均值不等式的证明（精选篇）

均值不等式的证明（精选篇）均值不等式的证明（精选篇）均值不等式的证明均值不等式的证明均值不等式的证明设a1,a2,a3an是n个正实数，求证(a1+a2+a3++an)/n?n?(a1*a2*a3**an).要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2^k的情况 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。这些都很简单的用a+b =?(ab) 可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法如果n成立对n-1，你令an=(n-1)?(a1a2a...

均值不等式的证明（精选篇）均值不等式的证明均值不等式的证明均值不等式的证明设a1,a2,a3an是n个正实数，求证(a1+a2+a3++an)/n?n?(a1*a2*a3**an).要简单的详细过程，谢谢!!!! 你会用到均值不等式推广的证明，估计是搞竞赛的把对n做反向数学归纳法首先归纳n=2^k的情况 k=1 。。。 k成立 k+1 。。。这些都很简单的用a+b =?(ab) 可以证明得到关键是下面的反向数学归纳法如果n成立对n-1，你令an=(n-1)?(a1a2a(n-1) 然后代到已经成立的n的式子里，整理下就可以得到n-1也成立。所以得证 n=2^k中k是什么范围 k是正整数第一步先去归纳2，4，8，16，32 这种2的k方的数一般的数学归纳法是知道n成立时，去证明比n大的时候也成立。而反向数学归纳法是在知道n成立的前提下，对比n小的数进行归纳，指“平方平均”大于“算术平均”大于“几何平均”大于“调和平均” 我记得好像有两种几何证法，一种三角证法，一种代数证法。请赐教! sqrt{(a1)^2+(a2)^2+..(an)^2/n]}?(a1+a2+..an)/n?n根号(a1a2a3..an)?n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 证明: 1.sqrt(((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)/n)?(a1+a2+..an)/n 两边平方,即证 ((a1)^2+(a2)^2+..(an)^2)?(a1+a2+..an)^2/n (1) 如果你知道柯西不等式的一个变式，直接代入就可以了: 柯西不等式变式: a1^2/b1 + a2^2/b2 +an^2/bn ?(a1+a2+an)^2/(b1+b2+bn) 当且仅当a1/b1=a2/b2==an/bn是等号成立只要令b1=b2==bn=1，代入即可 (2)柯西不等式 (a1^2 + a2^2 +an^2)*(b1+b2+bn)?(a1b1+a2b2+anbn)^2 竞赛书上都有证明:空间向量法;二函数法;是赫尔德不等式的特例] 2.(a1+a2+..an)/n?n根号(a1a2a3..an) (1)琴生不等式: 若f(x)在定义域内是凸函数，则nf((x1+x2+xn)/n)?f(x1)+f(x2)+f(xn) 令f(x)=lgx 显然，lgx在定义域内是凸函数判断凸函数的方法是二阶导数 0,或从图象上直接观察] nf((x1+x2+xn)/n)=nlg(a1+a2+..an)/n]? f(x1)+f(x2)+f(xn)=lga1+lga2+lga3lgan=lga1*a2..an 也即 lg(a1+a2+..an)/n]? 1/n(lga1a2a3an)=lg(a1a2aan)^(1/n)=lgn根号(a1a2..an) f(x)在定义域内单调递增，所以(a1+a2+..an)/n?n根号(a1a2..an) (2)原不等式即证:a1^n+a2^n+an^n?na1a2a3an 先证明a^n+b^n?a^(n-1)b+b^(n-1)a 做差 (a-b)(a^(n-1)-b^(n-1))同号]?0 2*(a1^n+a2^n+an^n)? a1^(n-1)a2+a2^(n-1)a1+a2^(n-1)a3+a3^(n-1)a2an^(n-1)a1+a1^a( n-1)an =a2(a1^(n-1)+a3^(n-1))+a3(a2^(n-1)+a4^(n-1)) ?a2a1^(n-2)a3+a2a3^(n-2)a1+重复操作n]??2na1a2an 即a1^n+a2^n+an^n?na1a2a3an (3)数学归纳法:但要用到 (1+x)^n 1+nx这个不等式，不予介绍 3.n根号(a1a2a3..an)?n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 原不等式即证:n根号(a1a2a3..an)*(1/a1+1/a2+..+1/an)?n 左边=n根号a2a3..an/a1^(n-1)]+n根号+a1a3a4..an/a2(n-1)]+n根号a1a2a4an/a3^(n-1)]+n根号a1a2a3a(n-1)/an^(n-1)] 由2得和?n*n根号(它们的积) 所以左边?n*n根号(1)=n 所以(a1a2a3..an)?n/(1/a1+1/a2+..+1/an) 证毕特例:sqrt(a^2+b^2/2)?(a+b)/2?sqrt(ab)?2/1/a+1/b 证明: 1.sqrt(a^2+b^2/2)?(a+b)/2 两边平方 a^2+b^2?(a+b)^2/4 即证 (a/2-b/2)^2?0 显然成立 2.(a+b)/2?sqrt(ab) 移项即证 (sqrt(a)-sqrt(b))?0 显然成立此不等式中 a+b可以表示一条直径的两部分，(a+b)/2=r sqrt(ab) 就是垂直于直径的弦，而r?弦的一半 3.sqrt(ab)?2/1/a+1/b 两边同时乘上 1/a+1/b 即证 sqrt(ab)*(1/a+1/b)?2 而sqrt(ab)*(1/a+1/b)=sqrt(a/b)+sqrt(b/a)?2由上一个不等式]。

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