlim,,lim0,,x,1xx,,1112,x23，x1，x 1,x12，x1,xlim(),. 所以用直接法就得到极限x,123，x 4.2重要极限 ,利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式型. 1 1x (1) (4.2.1) ，,elim(1),,xx 等价于同时成立以下两个极限: 1x ，,elim(1),，,xx 1x ，,elim(1),,,xx (2)将(4.2.1)可变型为: 1xlim(1)，,xe (4.2.2) ,x0 , (3)在(4.2.1)的基础上可以用下列方法解决许多型的不确定式问题，1 lim()0,lim()fxgx== 就是对于的情况，有 xaxa 1fxgxlim(()())gxfxfxgx()()()()xa?lim(1())lim[(1())]+=+=fxfxe (4.2.3) xaxa 4 石家庄学院毕业论文 lim(()())fxgx于是只要计算 即可. xa, 11，xx 例4.2.1 求极限lim() . x,01,x ,解 这是一个型不确定式极限，可用重要极限求解, 1 1,x1，x2x将 化为 ，则指数部分需出现 ， fx(),fx()1,，2x1,x1,x 112,x,12，xx2xxx21,所以利用重要极限得. lim()lim(1),，,exx,,0011,,xx 22x，1xlim() 例4.2.2 求极限 . 2x,,x,1 2 解法1 将括号内的分子分母同时除以后即可利用(4.2.1)如下求极限: x 122x，1112x2x . lim()lim(1)(1),，,,,,eee222,,,,xxxxx,1 ,型不确定式极限，用(4.2.3)的方法就得到 解法2 这是一个1 22x2lim22x，122xx2x,,,x1. lim()lim(1),，,,ee22,,,,xxxx,,11 4.3 对数解法 vx() 对幂指函数，等式两边可以同时取对数，便得到 yuxux,,()(()0) vx()limlnlim(())ln()yvxux,lny ,通过求的极限 ，便lnln(())()ln()yuxvxux,,xxxx,,00 limlnyvxy()lnxx,0可以得到幂指函数的极限. lim()limuxee,,,,xxxx00 0,0对数解法解决幂指函数极限的不确定式型、型、型，这三种不确定01, 0,式极限一般经过对数变换后，均可化为型或型的不定式极限，我们在题目中0, 0,解决不定式极限型、型用到更多的方法是洛必达法则. 0, 0,我们在转化为型或型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以0, 下几点内容: 【1】fx()gx()定理4.3.1若函数和满足: 5 幂指函数极限的计算 (?) ; lim()0lim()0fxgx,,,xxxx,,00 ,,(?)和在x的某空心邻域内可导，且 ; Ux()fx()gx()gx()0,00 ,fx()(?) ( 可为实数，也可为 ) limA,,Axx,0,gx() ,fxfx()()则 limlimA,,xxxx,,00,gxgx()() 【1】定理4.3.2 若函数和满足: fx()gx() (?)lim()lim()fxgx,,,,, ，，xxxx,,00 ,,x(?)和在的右邻域 内可导，且 fx()gx()Ux()gx()0,0，0 ,fx()(?),,,, (A可为实数，也可为 ) limA,xx,0,gx() ,fxfx()() 则 limlim,,A，，xxxx,,,00gxgx()() 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则. ,fx()0注1 在定理4.3.1中，如果仍是型不定式极限，只要有可能，limxx,00,gx() ,fx(),,limfx()gx()我们可再次利用洛必达法则，即考察极限是否存在，这时 和 xx,0,gx() 【1】x在的某邻域须满足相应的条件.定理4.3.2中，若有可能，也可再次利用洛0 必达法则. ,fx()注2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限lim不存在，并不能说xx,0,gx() fx()明lim 存在，在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况，我们应另找其xx,0gx() 他的方法来求极限. 注3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不 【1】定式极限，其次看是否满足洛必达法则的其他条件. 注4 在利用洛必达法则之后，如果题目变得越来越复杂，则说明题目不适 6 石家庄学院毕业论文 合用洛必达法则求极限，我们应分析题目，寻找其他合适的方法. k1ln，x 例4.3.1 求极限 (为常数). lim(sin)xk，,0x 0解 这是一个型不确定式极限， 0 kkkxlnsin1ln，1ln，xx令，两边取对数，得 , ,,yx,(sin)lnln[(sin)]yx，1lnx ,kxlnsin是型不定式极限， lim，x,0,，1lnx kxcos kxxlnsinsinx由 ，(洛必达法则) ,,,,,limlnlimlimlimcosykxk，，，，xxxx,,,,00001，1lnsinxx x klimlny，lnyk，x0,1lnxlim(sin)limlimxyeee,,,,得到 (为常数). kk,0,，，，,,,000xxx 当时上面所得的结果仍然成立. k,0 1xsin1,cosxlim() 例4.3.2 求极限. x,0x ,解 这是一个型不确定式极限， 1 1xsin1sinx1,cosx,()y令，两边取对数，得， lnlny,x1cos,xx sinsinxxlnln2xxx,x1cos~,,因为时，，所以 , x,0limlnlimlimy2xxx,,,0002,x1cosx 2sinxln0xlim 是型不定式极限，下一步可用洛必达法则， 2x,0x0 2 xcossinxxx,sinx,ln2xcosxsin,xsinxxx,lim由 limlim,22x,0xx,,00xxsinxx 2 1xxxcossin,-sinxx,=-,limlim 32x,x,00x3x3 11,sinx1,cosx3lim(),e得到. x,0x 7 幂指函数极限的计算 12lnx 例4.3.3 求极限. lim(x，1，x),，,x 120xln解 这是一个型不确定式极限，令 ，两边取对数， yxx,，，(1), 122ln(1)xx，，ln(1)xx，，,2xln得,是型不定式极限 limlnln(1)yxx,，，,x,，,lnx,lnx 1 22xx，，ln(1)，x1由 ，(洛必达法则) ,,limlim1xx,，,,，,1xln x 1ylimlny2lnx,，,xlnlim(1)limlimxxyeee，，,,,,得到. ,，,,，,,，,xxx 4.4等价无穷小代换 【7】x 定理4.4 设和为去心邻域内的连续函数，、均是变ux()vx()ux()vx()0 xx,化过程时的无穷小量并且、，则有uxx()~(),vxx()~(),0 vxx()(),. lim()lim()uxx,,,,xxxx00 xxx, 推论1 设ux()和vx()为去心邻域内的连续函数，ux()是变化过程00 vxvx()()时的无穷小量并且，则有. uxx()~(),lim()lim()uxx,,,,xxxx00 xxx,ux()vx()vx() 推论2 设和为去心邻域内的连续函数，是变化过程00 vxx()(),时的无穷小量并且，则有 . vxx()~(),lim()lim()uxux,,,xxxx00 tanxlim(sinx) 例4.4.1 求极限. ，,x0 0limsin0,limtan0xx,, 解 ，此问题为 型不确定式极限， 0，，xx,,00 tanxx，lim(sin)limxx,因为，所以由定理4.4，, x,0时，sinx~x,tanx~x，，,,xx00 lnxxyx,令 ,两边取对数，得 ， lnlnyxx,,1 x limlnylnx，tan0xx0,lim(sin)1xee,,,由 ,得到 . ,,limlnlim0xx，，，,xx,,001x0 x 1sinx 例4.4.2 求极限 . lim()，,x0x 8 石家庄学院毕业论文 10 解 ，此问题为 型不确定式极限， ,，,,xlim,limsin0,，，xx,,00x 11，sinxxsin~xx因为x,0时， ，所以由推论2，, ,lim()lim()，，,,xx00xx lnx1x令 ，两边取对数，得 , y,lnlnyxx,,,,()1x x lnx1sinx由 ,得到 =1. ,,,,limlnlim0xxlim()，，，xx,,00,1x0x x 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时，通常会结合洛必达法则及对数法，使得计算快捷简便. 注: 当时，有下列常用的一组等价无穷小: x,0 sinx~xarcsinx~x ; ; ; tanx~x xe,1~x ; ; ; ln(1，x)~xarctanx~x 2xxxn,x1cos~a,1~xlna ; ; ; x1，,1~2n , . (1，x),1~,x 5 结论 通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析，对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析，我们更好地认识了幂指函数，对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握，对以后的学习会有很大的帮助.但值得我们注意的是，在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到几种方法，比如说例4.4.1、例4.4.2用到等价无穷小代换和对数解法，我们在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法. 参考文献 [1]华北师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社，2001:56-131. [2]邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海:同济大学出版社，2008:37-38. [3]沐定夷.谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引(第一册)[M].北京:高等教育出版社，2010:116-118. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001. [5]冯加才.幂指函数的极限问题[J].焦作工学院学报，1999,18(5). [6]康佳鑫.浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015,31(2). 9 幂指函数极限的计算 [7]陈茜，舒慧颖.浅谈幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011,13(4). [8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.湖北:湖北辞 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 出版社，2003. 10 石家庄学院毕业论文 致谢 这篇文章包含了许多老师和同学的宝贵建议，同时也有来自参考著作中的启示，如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等，还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀和悉心指导，她严谨的科学态度、精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到论文的最终完成，魏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意. 11