矩阵的相似变换与合同变换异同

矩阵的相似变换与 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 变换异同 第15卷第1期 2002年3月 邵阳高等专科学校 一 ofSha— oya — ngC — olleg, e VD1.15.No.1 Mar.2002 文章编号:1009…2439(2002)01—0007—03 矩阵的相似变换与合同变换异同 肖秋菊 (衡阳市职工大学,湖南衡阳421001) 摘要:相似变换和合同变换是高等代数矩阵理论中的两个等价基本变换.它们是似 同实殊异的两个概念.在 我们仅讨论了它们简单而直接的应用问题,用相似变换讨论可角《高等代数》里, 化矩阵的相似对角形问题,用合 同变换讨论了对称矩阵对角化及二次型 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化问题,矩阵的相似和合同有诸多相 同性质,也有许多不同性质. 关键词:矩阵;相似变换;合同变换;秩 中图分类号:0151.21文献标识码:A 定义1设A,B是数域F上的两个阶矩阵,若存在F上一t-.阶可逆矩阵丁,使等式 B=TA丁成立,那么就说矩 阵j与矩阵A相似,记作AGOB. 定义2设A,B是数域F上的两个阶矩阵,若存在F上一个阶可逆矩阵P,使等式B=P'AP成立,那么就说矩阵 B与矩阵A合同,记作AB. 定义3若A,B是数域F上的两个阶矩阵,若存在F上一个阶可逆矩阵u,使等式B=【,Au成立,则称矩阵B 与矩阵A正交.其中阶可逆矩阵u称为正交矩阵.显然有U一=U,UU=UU=j. 由上述三个定义可知,矩阵的相似变换集合与合同变换换集合的交集非空,它们的交就是矩阵的正交变换集合.有了这 三个定义,下面对它们性质上的同异展开讨论,分别以定理的形式给出 定理1相似变换,合同变换都具有自反性,对称性,传递性,从而都是矩阵集的等价关系. 证明仅证相似变换,合同变换完全类似. 设A,B是两阶矩阵,了,,u是阶可逆阵,则 ?因A=f,故相似具有自反性. ?因若B=TA7,,则有A=TBT=(r)B7一,故相似具对称性. ?由B=TAT,C=V-BV,得C=U-(丁A丁)U=(TU)A(丁u);故相似具传递性. 综上所述,相似变换是矩阵集的等价变换. 由于正交变换集是相似变换集和合同变换集的交,故正交变换显然满足上述性质定理1,是等价变换 定理2相似的矩阵,合同的矩阵均有相同的秩. 证明若A?B,则B=TA丁,丁是可逆阵,故可有秩A=秩(A7') 又因rr可逆,所以秩(AT)=秩[T(AT)]=秩B,即秩A:秩B,证毕. 合同的矩阵同理可证. 注我们可说相似矩阵,合同矩阵,指的是两个或多个矩阵相似,合同,而正交矩阵,由定义3可知,乃是一个矩阵,故定 理2对"正交矩阵"是无意义的. 定理3相似矩阵有相同的特征多项式,特征根和行列式. 证明设B=T,AT,『j—Bl:lj一丁A丁l=l丁(R』一A)丁f=I丁1.1j—A1.1丁I=I21 一Al 即若A?B,则A与B的特征多项式相等.故特征根也相同 又lBI=l丁A丁f=I丁{lAl』Tl=『Al 若AGOB,则它们的行列式也相同. 注?合同矩阵不一定有相同特征多项式. f11—1]f100]fl,12] 例1设A=f120,B=010;现令P:0l一1f,则有B=P'AP即AB,但A l一100』【00—2l001J 与B的特征多项式分别是 l,一Al=一3+2I21一B『=一3+2 注?同特征多项式的矩阵不一定相似,即定理3是非充要的. /1n,/11\ 例2设A=(二j,B=(:),U上/,U上/ 收稿日期:2001—11—10 8邵阳高等专科学校第15卷 'A,B的特征多项工都是(一1),但显然A与B不相似(可用反证法证明之). 注?合同矩阵若非相互正交和相同,其行列式必不等,因为若AB,且.A?B,^A,B不 正交,则IBI=IP'API==j PjAP=jPjIAj,显然A?B时,IPj?1,jPIIAI?jAj 定理4两合同的矩阵,若有一个是对称的,则另一个必对称,而两相似的矩阵则不一 定有此性质. 证明A,?B,有B=P,设A是对称阵,即A二=A 则B=(P)P=P,P=P=B,即B亦是对称阵. 下证此结论对相似的两矩阵不具一般性. 设B=TAT,不妨设A=A,则 B=T(了)=T(r) 要使B=B,必须有T=T,即要求B与A正交. 此结论对两相似矩阵不具一般性. 定理4反映的性质正是说明了矩阵的合同在应用的侧重点,通过合同变换我们对对称矩阵作深入的性质研究,在此不再 详述. 定理5?任意对称矩阵必合同于一对角矩阵?对称矩阵A相似于对角矩阵的充分且必要条件是:对A的每一特征 根,有秩(AjA)2-w—S,S为的重数. 证明?用数学归纳法. 当=1时,定理显然成立. 设>1(?N)时,定理对地一1阶对称阵成立,-4是阶对称阵 若A:0,则A本身已为对角阵. 不妨设A?0 i)讨论A的主对角线上元素不全为0的情况,这样可通过三种行或列初等变换便得 al10…0, n1 Es= Es…E2E1AE1E2… ?^1 0 这里A是一1阶对称阵,由归纳假设,存在则有一1阶的可逆阵Q使Q'AQ= 10???0 现取Q=Q,P=EE:…EQ l0J fall 则P'AP:Q,s…E,:E,AE1E:…Q:{?i: L0 ii)若.=0,=1,2,…,,由A?0,可通过对应的行列初等变换,使问题归结到i)的情况 ?任给对称的阶矩阵A一个特征根,设其重数为s,秩(j—A)=r,则 r=—s?—r=s?(j—A) f0] lo{,线性无关的解向量个数为一个,即个 I. l0j 又因属不同特征根的特征向量线性无关. ?阶对称阵A有个线性无关的特征向量. ?阶对称阵A可对角化. 注1:任意对称阵所合同的对角阵及其变换矩阵不是唯一确定的 例3设对称阵 11—1 A=120},用行列初等变换求其合同对角阵如下: I一100J 10 01 AA的第一行(歹0)×(一1)一11 I加至第二行(列)1—1J 01 100 1 0 第一列(行)加至0 第三列(行)1 0 0 00 11 1 — 1 1 0 o . cJ' 100 010 第二列(行)×(一1)加00—2 至第三列(行)o1—12 01—1 001 ? oo 2C %o = 0 Q 04 Q 甜学教 第1期肖秋菊:矩阵的相似变换与合同变换异同 1f1—12 由上述行和列初等变换过程知:A1;其中变换矩阵P=01—1 l一2l001 但若在实施最后初等变换0时,再实施变换第一列和第一--行都乘2,则得到 400] 为对角阵且与A合同 2 注2:定理5?的证明对非对称矩阵也成立. 定理6a)实数秩为r的n阶实对称矩阵A合同于矩阵l 且】{中的数P是被A唯一确定的. 2—12 此时P=01—1 1001{ O] .n一』 9 b)若R上的n阶矩阵A可对角化,则AcB='..其中(.=1,…,n)是A的特征根的一个排 列,重根按重 , 数计算 证明a)因A是实对称阵,由定理5()知 Cl 取T=1/'TP叮:一 I,其中P为合同变换矩阵 . .n一 f1 下证数P的唯一性 T显然与B的符号无关,又由定理5注?的求对角形的方法可知,施行初等变换是 行与列同时施行相同的变换的,因此 Cl 变换P是也不改变A及其变形矩阵的符号,故 0 中正数的个数P是由A唯一确定的. 0 b)由定理5?易得. 定理6a)是实对称矩阵的惯性定理;它与二次型密切相关,在此,不另行文;b)也可这 样描述:如果一个矩阵A与对角 矩阵相似,则该对角矩阵除主对角线上元素排列的次序外,是唯一确定的.总之,定 理6描述的可以说是合同与相似的对角 "标准形"的唯一问题.它与前五个定理相比,已具有明显的应用意义. 参考文献 [1]张禾瑞等.高等数学(第3版)[M]北京:高教出版社,1983 (责任编辑黄红华) 中 其 2.210 一2一 l0ll10 (( ^l^) 0 为 不 拿 r / r ll A 秩 0 . ? ,/ ?一 A