5. 圆的极坐标方程(教师版)[策划]

5. 圆的极坐标方程(教师版)[策划]5. 圆的极坐标方程(教师版)[策划] 5 圆的极坐标方程主备: 审核: 学习目标: 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形; 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点:圆的极坐标方程的求法. 学习难点:一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程: 一、课前准备 PP1213,阅读教材的内容，并思考下面的问题: 221(直角坐标系中，单位圆在极坐标系中如何表示, xy，,1 答: ,,1 22(极坐标系中，圆心在极点，半径等于的圆，能否...

5. 圆的极坐标方程(教师版)[策划] 5 圆的极坐标方程主备: 审核: 学习目标: 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形; 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点:圆的极坐标方程的求法. 学习难点:一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程: 一、课前准备 PP1213,阅读教材的内容，并思考下面的问题: 221(直角坐标系中，单位圆在极坐标系中如何表示, xy，,1 答: ,,1 22(极坐标系中，圆心在极点，半径等于的圆，能否用方程表示, 答:可以，可以表示为. ,,2 二、新课导学: (一)新知: C1. 已知圆的半径为，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程.a PPP xCOxCO Ox图2图3图1 P 设圆上的动点的坐标为， (,),, P(1)图1中，动点不论运动到什么位置，到极点的距离始终是，所以圆的极坐标方程a ,,a是:. ,OPAAcos,(2)图2中，设圆与极轴交于点，在直角三角形中，，即,2a ,,,2cosa，即为所求圆的极坐标方程. ，,PBO,PBOB(3)图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点，则，在直角三角形中， ,sin，,PBO,,,2sina，即，即为所求圆的极坐标方程. 2a 按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程: xOP xCOC P 图5图4 3,OC(4)图4中，设直线与圆交于点，则， A，,,POA,2 ,3,RtPOA,在中，，化简得，即为所求圆的方程.,,cos(),,,,2sina,22a ，,,POA,,(5)图4中，设极轴的延长线与圆交于点A，则， ,RtPOA,在中，，化简得，即为所求圆的方程.cos(),,,,,,2cosa,,2a (二)典型例题: R【例1】已知圆心在，半径为，试写出圆的极坐标方程( M(a,0) P的坐标为，如图，【解析】设圆上动点(,),,y P,OPM在中，，，，||OP,,||PMR,||OMa, x，,POM,，由余弦定理可得:OM 222aR,，,cos,,， 2a, 222 即 .即为所求圆的极坐标方程. ,,2a,cos,，a,R,0 动动手:在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.A(4,0) P MOPMA【解析】如图，设弦的中点为，连，M(,),, x OA ,RtAMO,cos,在中，，所以，所求方程为,4 ,,,4cos. 22【例2】(1)化在直角坐标方程为极坐标方程， x，y,8y,0 ,(2)化极坐标方程为直角坐标方程. ,6cos(,),,3 x,,,cos,【解析】(1)由互化公式，得: ,y,sin,,, 2222 ，因为不恒为0，所以.,,,,8sin,,,,,,cossin8sin0，,, ,,, (2) 将展开，得，,6cos(,),，6coscos6sinsin,,,,,333 2即，两边同乘以，得,,,,,，3cos3sin,,,,,,，3cos3sin x,,,cos,222将互化公式及代入，得 ,,，xy,y,sin,,, 22. xyxy，,,,330 22动动手:(1) 化在直角坐标方程为极坐标方程， xyxy，，,,240 ,(2)化极坐标方程,,8sin() 为直角坐标方程. ,,62【解析】(1)根据互化公式，有， ,,,,,，,,2cos4sin0 即:. ,,,,,4sin2cos ,,,,,8sin(),,8sincos6cossin (2) 将展开，得，,,,,,666 即， ,,,,,43sin4cos 2，得两边同乘以,,,,,,,,43sin4cos Px,,,cos,222将互化公式及代入，得,,，xy,y,sin,,, 22. xyxy，，,,4430M【例3】若圆心的坐标为，圆的半径为，求M(,,,)r00 圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的x极坐标方程. O 【解析】如图，设， P(,),, 因为M(,,,)，所以，,,POM,,(或,,,)， 0000 ||MO,,，，， ||PO,,||PMr,0 ,POM在中，由余弦定理，得 222， r,，,,,,,,,,2cos()000222即所求的圆的极坐标方程为. ,,,,,,，,,,,2cos()0r000 这是圆的极坐标方程的一般式，它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程. 三、总结提升: ,,1(求曲线的极坐标方程，就是建立以、为变量的方程;类似于直角坐标系中的x、y.求曲线的极坐标方程时，关键是找出动点所满足的几何条件，再运用三角运算、化简，得出极坐标方程. 2.将极坐标方程与直角坐标方程互化，要注意互化公式的灵活运用，要注意互化前后两个方程的等价性. 3.特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单，要会运用解三角形的方法求出圆的极坐标方程. 四、反馈练习: 1.圆的圆心和半径分别是 ( B ) ,,,4sin ,,, A(、 B(、 C( 、 D(、2(2,)2(2,)4(2,),4(2,0)222 2. 圆的圆心坐标是( A ) ,,,,,5cos53sin 5,4,2,,A( B( C( D( (5,)(5,)(5,)(5,)3333 123. 曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为.,,,,tanyx,cos, 4. 极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为.,,,2cos,,,2sin2 ,CCr,35. 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，求圆的极坐标方程.C(3,)6 ,，,POx,xOC【解析】如图，，,，，6P ,,POC则，,,(,)， ,,66C，，， ||3PC,||3OC,||OP,,x ,POC在中，由余弦定理，得 O ,222||||||2||||cos()PCOPOCOPOC,，,,，,6 ,2，即9923cos(),，,，,,,,6 ,,,6cos()所以，所求方程为. ,,6 五、学后反思:

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