空间中的平面与平面的位置关系

空间中的平面与平面的位置关系 空间中的平面与平面的位置关系 【重点难点】: 了解直线与平面的位置关系，在判定和 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义;线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化( 【考点概述】 了解空间中平面与平面平行、垂直的概念,理解面面关系的判定定理与性质定理. 一、【热身练习】 1(一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面_________。 a,,2((2009?北京市西城区调研)已知直线和两个不同的平面、，且，，a,,a,, 则、的位置关系是_____. ,, 3(设、、为三个不同的平面，m是直线， ,,, m,,?若，，则; m,,,,‖ 则; ?若,,,,,,,,,,‖ ?若,,,,,,,,则; ,,, m//,?若，，则;其中，为真命题的是 . m,,,,, 4(给出以下命题: ?平行于同一条直线的两条直线平行; ?垂直于同一条直线的两条直线平行; ?平行于同一个平面的两条直线平行; ?垂直于同一个平面的两条直线平行; ?平行于同一条直线的两个平面平行; ?垂直于同一条直线的两个平面平行; ?平行于同一个平面的两个平面平行( 其中正确的命题是____________________________(把你认为正确的命题的序号都写上)( 5(设有直线m、n和平面,、，则在下列命题中，正确的是______________(填写相应, 的序号)。 m,,? 若m//n，，，则; n,,,,, ,,? 若m//n，n，m，则; ,,,,, ,,? 若m//n，m，n,,，则,//,; ,,,? 若m，mn，n,，则,//,. , 1 二、【范例透析】 【例1】(本小题满分14分)(2010?扬州市期末)如图，在正方体ABCD,A1B1CD中，11 DCE、F为棱AD、AB的中点( 1 1 B1 (1)求证:EF?平面CB1D; 1A1 2)求证:平面CAAC?平面CB1D( (111 解:(1)证明:连结BD. 在长方体中，对角线. ACBDBD//111 D C E 又 E、F为棱ADAB、的中点， ？ ？EFBD//. ……………………………… 3分 A B F . ？EFBD//11 ,EF,又B1D1 平面，平面， CBDCBD,1111 EF?平面CB1D. ………………………………7分 ？1 ,(2) 在长方体中，AA?平面A1B，而B1D1 平面A1B， ？AC11C1D11C1D1‎‎,1 AA?BD. ……………………………… 9分 ？111 又在正方形A1B1CD中，AC?BD，……………………………… 11分 ？111111 BD?平面CAAC. ……………………………… 13分 ？1111 ,又 BD 平面CB1D， ？111, 平面CAAC?平面CB1D( ……………………………… 14分 ？111 【变式训练】在直四棱柱ABCD,A1B1CD中，底面ABCD是菱形. 求证: 11 D (1)平面B1AC//平面DC1A; 11C 1 A1(2)平面B1AC?平面B1BDD. 1B 1 D C A B 2 SABCD,ABCD//【例2】(苏北四市第一次调研)在四棱锥中，已知， 分别为的中点。 SASBSCSDEF,,,,,ABCD, S SEF,ABCD求证:平面平面; FCD ABE 【例3】已知直三棱柱ABC,A1B1C与底面三角形的各边长都等于a，点D为BC的的侧棱长1 中点(求证: (1)平面AC1D?平面BCCB; 11 A1 (2)AB?平面AC1D( 1 BC1 1 O A B C D (例3) ABCDCBCDADBD,,，EF，ABBD，【例4】如图，在四面体中，，点分别是的 EF//ACDEFC,BCD中点(求证:(1)直线面;(2)平面面( B F E D C A 3 三、【巩固练习】 1. (2009?扬州市期末)设、、为三个不同的平面，给出下列条件: ,,, b//,?为异面直线，，，，; a,,ab,b,,a//, ?内有三个不共线的点到的距离相等; ,, ?;?.则其中能使成立的条件是 ( ,,,,,,,,,//,,,//,,// 2. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则能得出a的是?b________( ,, ?a?，b?，?; ?a?，b?，?; ,,,,,,,, ?a?，b?，?; ?a?，b?，?。 ,,,,,,,, 3. 已知m、n是不同的直线，，是不重合的平面，给出下列命题: ,, ?若m?，则m平行于平面内的无数条直线; ,, ?若?，m?，n?，则m?n; ,,,, ?若m?，n?，m?n，则?; ,,,, ?若?，m?，则m?。 ,,,, 其中，真命题的序号是________((写出所有真命题的序号) ( (广东卷)给定下列四个命题: 4 ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; ?垂直于同一直线的两条直线相互平行; ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 . mn,5((惠州市第三次调研)已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中,,,,,正确的是 。 ? ? 若则mnmn‖‖‖,,,,若则,,,,,,,,,,‖? ? 若则mm‖‖‖,,,,,,若则mnmn,,,,,,‖ 4 四、【双基达标】 1((2009?中山市调研)平面与平面平行的条件可以是_____.(把你认为正确命题的,, 序号都填上) ?(内有无穷多条直线都与平行 ,, ?(直线，且直线不在内，也不在内 a,a//,,a//,, ?(直线 a,,,直线b,,,且a//,,b//, ?(内任何直线都与平行 ,, 2.已知是平面，是直线，则下列命题中不正确的是________(填写相应的序号)。 m,n,,, n,,?若?，则 ?若?，则? mmmnn,m,,,,,,,,n m,m,,,?若，则? ?若，则 ,,,m,,,,,m,,, 3(下列四个命题:?分别在两个平面内的两直线平行;?若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面;?如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行; ?如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是______________(填写相应的序号)。 4(设是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出四个论断:??,,,a,b,:,,b; a//ba//,.?;?以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确a,,; 的命题 ( 5( (2010?苏、锡、常、镇四市教学情况调查(一))设为不重合的两条直线，为ab,,,,不重合的两个平面，给出下列命题: bba,,b,,b(1)若?且?，则?;(2)若且，则?; a,,aa a,,a,,,,,(3)若a?,且a?，则,?;(4)若且，则,?( 上面命题中，所有真命题的序号是 ( l,m6((青岛市一模)已知直线?平面，直线平面,，下面有三个命题: , lll,m,mm,??,?;??,?;???,; ,,, 则真命题的个数为___________( 5 五、【能力提升】 7((2009?烟台市调研)在四棱锥P-ABCD中，PA?底面ABCD，底面各边都相等，M是 PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD?平面PCD. 8(如图，四边形ABCD中，AB?BD，沿BD将?ABD折起，使面ABD?面BCD，连结AC，则 在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有 对。 9( (江苏卷)设和为不重合的两个平面，给出下列命题: ,, (1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于; ,,,,(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行; ,,, (3)设和β相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和β垂直; ,,, (4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直( ,, 上面命题，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号) ( PABCD,ABCDPAPDE10(如图,在四棱锥中,垂直于正方形所在的平面,是的中点. PCPBCDFDEF若在上的射影为,求证:平面?平面. P E F B A D C ABCDABCD,11. (2009?扬州市期末)在正方体中，分别是中点( MN,ABBC,1111 BMNBBDD求证:平面?平面。 111 D1C1 A B11 DC NA MB 6 12.如图，四边形ABCD是正方形，PB,平面ABCD，MA,平面ABCD，PB,AB,2MA( 求证:(1)平面AMD?平面BPC;(2)平面PMD,平面PBD( P M A B D C 13. 如图，点P是直角梯形ABCD所在平面外一点，AB,,CD，BA,AD，CD=2AB， PA,平面ABCD，F为PB的中点，E为PC上的一动点( PE(1)若AF,,平面EBD，求的值(图1); EC PE(2)能否在PC上找到这样的点E使平面EBD,平面ABCD，若能找到，求的值，EC 若不能找到，请说明理由(图2)( P P E E F F D C D C A B B A 图1 图2 7 14.如图在正三棱柱中，点D、E、F分别是BC、、的中点( ABCABC,ACBB11111 (1)求证:平面平面; ,ACDBCCB111 (2)求证:?平面( EFABC111 8 第15课时 空间中的平面与平面的位置关系参考答案 【热身练习】 1. 答案:平行或相交 解析:当不共线的三点同侧时，则这两个平面平行;当不共线的三点不同侧时，则这两个平面相交。 2. 答案:平行 解析:垂直于同一条直线的两个平面平行。 3. 答案:?? 解析:??错，两个平面可能相交、平行。??正确。 4(答案:?、?、?、? 解析:????正确。??错，两条直线平行可能相交、平行或异面。?错，两个平面可能相交、平行。 5. 答案: ? m,,解析:?错，若m//n，，，则;?正确;?错，与可能相交、平,n,,,,//, ,,行;?错，若m，mn，n，则与可能相交、平行。 ,,,,, 【范例透析】 例1(【变式训练】证明:(1)因为ABCD,A1B1C四棱柱，所以，AC//AC， 是直1D111 D 1 C1而A1C1平面B1AC，AC平面BAC，所以A1C//平面B1AC. ,,11 A1B 1同理，AD//平面B1AC. 1 :因为 AC、AD 平面DC1A，A1C1AD ,A， ,111111 D C 所以平面BAC//平面DC1A. 11A B (2) 因为ABCD,A1B1C四棱柱，所以B1B?平面ABCD， 是直1D1 而AC平面ABCD，所以AC?BB. ,1 因为底面ABCD是菱形，所以AC?BD. :因为B1B、BD平面B,，BB BD,B，所以AC?平面B1BDD. 1BDD111 因为AC平,面B1AC，故有平面BAC?平面B1BDD. 11 9 SASB,SEAB,例2(解:由,E为AB中点得:, SFCD,又SC=SD且F为CD的中点,所以. ABCD//ABSF,SFSES,,SEF又,所以,又，所以平面. AB, SEF,ABCD？ABABCD,平面,平面平面. ？ 例3(证明:(1)在直三棱柱ABC,A1B1C中，侧棱BB1?平面ABC( 1 又BB1平面BCC1B，?侧面BCCB?平面ABC( ,111 在正三角形ABC中，D为BC的中点，?AD?BC( 由面面垂直的性质定理，得AD?平面BCCB( 11 又AD平面ACD， ,1 ?平面AC1D?平面BCCB( 11 (2)连A1C交AC1于点O，四边形ACC1A1是平行四边形‎‎，O是A1C的中点( 又D是BC的中点，连OD，由三角形中位线定理，得A1B1?OD( ?OD平面ACD，A1B平面ACD，?AB?平面AC1D( ,,111 ACD例4(【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。 ABBD，证明:(1)?E,F分别是的中点( ?EF是?ABD的中位线，?EF?AD， ?EF?面ACD，AD面ACD，?直线EF?面ACD; ,, 2)?AD?BD，EF?AD，?EF?BD， ( ?CB=CD，F是,,的中点，?CF?BD 又EF?CF=F, ?BD?面EFC， EFC,BCD?BD面BCD，?面面 , 【巩固练习】 1(答案:?? 解析:??正确;?错，三点在平面的异侧，则相交;?错，与可能相交或平行。 ,,,2(答案:? 解析:由?～b?β ?b?α～又a?～故a?b. ,,, 3(答案:??? 解析:?中?β～m?α～n?β?m?n或m～n异面，所以?错误(而其它命题都正确( , 4. 答案:?和? 解析:当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故?错;由平面与平面垂直的判定定理可知?正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也 可以异面，故?错;若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故?正确( 5. 答案:? mn,mn,mn,,解析:均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故?不正确;??明 n,,,,显不正确; m，，则同垂直于一个平面的两条直线平行;选?。 【双基达标】 1(答案:? lm,解析:??中,,，?中、需为相交直线，故只有?正确。 10 2. 答案:? 解析:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以?正确;如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以?正确; 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，所以?也正确; 只有?选项错误( 3(答案:?、? 解析:?错，这两个平面可能相交或平行;?正确;?如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行;?正确。 4(答案:????或???? ,, a//bb,,a//,.解析:若，，，，且，则即????。 ,,:,ba,,a,,, a//,a//b若，，，则。即????。 ,,:,ba,,, 5. 答案:(2)(4) b解析:(1)错，， 直线与可能相交，平行或异面。(3)错，若， aab//,//,,,,:,l ，则。 alaa//,,,,,,aa//,//,,,, 6. 答案:2 解析:对于?，由直线l?平面α～α?β～得l?β，又直线m?平面β，故l?m，故?正确;对于?，由条件不一定得到l?m～还有l与m垂直和异面的情况，故?错误;对于?～显然正确(故正确命题的个数为2. 【能力提升】 BMPC,7. 答案: P？四边形为菱形，ABCDACBD？,又底面，？PAABCD,解析:， M？,,PAACA？,BDPAC平面？,PABD，，， AD？,BDPCBMPC,BMBDB,,？,PCBDM平面 ，，，， BCPCPCD,平面？,平面平面MBDPCD， 。 8(答案:3 解析:本题考查图形的翻折，和面面垂直的判定，显然面ABD?面BCD，面ABC?面BCD，面ABD?面ACD， 9(答案:(1)(2) 解析:由面面平行的判定定理可知，(1)正确( 由线面平行的判定定理可知，(2)正确( ,,,对于(3)来说，,,内直线只垂直于和的交线l，得不到其是的垂线，故也得不出?,. ,,对于(4)来说～l只有和内的两条相交直线垂直，才能得到l?. 11 也就是说当垂直于内l的两条平行直线的话，不一定垂l直于 ,, ABCDBCABCDBC10(证明:??平面，平面，??。 PDPD, ABCDBCCDPDCCDPDC又是正方形，??,?平面，平面， PD,, :CDBCPDC,,??平面。 PDD PDCBCPCPC又在平面内，??,又在上的射影为，??， DFDFDFDF ？BCPCC,,PBC， ?平面， DF？ PBC又平面，?平面?平面。 DFDEFDEF, 11. 证明:连AC，则AC?， BD MNAC//MN又分别是中点，? ，? ?， BDMN,ABBC, ABCD? 是正方体，? ?平面， ABCDABCD,BB11111D1C1 AB11MN,ABCDMN? 平面，? ?， BB1 MN? ，? ?平面， BDBBB:,BBDDD111C NAMBMN,? 平面，? 平面?平面。 MNBBMNBBDD1111 12. 证明:(1)因为PB,平面ABCD，MA,平面ABCD，所以PB?MA( 因PB,平面BPC，MA ,平面BPC，所以MA?平面BPC( / 同理DA?平面BPC，因为MA,平面AMD，AD,平面AMD，MA?AD,A， 所以平面AMD?平面BPC( (2)连接AC，设AC?BD,E，取PD中点F，连接EF，MF( 因ABCD为正方形，所以E为BD中点(因为F为PD中点， 11???所以EFPB(因为AMPB，所以AMEF( ===22 所以AEFM为平行四边形(所以MF?AE( 因为PB,平面ABCD，AE,平面ABCD，所以PB,AE( 所以MF,PB( 因为ABCD为正方形，所以AC,BD(所以MF,BD( PBBDB,,又， P 所以MF,平面PBD(又MF,平面PMD( 所以平面PMD,平面PBD( M F A B E C D 12 13. 解:连AC交BD于O，设CF?EB=M，连OM， ?AF//平面EBD，AF平面AFC，平面AFC?平面EBD=OM，?AF// OM， , 又?CD=2AB，AB,,CD，?CO=2OA，?CM=2MF， 在,PBC中，?F为PB的中点，CM=2MF，则M为,PBC的重心， PE?E为PC的中点，?=1; EC PE1(2)PC上能找到这样的点E，使得平面EBD,平面ABCD，此时,( EC2 PE1AOAB1PEAO1 证明如下:?,，而，?，?PA//EO， ,,,,EC2ECOC2OCDC2 ?PA,平面ABCD，?EO,平面ABCD， 而EO平面EBD，?平面EBD,平面ABCD( , 14. 证明:(1)在正三棱柱中， ABCABC,111 ADBC,ADABC,平面?D是BC的中点，?。又，， CCABC,平面1 AD,，，?平面， ？,CCADBCCCC,,BCCB1111 ,?平面平面。 ACDBCCB111 GEG(2)取的中点，连结、， ACBG111 1EGAA?E、F分别是、，?平行且等于平行且等于， ACBBBF11112 EF?四边形为平EFBG行四边形，??BG， 11 EF,EF又BG,平面ABC，平面ABC，??平面ABC。 1111111111 13