§2.5 矩阵在决策理论中的应用

§2.5 矩阵在决策理论中的应用 *?2.5 矩阵在决策理论中的应用 所谓决策，就是根据预定目标，作出行动的选择. 从狭义上解释，决策是在若干个指导行动的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 中作出相对最优的选择. 科学的决策必须严格实行科学的决策程序，运用科学的思维方法与决策方法. 决策可利用的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 方法很多，这里我们只介绍矩阵在决策中的简单应用. 决策者为了达到所希望的目标(例如收益较大或损失较小等)，可以采用多种行动方案. 许多决策问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 都面临着若干种不依决策者主观意志为转移的客观条件或客观现实，我们称为自然状态. 例如，投资者将一笔资金投入生产时，有明确的目标，即要使得收益最大. 投资者可以采取的方案也有多种，例如投资房地产，投资汽车生产，投资家用计算机生产，投资彩电生产，等等. 上述方案即为投资者的行动方案，投资者将在上述方案中选择一种能使收益最大的投资方案. 然而不管投资者选择何种方案，将来的产品销售及市场行情都有可能出现好、一般、不好三种情形，这三种情形即为投资者所面临的不依投资者主观意志为转移的自然状态. 设决策者可以选择的行动方案的集合为{A, A, …, A}，所有的自然状态构成的集合为12m {,, ,, …, ,}，再设决策者采用行动方案A，而自然状态是,时，决策者的益损(收益或12nij 损失)值为a，则可以列出下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf : ij 自然状态 ,, , … 12 n 益 损 值 行动方案 Aaa a … 1 11 121n Aa a a… 221222n … … … … ？ A aa a … mm1m2mn 我们可以把上述益损值写成如下的矩阵形式: , , … , 12n aa？aA,,111121n,,Aaa？a,,221222n ,,？？？？？,,,,Aaa？amm1m2mn,, 称此矩阵为益损矩阵(或风险矩阵)，记为B或B m，n 当n,1时，即自然状态只有一种，这时的决策问题比较简单，称之为确定型决策. 决策者只需根据决策的目标(例如收益最大或损失最小)而选择a, a,…, a中的最大者或1121 m1最小者所对应的行动方案. 当B是收益矩阵时，选择最大数对应的行动方案，当B是损失矩阵时，选择最小数对应的行动方案. 当n>1时，需要知道自然状态,, ,, …, ,出现的可能性(即出现的概率)，我们用百分12n 比表示这些可能性. 设,, ,, …, ,出现的可能性分别是p，p, …, p. 则易知 12n12 n p+p+…+p,1. 12n 在实际进行决策时，有时会出现某种自然状态,发生的可能性很大(接近百分之百)的情形，j 此时我们可以认定自然状态,一定出现，其它自然状态一定不出现，从而变为确定型决策问j 题，可按照上述确定型的决策方法进行决策. 假设任何一种自然状态没有绝对的把握一定出现，这种决策称为风险型决策. 我们可以 利用矩阵的乘法进行决策. 如果采取行动A，那么益损期望值(即加权平均数)为 1 E(A),ap+ap+…+ap. 11111221nn 同样如果采取行动A，那么益损期望值为 i E(A),ap+ap+…+ap. ii11i22inn 一般地，记 pE(A),,,,11,,,,()pEA,,,,22P,, Q,, ,,,,？？,,,,,,,,pE(A)nn,,,,由矩阵的乘法运算规则即知， Q,BP. 在实际进行决策时，先计算矩阵乘积Q,BP，如果决策目标是收益最大，那么就在E(A)，1 E(A), …, E(A)中挑选最大者，最大者所对应的行动方案即为最优方案. 如果决策目标是损2m 失最小，那么就在E(A)，E(A), …, E(A)中挑选最小者，最小者所对应的行动方案即为最12m 优方案. 例1 某企业要对某个问题进行决策，方案、自然状态、状态出现的可能性，收益值如 下表，试确定最优方案. 自然状态 , ,, , 1234收益状态 方案 矩阵 概率 0.2 0.4 0.1 0.3 A4 5 6 7 1 A 2 4 69 2 A 5 7 36 3 A 3 5 6 8 4 A 35 5 5 5 该决策问题的收益矩阵为 4567,,,,2469,, ,,B,. 5736,, 3568,, ,,3555,,又 0.2,,,,0.4,,P,. ,,0.1,,,,0.3,,计算矩阵乘积Q,BP: 45675.5,,,,,,,,0.2,,,,24695.3,,,,0.4,,,,,,Q,BP,,. 57365.9,,,,,,0.1,,35685.6,,,,,,0.3,,,,,,35554.6,,,, Q中的最大值为5.9，对应的行动方案是A，所以合理的决策是A. 33 运用矩阵方法进行风险型决策，有许多优点:第一，它具有广泛的适应性，尤其是在解决比较复杂、计算量比较大的决策问题时， 该方法显得更为优越;第二，这种方法把风险型决策问题转化为两个矩阵的乘法以及选取乘积矩阵中元素的最大者或最小者，这样就易于利用数学理论及计算机简化计算. 例4(工业增长模型)考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染与工业发展的工业增长模型. 设p是现在污染的程度，d是现在工业发展的水平，二者都以由各种适当指标组成的单位来度量. 例如，对于污染来说，空气中的一氧化碳的含量及河流中的污染浓度等等. 设p ,和d ,分别是五年后的污染程度及工业发展的水平. 假定根据其它发展中国家类似的经验，国际发展机构认为，以下简单的线性模型是随后5年污染与工业发展有用的预测 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 : p,,p，2d， d ,,2p，d. 如果我们记 ,12pp,,,,,,,,,,,,A,, ,,, ,, 5 ,,,,,,,21dd,,,,,, 则有 ,,A, (5) 5 随后的10年、15年、…，5n年污染程度与工业发展水平分别为: 23n,,A,,A,, ,,A,,A,, …，,,A,. 10515105n 如果初始值p,4，d,2, 则用(5)式可得出未来50年污染程度与工业发展水平的情况，见下表: p d 目前 4 2 5年 8 10 10年28 26 15年80 82 20年 244 242 25年 728 730 30年2188 2186 …… ………… 50年177148 177146 为了分析上表中p和d的变化性态，我们先求矩阵A的特征根与特征向量. A的特征多项式为 x,1,22f(x),,x,2x,3,(x,3)(x，1). A,2x,1 所以A的特征根为,,3，,,,1. 12 对于特征根,,3，所有满足 1 2,2xx,,,,,,11,,,,,,(3I,A),,0 ,,,,,,xx,222,,2,,,, 1x,,,,1,,,,的非零向量都是属于特征根3的特征向量，例如向量就是特征向量，即 ,,,,x1,,2,, 11,,,,,,,,A,3. ,,,,11,,,,同样对于特征根,1，所有满足 xx,2,2,,,,,,11,,,,,,(,1I,A),,0 ,,,,,,xx,2,222,,,,,, x,,1,,1,,,,的非零向量都是属于特征根,1的特征向量，例如就是特征向量，即 ,,,,,1x,,2,, 11,,,,,,,,A,,1. ,,,,,1,1,,,,如果初始值为p,1，d,1, 则利用(5)式可以计算出5年、10年、15年、…、5n年 后污染与工业发展水平分别为: 21113,,,,,,,,,,,,,,,,5年:,,A,,,3,; 5,,,,,,,,12113,,,,,,,, 2,,322,,10年:,,A,,AA,,A,3,,3 A,,3,,; 102,,3,, 3,,332223,,15年:,,A,,AA,,A,3,,3A,,3,,. 153,,3,, ……………………………………… n,,3nn,1n,1n,1n,,5n年:,,A,,AA,,A,3,,3A,,3,, 5nn,,3,,记 11,,,,,,,,e,, e,. 12,,,,1,1,,,,则容易算出(可以利用待定系数法): 411,,,,,,,,,,,,,3， ,3 e，e. 12,,,,,,21,1,,,,,, 对于初始值p,4，d,2，随后5n年污染程度与工业发展水平为 4,,nnnn,,A,A(3 e，e),A,3e，A,e 1212,,2,, nnnn,3 A e，A,e,3,3e，(,1) e 1212 n，1n,,,,3(1),,,,,,，. n，1n，1,,,,3(,1),,,, n,,(1),,,当n较大时，对计算结果的影响作用很小，以致能被忽略不计，因此，当nn，1,,(,1),, n年后污染程度与工业发展水平为: 较大时，5 n，14,,,,3n,,,,A,. ,,n，1,,23,,,, 同样，如果以p,1, d,7为初始值，想要确定20个时段后这个增长模型的效果，也可 1,,,,如下计算:先将写成如下形式 ,,7,, 111,,,,,,,,,,,,,4,3,4e,3e. 12,,,,,,71,1,,,,,, 因此20个时段后污染程度与工业发展的水平为 1,,20202020,,A,A(4e,3e),4Ae,3 Ae 1212,,7,,2020,4,3e,3,(,1)e 12 11,,,,20,,,,,4,3,3 ,,,,1,1,,,, 20,,,3,,43,,,,,,，. ,,20,,343,,,,, 同样上式中最后一项的作用是如此地小, 以致可以忽略不计，因此 11,,,,2020,,,,A,4,3. ,,,,71,,,, 例5(兔子狐狸种群模型) 考虑一个简单的关于兔子和狐狸生存的生态模型. 假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R一年自然增长10%，于是下一年兔子的数量R,服从增长规律R,,1.1R.又设在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F每年减少15%, 于是下一年狐狸的数量F,,0.85F. 然而当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子, 使狐狸数增加，兔子数减少，我们提出如下的模型: ,R,1.1R,0.15F,. ,,F,0.1R，0.85F, 令 1.1,0.15,,,,A,， ,,0.10.85,, 则上述增长模型可写成如下的矩阵形式: ,1.1,0.15RR,,,,,,,,,,,,, (6) ,,,,,,,FF0.10.85,,,,,, 对初始值R,10，F,8, 利用模型(6)计算经过许多时间段后，兔子和狐狸种群的数量如下: 0年: 10兔子， 8狐狸 1年: 9.8兔子， 7.8狐狸 2年: 9.6兔子，7.6狐狸 3年:9.4兔子， 7.4狐狸 … … … 10年: 8.4兔子，6.4狐狸 … … … 20年: 7.4兔子， 5.4狐狸 …… …… …… 50年:6.3兔子， 4.3狐狸 …… …… …… 100年:6.02兔子， 4.02狐狸 下面我们以特征根和特征向量为工具对上表所表示的性态进行分析. 首先计算A的特征多项式: x,1.10.15f(x),det(xI,A), A,0.1x,0.85 2,x,1.95x， 0.95 ,(x,1)(x,0.95). 所以特征根为1和0.95. x,,1,,为了求对应于特征根1的特征向量，考虑满足下式的非零向量: ,,x2,, ,0.10.15xx,,,,,,11,,,,,,(I,A),,0， ,,,,,,xx,0.10.152,,2,,,, 333x,,,,,,,,1,,,,,,,,例如可取,，显然向量的任意非零常数倍k都是属于特征根1的特征向量. ,,,,,,,,x222,,,,,,2,, 111,,,,,,,,,,,,同样对于特征根0.95，也可以求出一个特征向量，向量的非零常数倍k(k,0),,,,,,111,,,,,,都是属于特征根0.95的特征向量. 设 1103,,,,,,,,,,,,,a，b， ,,,,,,821,,,,,, 则有 3a，b,10,. ,2a，b,8, 解得a,2, b,4. 所以 1103,,,,,,,,,,,,,2+4 ,,,,,,821,,,,,, 因此经过n个时间段后，兔子和狐狸的种群数量为: ，，1031,,,,,,nn,,A,A ,,,,2，4,,,,,,,,821,,,,,,，， 31,,,,nn,,,,,2 A+4A ,,,,21,,,, 13,,,,nn,,,,,2,1+4,0.95 ,,,,21,,,, 61,,,,n,,,,,+4,0.95. ,,,,41,,,, 1061,,,,,,nn,,,,,,可以看出，A是由一个稳定种群项和一个缓慢衰减的第二项4,0.95组成的. 所,,,,,,841,,,,,, 以, 正如前面表中计算的结果所表示的趋势那样, 兔子和狐狸的种群数量越来越趋向于6, 4. 确定一个方阵的特征根及特征向量，是所有数学中研究最多的计算问题之一. 对于2阶方阵，例2已给出计算其特征根的方法. 对于某些较简单的三阶和四阶矩阵，特征根及特征向量容易求出，而对于阶数较大的方阵，问题比较复杂，在实际中往往使用其它方法.