凸函数的三种典型定义及其间的等价关系

凸函数的三种典型定义及其间的等价关系 Vol?15No?3JournalofHandanVocationalandTechnicalCollegeSept.2002 凸函数的三种典型定义及其问的等价关系 花树忠 (邯郸市职工大学基础教学部邯郸056001) 摘要:凸函数是一类常见的重要函数,有着十分广泛的应用.但是,不同数学教材q-常常会给出 不同的定义,本文给出三种比较多见的凸函数定义并就三者间的等价性进行 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 . 关键词:凸函数;等价;定义 凸函数是一类重要的函数,笔者在多年的学习及教学过程中发现,不同数学教材中对凸函数的定义 有多种形式,典型的有本文给出的三种,但教材中在理论上对它们间的等价关系的证明很少见到,下面 笔者就常见的三种凸函数定义及其问的等价关系给予介绍和证明. 一 ,凸函数的三种典型定义及其几何意义 定义1若函数f()对于区间(口,6)内的任意1,2以及?(0,1),恒有 [1+(1一)2]?,-(1)+(1一)f(2) 则称f()为区间(o,6)上的凸函数. 其几何意义为:凸函数曲线Y=f()上任意两点(.,f(.)),(2,f(2))间的割线总在曲线之上. 定义2若函数f()在区间(o,6)内连续,对于区间(o,6)内的任意.,2,恒有 ()?1( .)+(2)] 则称f()为区间(o,6)上的凸函数. 其几何意义为:凸函数曲线Y:f()上任意两点(.,f(.)),(2,f(2))问割线的中点总在曲线上 相应点(具有相同横坐标)之上. 定义3若函数厂()在区间(o,6)内可微,且对于区间(o,6)内的任意及.,恒有 f()?f(o)+厂(0)(—0) 则称()为区间(o,b)上的凸函数. 其几何意义为:凸函数曲线y=厂()上任一点处的切线,总在曲线之下. 二,凸函数的两个重要推论 推论1设f()是定义1下的凸函数,则对于区间(口,6)内的任意三点1<2<3,有 f(2)一f(.)f(3)一f(.)f(3)一f(2) 2一I ?X 3一I2一一 ? 证设=(3一2)/(3一1),贝U0<<1,且1一=(2一1)/(X3一1),2:2x1+(1一 ),由定义1得 f(2)=f[,Ix1+(1一)2]?,-(1)+(1一)f(X3) 从而f(2)一f(1)?(1一)[f(3)一f(1)]及 f(3)一f(2)?[f(3)一f(1)] 于是 I ?X 3I 且 X3 ?X 3I2一,一一2一 即 I ? 3I ?X 32一?一一2 推论2设f()是定义3下的凸函数,则()在区间(o,b)内单调不减,即对(o,b)r勺任意的? 第15卷第3期邯郸职业技术学院学报2002年9月 <2,都有(1)?(2) 证由定义3知,对(0,b)内任意的1<2,有 f(2)?f(1)+(1)(2一1)及f(1)?f(2)+(X2)(1一X2) 即.)?及厂(X2)?= 所以(.)?(2) 三,凸函数三种不同定义的等价性证明 1.定义1与定义2的等价性 证定义1j定义2:显然,只要取=1/2即可由定义1推得定义2. 定义2j定义1:我们首先推证f()对于任意的1,2?(0,b)及有理数?(0,1), 不等式 1+(1一)2]?(1)+(1一)f(X2) 成立.事实上,对于此有理数,总可表示为有穷二进位小数,即 =0.01a2…0 al2一+a22一2+…+a n-12+0n ——一 2n 其中ai:0或1,(i:1,2,…,n一1);0=1.由于1一也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小 数,即 1一=0.b1b2…b= bl2一+b22一+…+6一12+b 2n? 其中6:1一.f,(i:1,2,…,n一1);b:1,这是因为+(1一)=1的缘故.因此 九1+bix2]?ay(x1)+6(2),(i=1,2,…,n一1). 所以f[1+(1一)2] 2 alXl+6.:)+(!三二二.+呈二二2_: = 九—————————————————————————————一 2] ?吉[(...+6.:)]+吉(!二二.+鱼三二二?:) ?吉[..(.)+6.f(x2)]+吉(二二.+鱼三二二:) ?.1)+6.f(x2)]+吉.吉)+]+( ?… ?...)+6.:)]+1[n(. )+6(:)]+..?+1[--)+6:)]+ () ?吉[n.(.)+6.(:)]+1[nzf(?)+6(:)]+…+[n r(?)+6 r(:)] (】)+hi2n-I+b22n-2 … + . “„“+bn_12+bn f(2)(1)+…. , ? 53- Vol?15No?3JournalofHandanVocationalandTechnicalCollegeSept.2002 = 厂(1)+(1一)f(2) 下面再推证()对为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无理数?(0,1),存在有理数列 {}c(0,1),一(n.---~?),所以l+(1一)X2一l+(1一)2(n.---~?),由于()厂(XO)?,即()?f(Xo)+厂(XO)(一.).若 <o,则取h>0,使<o+h<o,同理可证. 定义3定义1:对于区间(0,6)内的任意l,X2(不妨设l<2)以及?(0,1),令:l+(1 一 )2,贝?l<<2,l—=(1一)(l—2),2一=(2一1),由台劳(Taylor)公式,我们有 厂()=f()+厂()(x一x)及f(2)=f()+,(02)(2一) 其中l<0l<<02<2,于是 厂(1)+(1一)f(2):l+(1一)2]+(1一)(2一1)[厂(02)一厂(01)] 再由推论2知厂(02)?厂(01),所以(1)+(1一)f(2)?f[l+(1一)2] 即l+(1一)2]?(1)+(1一)f(2) 最后,由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的. 参考文献 [1].复旦大学数学系.数学分析[M].人民教育出版社,1982 [2].中国人民大学数学教研室.运筹学通论[M].中国人民大学出版社,1987 [3].孙本旺,汪浩主编.数学分析中的典型例题和解题方法[M].湖南科学技术出版社,1981 (上接48页) 三,依法理财与以德理财相互结合 1.认真学习,深刻领会江泽民依法治国与以 德治国相结合的重要思想,解决认识上的片面性. 全面认识依法理财与以德理财相结合,是 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 会 计行为,保证会计信息真实的重要方略. 2.加强教育.一是学校要培养全面优良素质 的会计人才.二是应加强对会计人员的法制教育 和职业道德教育.通过法制教育,使会计人员掌 握有关法规知识,养成自觉遵纪守法的良好习惯. 并用法律手段管理经济,保证会计行为的合法性. 3.依法理财与以德理财能够相互渗透,相辅 相成.一方面在会计法制建设中,把一些经过会 ? 54? 计实践证明行之有效,为广大会计人员普遍认可 的,最基本的职业道德规范,直接纳入有关会计法 规之中;另一方面在会计的职业道德中,要把”遵 纪守法”作为最基本的会计职业道德要求提出来. 4.在不断完善和健全会计法规体系的同时, 建立一套具有可操作性和指导性的会计职业道德 体系.要以江泽民同志的”三个代表”精神和依法 治国与以德治国相结合的治国方针,逐步完善各 种会计法规,做到有法可依,有规可循.同样加强 职业道德建设,建立适应社会主义市场经济的职 业道德体系,按照朱总理提倡的”诚信为本,操守 为重,遵循准则,不做假账”的精神,才能从根本上 遏制腐败的行为.