建筑工程测量学习指引-西南科技大学网络教育学院

建筑 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 测量学习指引-西南科技大学网络教育学院 解析几何习题集参考解答 解析几何第一章 ,,,,,,2ac1、设矢量={3,1,2}，={2,7,4}, ={1,2,1}，求 ba(b,c) ,,,2解: (2分) ？a,9，1，4,14bc,2，1，7，2，4，1,20 ,,,2 ？a(b,c),14，20,280 ,,a2、 设矢量={λ，0，2}，={1，-λ，-4}相互垂直，求λ. b ,,,,解: a,b,a,b,0 ,,,8即:,，0,8,0 (2分) ,,3、 求矢量，的夹角. ,,a2,,2,0,,b4,2,,2 ,,,,,,3ab8,4，03,，(a,b),arccos？cos，(a,b),,,解: ,,66824ab 4、 判定三点A(0,1,0),B(-1,0,-2),C-2,3,4)是否共线, 解: ？AB{,1,,1,,2},AC{,2,2,4} 且,1:,1:,2,,2:2:4 故三点A、B、C不共面. ,,,5、判定三矢量是否共面, ,,,,,,a1,0,1,b0,,1,2,c,1,2,3 101,,,？(abc),0,12,,8,0解: ,123 故三矢量不共面. 1 西南科技大学网络教育学院() 6、三点A(5,1,-1),B(0,-4,3),C(1,-3,7),求三角形ABC的面积. 解: ,,,,？AB,,5,,5,4,AC,,4,,4,8 ,,,544,5,5,5 ,,AB，AC,,,,,24,24,0,,,488,4,4,4,, 1 ？S,AB，AC,122,ABC2 7、四面体的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),试求从顶点D所引 四面体的高h.(10分) 解: ,,,,,,？AB6,0,6,AC4,3,0,AD2,,1,3 606 ，，V,AB，AC，AD= 430,,6,6六面体 2,13 S,AB，AC,634底面 V34六面体h, S34底面 ,,,,,,,,,,,,8、已知两两垂直,且. a,b,ca,1,b,2,c,3,求r,a，b，c的长度及，(r,a) ,,,,,,,,,,,,,2222r,(a，b，c),a，b，c，2ab，2ac，2bc解: 222,1，2，3，2，0，2，0，2，0 ,14 ,,,2,,raa114，ra,,,,cos(,) ,,,,14rara14 ,,14，(r,a),arccos. 14 2 解析几何习题集参考解答 9、 求以A(4,10,37),B(7,9,38),C(5,5,38)为顶点的三角形面积及AB边上的高。 解: ,,,,？AB,3,,1,1,AC,1,,5,1 ,,,11133,1 ,,AB，AC,,,,4,,2,,14,,,51111,5,, 1 ？S,AB，AC,36,ABC2 ？AB,11 2S666,ABC？h,, 11AB ,,,,,,,,,,10、已知a，3b与7a,5b垂直，且a,4b与7a,2b垂直，求. a,b的夹角 ,,,,,,,,,,,,22解: ，，，，？a，3b,7a,5b,a，3b,7a,5b,0,7a，16ab,15b,0(1) ,,,,,,,,,,,,22 ，，，，a,4b,7a,2b,a,4b,7a,2b,0,7a,30ab，8b,0(2) ,,,,,,22,,由(1)(2)消a得:2ab,b,022,a,b,a,b ,,,,22消b得:a,2ab,0 ,,,,,,2,,,,12 22cos(,)cos(,)？ab,b,ab，ab,b,，ab,2 ,,0 故:，(a,b),60 11、已知四边形的顶点为A(2,-3,1),B(1,4,0),C(-4,1,1),D(-5,-5,3),求对角线AC与BD的长和它们的夹角。 解: ？AC,{,6,4,0},BD,{,6,,9,3} 222？AC,(,6)，4，0,213, 222BD,(,6)，(,9)，3,314 0. ，，又AC,BD,36,36，0,0,AC,BD,，AC,BD,90 3 西南科技大学网络教育学院() abc12、用矢量法证明三角形的正弦定理:,,. sinAsinBsinC证明:(均是三角形面积的2倍) ？AB，AC,BA，BC ？ABACsin，(AB,AC),BABCsin，(BA,BC) ab 即:cbsinA,casinB,,sinAsinB ac 同理由:AB，AC,CA，CB,,sinAsinC 解析几何第二章 x,3sint,,1、化空间曲线的参数方程为一般方程. y,4sint(0,t,2,), ,z,5cost, 4,3,0xy,,22为所求. 解:,xz，,1,2235, 22,,3,2,0xyz2、求曲线对三个坐标面的射影柱面方程. ,y,x，1, 解:消z得曲线对xoy面的射影柱面为: y,x，1 22消y得曲线对zox面的射影柱面为: x,3(x，1),2z,0 22消x得曲线对yoz面的射影柱面为: (y,1),3y,2z,0 222,(x,3)，(y,7)，(z，1),253、求曲线在xoz面上的射影曲线. ,xyz2,,2，7,0, 222解:消y得曲线对xoz面的射影柱面为 (x,3)，(2x,2z)，(z，1),25 4 解析几何习题集参考解答 222,(x,3)，(2x,2z)，(z，1),25故在xoz面上的射影曲线为 ,y,0, 4、求球心在原点O，且经过点A(6,-2,3)的球面方程. 222解: ？R,OA,6，(,2)，3,7 222 ？球面方程为:x，y，z,49 5、求以A(0，1，1)和B(2，-1，3)为直径的两端点的球面方程. 222解: ？A,B的中点为O(1,0,2),OA,(,1)，1，(,1),3 222 ，，，，，，？球面的方程为x,1，y,0，z,2,3 2226、求球面的中心与半径. x，y，z,6x，8y，2z，10,0 222解:球面方程经配方得: (x,3)，(y，4)，(z，1),16 故球面中心为(3,-4,-1),半径为4. 27、求证:过原点的两条直线是二次曲线的一OM、OM(x,y),2x，2y,112 对切线.(10分) 22证明: ？x，xy,6y,x,8y,2,0与x,6y,2,0的交点 1 (3分) 为M(2,0)和M(0,,)123 (2分) ？直线OM、OM分别为ox轴和oy轴12 2又？ox轴与曲线(x,y),2x，2y,1交于重合的两点(1,0) 2 oy轴与曲线x,y,x，y,交于重合的两点()221(0,1) 5 西南科技大学网络教育学院() 2故:两直线是二次曲线的一对切线. OM、OM(x,y),2x，2y,112 解析几何第三章 1、求两点M(3,0,0),N(0,0,4)的中垂面方程. 3,,解: ？M,N的中点为，0，2,,2,, ,,MN,3，0，4 ？中垂面为6x,8y，7,0 2、求与平面3x+2y+6z-12=0平行且到原点的离差为2的平面方程. 解:设所求平面为3x+2y+6z+D=0 1,D(3x，2y，6z，D),0？p,,2,D,,14法式化为 77 -14=0为所求. 故3x+2y+6z 3、求二个平行平面2x+2y-z-15=0与2x+2y-z-27=0之间的距离d. 解: ？D,,15,D,,27？两平面位于原点的同侧12 2x，2y,z,152x，2y,z,27 将两平面化为法式方程为:,0和,033 ？p,5，p,9,d,9,5,412 4、已知A(3,1,2),B(2,-3,0),求过点A且垂直A,B连线的平面方程. 解: ？AB{,1,,4,,2} ？平面的点法式方程为:,1(x,3),4(y,1),2(z,2),0 即x，4y，2z,11,0 6 解析几何习题集参考解答 5、求过点(-1,2,0)且垂直于平面x+2y-z+1=0的直线方程. ,解: ,,？直线的方向矢量就是平面的法矢量:n1,2,,1 x，1y,2z ？直线的方程为,,12,1 12x,yz,6、直线通过点P(3,-1,2),且与直线垂直相交,求其方程. :l,,1011 x,3y，1z,2解:设所求直线为l: ,,XYZ ？l与l垂直,0,X，1,Y，1,Z,0(i)1 2,10 l与l共面,,,011,0(ii) 1 XYZ 由(i)(ii)解得X:Y:Z,4:,1:1 y，1x,3z,2 故:所求直线为,,4,11 7、求通过点P(1,-5,1),Q(3,2,-2)且垂直与xoy面的平面方程. 解:设平面方程为 ,:Ax，By，D,0 ,P,,A,5B，D,0A:B:D,7:,2:,17解得 Q,,,3A，2B，D,0 故:所求平面方程为:7x-2y-17=0 x，1yz,28、求通过点P(2,0,-1)和直线的平面方程. l:,,2,13 ,解: ？l过点M(,1,0,2),方向矢量为v{2,,1,3}0 7 西南科技大学网络教育学院() , ？可认为平面过点P(2,0,,1),以MP{3，0，,3},3{1，0，,1}，v为方位矢量0 x,2yz，1 10,1,0所以平面的点位式方程为: 2,13 展开得:x+5y+z-1=0为所求. yx,1z,29、判断直线l:与平面Π:x-2y+z-1=0相交,并求交点、交角. ,,236 ,,,,,,解:1)判定: ,,,,？v2,3,6,n1,,2,1,vn,2,6，6,2,0,v与n不垂直 ？l与,不平行,相交 x,2t，1, ,l:y,3t代入,:x,2y，z,1,02)求交点:解得t=-1, , ,z,6t，2, 故:交点为(-1,-3,-4) ,,vn626,,arcsin,3)求交角:sin,,, ,,,21vn217，6 xy，zx，y,z12210、求直线的距离及公垂线方程. l:,,和l:,,12,121421 2,30 ,,？,,121,,1v，v,55解:(1)求距离d: 12 4,21 ,15？d,,, ,,v，v255512 8 解析几何习题集参考解答 ,xy，1z ,121,0,23x,14y，5z,14,0,,43,10,(2)公垂线为: ,,,17x，44y，20z,54,0,x，2y,2z, ,4,21,0,43,10,, 213x，y,z,:11、求与直线平行且与直线l,,1201 ,5,6zx,yxz:均相交的直线方程. l和l:,,,2330,1,4，3zx, 解:设所求直线 l与l的交点为M(x,y,z)21111 z,5x,6,11 ,l解得x,9,z,39,211z,4x，311, 9y391 ？l与l相交,,,30,1,0解得y,031 201 x,9yz,39,,所求直线为: 201 12、求点M(-1,2,0)关于平面x+2y-z+1=0的对称点的坐标. x,,1，t,,解:过点M引平面的垂线为 y,2，2t, ,z,0,t, ,2(,1，t)，2(2，2t),(,t)，1,0,t,代入平面方程解垂足P的坐标 3 ,522P(,,)得 333 ,设M的对称点为M(x,y,z) 2，y,1，x,520，z2 ,？P是M，M的中点,,，,，,232323 9 西南科技大学网络教育学院() ,7,24解得 ,M(，，)333 y,7x，5z13、求点M(2,0,-1)关于直线的对称点的坐标. l,,2,21解:过点M作直线的垂面为 ,:2x,2y，z,3,0 x,,5，2t,,化直线方程为参数式 y,7,2t, ,z,t, 代入平面方程解垂足P的坐标 2(,5，2t),2(7,2t)，t,3,0,t,3 得 P(1,1,3) ,设M的对称点为 M(x,y,z) 0，y2，x,1，z ,？P是M，M的中点,,1，,1，,3222 解得. ,M(0,2,7) xyz，，,114、证明由平面与三坐标轴的交点所构成三角形的面积为abc 1222222ab，bc，ca 2 证明: ？三交点为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),AB{,a,b,0},AC{,a,0,c} 222b00,a,ab11？S,AB，AC,，， ,ABC0cc,a,a022 1222222,ab，bc，ca 2 10 解析几何习题集参考解答 解析几何第四章 22,(x,2)，y,41、求曲线绕x轴旋转所成的旋转曲面方程. ,z,0, 222解:为所求 (x,2)，y，z,4 2,z,2y2、求抛物线绕其对称轴旋转所得的曲面方程. ,x,0, 解:抛物线的对称轴是y轴 22故旋转曲面的方程为 x，z,2y 22,xy,,1,22、求双曲线绕虚轴旋转所成的旋转曲面方程. 3ab, ,z,0, 222x，zy,,1解:为所求 22ab 04、圆锥面的顶点在原点,y轴为对称轴,母线与y轴成60角,求其方程. ,00解:设M(x,y,z)为圆锥面上任一点,有 ，(OM,j),60或120 x,0，y,1，z,00 ,,cos60222x，y，z,1 222 故:x,3y，z,0为所求 2222 22225、求同时外切于两半径相等的球面(x-a)+(y-b)+(z-c)=R和x+y+z=R 的 圆柱面方程. 11 西南科技大学网络教育学院() xyz解:圆柱面以两球的连心线为轴,半径为球半径R l:,,abc 222yzzxxy，，bccaab=R 圆柱面的方程为222a，b，c 2222222 即:(cy,bz)，(az,cx)，(bx,ay),(a，b，c)R 22,9x，4y,366、求以为准线,母线的方向数为-3:2:1的柱面方程. ,z,0, 解:设为准线上任一点,则过的母线方程为: M(x,y,z)M11111 x,xy,yz,z111 (1),,321, 22,x，y,943611 ,(2)且M在准线上,1z,01, 22由(1)(2)消去得柱面方程为 x,y,z9(x，3z)，4(y,2z),36111 22,y，z,x7、求以为准线,母线垂直准线所在的平面的柱面方程. ,x,2z, 解:设为准线上任一点,母线方向为1:0:-2 M(x,y,z)1111 x,xy,yz,z111则过的母线方程为: M,,(1)1,102 22,y，z,x111 ,(2)且M在准线上,1x,z211, 242x，zx，z22()y，,x,y,z由(1)(2)消去得柱面方程为 11155 12 解析几何习题集参考解答 222xyz8、求单叶双曲面在点(2,3,-4)处的直母线方程. ，,,14916 222xyz解:的两族直母线方程为: ，,,14916 xzyxzy,,w(，),u(1，)t(，),v(1,),,,,243243与 ,,xzyxzy,,u(,),w(1,)v(,),t(1，),,243243,, 把点(2,3,,4)分别代入上面两直母线方程，求得u,0与t:v,1:1 2x，z,06x，4y，3z,12,0,,与故所求直母线方程为 ,,y,3,06x,4y,3z,12,0,, 22yx、 求双曲面抛物面通过点M(2,-3,0)的直母线方程. 9,,2z49 22yx解:的两族直母线方程为: ,,2z49 xyxy,,，,2u,,2v,,,,2323 与,,xyxy,,u(,),zv(，),z,,2323,, 把点(2,,3,0)分别代入上面两直母线方程，求得u,0与v,1 2x，2y,03x,2y,12,0,,与故所求直母线方程为 ,,z,03x，2y,6z,0,, 13 西南科技大学网络教育学院() 10、设动点与点P(1,0,0)的距离等于动点到平面:x=4的距离的一半,求动点的轨,迹方程,并指出轨迹是什么曲面? 1 PM,d解:设动点为M(x,y,z),依题意 M,2 1222 ,(x,1)，y，z,x,42 222yxz 整理得所求方程:，，,1433 故:动点的轨迹是一个椭球面. 222xyz11、试证用平面族z=h(h是任意实数)截割单叶双曲面所，,,1(a,b)222abc 得椭圆的焦点轨迹为一双曲线. 222,yxh，,，1,222证明:依题意这族椭圆的方程为 abc, ,z,h, 22,yx，,1,22,hh22 即a1，b1，()(),22cc, ,z,h, 2,h22x,,(a,b)(1，),2c,,因为a>b，从而焦点坐标为 y,0, ,z,h, ,, 22,xz,,1,222消去参数h得焦点轨迹方程为，这是一条双曲线. abc,, ,y,0, 14 解析几何习题集参考解答 22xy12、试证:双曲抛物面上两条垂直相交直母线的交点轨迹方程为,,2z22ab 22,xy,,2z,22 ab, 22,b,a,2z, 证明:因为两相交直母线必为异族的直母线，所以取 xyxy,,，,2u,,2v,,,,abab l(u)l(v)族和族,,12xyxy,,u(,),zv(，),z,,abab,, ,,111100,,11,2u,,,,,baab,lv,,,,,,,的方向矢量为,,,,11,uuu,ubaab,,,,,1,1,,baab,, ,,,111,100,,,112v,,,,baablv,,,,,, 的方向矢量为,,,,22vvvvbaab,,,,,1,1,,baab,, ,,114uv22？v,v,,，,,0,b,a,4uv(1) 122222baab xyxy 且4uv,(，)(,),2z(2)abab 22,,,2baz,22 故交点轨迹方程为,yx,,2z(因交点在双曲抛物面上),22ab, 15 西南科技大学网络教育学院() hxhyfxy(,)0,13、 证明:顶点在原点，准线为的锥面方程为:(,)0.f,,zh,zz 解:设为准线上任一点,则过的母线方程为: Mxyz(,,)M11111 xyz ,,(1)xyz111 fxy(,)0,,11 且在准线上M,()2,1zh,1, hxhy由(1)(2)消去得柱面方程为f(,)0., x,y,z111zz 解析几何第五章 221、求曲线在点(2,1)处的切线. 3x，4xy，5y,7x,8y,3,0 79解: ？F(2,1),0,F(2,1),3，2，2，1,,,F(2,1),2，2，5，1,4,51222 9 ？切线为:(x,2)，5(y,1),0即:9x，10y,28,02 22、求二次曲线x-1=0的渐近线. 100,,,,F,x,0,1A,000,解: ,,,F,02,,,001,, 曲线为线心曲线,渐近线就是中心直线x=0. 223、求曲线与直线2x+y+1=0平行的弦的共轭直径. 3x，5y，4x，5y，1,0 ？平行弦方向为X:Y,1:,2解: ？所求直径为:F(x,y),2F(x,y),012 即3x，10y，7,0 16 解析几何习题集参考解答 224、 曲线与直线x-y+1=0平行的弦的共轭直径. x，6xy，5y，4x,4y，1,0 解: ？平行弦方向为X:Y,1:1 ？所求直径为:F(x,y)，F(x,y),012 即x，2y,0 225、求二次曲线的与oy轴平行的直径. 2x，8xy，5y，4x,4y，，1,02x，4y，2,0,解:解得中心为(3，-2) 由,4x，5y,2,0, 直径过中心且平行于oy轴，故其方程为x=3. 226、求二次曲线的渐近线. 3x，2xy,y，8x，10y，14,022解: 由3X，2XY,Y,0解得渐近方向为X:Y,1:3和X:Y,,1:11122 3x，y，4,0,,911 又由解得中心为C(,),x,y，5,044, 911911x，y,x，y,4444故渐近线为 ,和,13,11 即:6x,2y，19,0和2x，2y,1,0 227、求二次曲线的主方向和主直径. 9x,24xy，16y,18x,101y，19,0 9,12？I,25,I,,0解: 12,1216 2？,,25,，0,0,,,0,,,2512 17 西南科技大学网络教育学院() 对于,,0,主方向X:Y,4:3(渐近主方向)111 对于,,25,主方向X:Y,,3:4(非渐近主方向)222 共轭于主方向X:Y,,3:4的主直径为:3x,4y，7,022 228、化简二次曲线2x+4xy+5y+16x+22y+29=0方程，并画出它的草图。 228,,22,,解:A=所以曲线是中心曲线. ,I,,6,025112,,25,,81129,, 2x，2y，8,0, 由解得中心为(,3,,1),2x，5y，11,0, ,x,x,3,22,,,,作移轴曲线方程化为 2x，4xy，5y,6,0,,y,y,1, a,a311122 由ctg2,,,,解得tg,,,或22a4212 1,,,,,,x,(x,2y),125,取 tg,2,cos,，sin,作转轴,,,,155,,,,,,y,(2x，y),5, 22,,,,xy22,,,,曲线方程进一步化简为: 6x，y,6,标准方程为:，,116(草图略) 注:此题也可用主直径作为新坐标轴作变换来化简方程. 229、化简二次曲线方程x+4xy+4y-20x+10y-50=0，并画出它的图形. 18 解析几何习题集参考解答 12,10,,12,10,,解:A=所以曲线是无心曲线. ,,,245,,245,,,105,50,, a,a311122 由ctg2,,,,解得tg,,,或22a4212 1,,,x,(x,2y),125,取 tg,2,cos,，sin,作转轴,,,,155,,,y,(2x，y),5, 2,,曲线方程化为 5x，105y,50,0 2,,配方得 5x，105(y,5),0 ,,,x,x,作移轴 ,,,,y,y，5, 2,,,,曲线方程进一步化简为: 5x，105y,0 2 (草图略) ,,,,,标准方程为:x,,25y 2210、化简二次曲线5x+8xy+5y-18x-18y+9=0方程，并画出它的草图. 54,9,,54,,解:A=所以曲线是中心曲线. ,I,,9,045,92,,45,,,9,99,, 5x，4y,9,0, 由解得中心为(1,1),4x，5y,9,0, ,x,x，1,22,,,,作移轴曲线方程化为 5x，8xy，5y,9,0,,y,y，1, a,a001122 由ctg2,,,0,2,,90即,,452a12 19 西南科技大学网络教育学院() 1,,,,,,x,(x,y),112, 取tg,1,cos,，sin,作转轴,,,,122,,,,,,y,(x，y),2, 22,,,,曲线方程进一步化为: 9x，y,9,0 22,,,,yx (草图略) ,标准方程为:，,119 11、化简二次曲线2xy-4x-2y+3=0方程，并画出它的草图. 01,2,,01,,解:A=所以曲线是中心曲线. ,I,,,1,010,12,,10,,,2,13,, y,2,0, 由解得中心为(1,2),x,1,0, ,x,x，1,,,作移轴曲线方程化为 2xy,1,0,,y,y，2, a,a001122 由ctg2,,,0,2,,90即,,452a12 1,,,,,,x,(x,y),112, 取tg,1,cos,，sin,作转轴,,,,122,,,,,,y,(x，y),2, 22,,,,曲线方程进一步化为: x,y,1,0 22,,,,yx (草图略) ,标准方程为:,,111 2212、设二次曲 x，xy,6y,x,8y,2,0与直线x,6y,2,0交于两点M、M，12 20 解析几何习题集参考解答 2求证:过原点的两条直线是二次曲线 OM、OM(x,y),2x，2y,112 的一对切线. 22证明: ？x，xy,6y,x,8y,2,0与x,6y,2,0的交点 1 为M(2,0)和M(0,,)123 ？直线OM、OM分别为ox轴和oy轴12 2又？ox轴与曲线(x,y),2x，2y,1交于重合的两点(1,0) 2 oy轴与曲线x,y,x，y,交于重合的两点()221(0,1) 2故:两直线是二次曲线的一对切线. OM、OM(x,y),2x，2y,112 21 西南科技大学网络教育学院()