【word】 带线性约束的线性模型中回归系数的平衡LS估计

【word】 带线性约束的线性模型中回归系数的平衡LS估计 带线性约束的线性模型中回归系数的平衡 LS估计 第44卷第4期 2011年12月 数学研究 JournalofMathematicalStudy V_01.44No.4 Dec.2011 带线性约束的线性模型中回归系数的 平衡Ls估计 曹明响潘根安 (合肥师范学院数学系,安徽合肥230061) 摘要基于平衡损失的思想和最小二乘统—理论,对带线性约束的—般线性模型提出了一种全面 度量估计优良性的标准.给出了此标准下模型中回归系数线性函数的约束广义平衡LS估计,并得 到了约束广义平衡LS估计唯—性的—个充分条件. 关键词线性模型;平衡损失函数;约束广义平衡LS估计 中图分类号O212.1文献标识码A 1引言 在线性模型的参数估计理论中,最小二乘估计法占有非常重要的地位.对于线性 模型 Y=+e,Ee=0,Cov(e)=0-2(1) 其中y为n维随机观测向量,为佗×P已知列满秩阵,V0为已知阵,0->O和 ?Rp均为未知参数.对模型(1),当V=I时,Zellner在[1】中提出了平衡损失函数 w(Y—Xd)(Y—Xd)+(1一伽)(d—)’S(d—p),(2) 其中W?[0,l】和S>0已知.(2)式既考虑了估计的精度,又考虑了模型拟合的优度, 所以,它是一个更全面更合理的标准.在平衡损失函数下研究线性模型的参数估计 已有一些结果,如Chungetal[引,Deyetal[31,Gruber[引,徐f5】及Cao[6].基于Zellner平衡 损失的思想,罗汉在[7】中给出了模型(1)中回归系数的平衡最小二乘估计(BLS估计) 的定义,并讨论了BLS估计的优良性.但是在实际情况中,设计阵不一定列满秩,当 rank(X)P时,回归系数不可估.邱红兵在[8】中对模型(1)在)()的限制 下,讨论了可估函数的广义平衡LS估计及其性质,这里()表示矩阵的列空间. 收稿日期:2010—03-03 基金项目:安徽省高校优秀青年人才基金项目(2009SQRZ154,2011SQRL127,2011SQRL126);安徽省高校省 级自然科学基金(KJ2010B165) 426数学研究2011盔 另一方面,参数可能受到某种约束. 考虑带有线性约束的一般线性模型 y=+e,日=0,Ee=0,Cov(e)=0.2 日是×P已知阵,rank(X)?P,其他记号与模型(1)相同. 2约束平衡Ls估计 在模型(3)中,当V0时,由最小二乘统一理论可知,对任意可估函数c,c 为其唯一的最佳线性无偏估计,其中满足 (y—)T+(y—p)=minHfl:o(r—x)T+(y—), 这里=+XUX,U0使得rank(T)=rank(ViX).基于平衡损失思想,我们给 出 下面的定义. 定义1对模型(3),若Y的线性函数满足 (y—)+(y—xaH)+(1一w)(LY—)S(LY—) = 爿 m d i : n u w(Y—)+(y—)+(1一w)(LY—)S(LY—), 则称为的一个关于S的约束广义平衡LS解,其中0<<1,S?0已知,LY是 的一个估计. 为了求出约束广义平衡LSE,我们使用Lagrange乘数法.令 Q(,)=叫(y—x5)+(y—xz)+(1一w)(LY—xz)S(LY—xz)+2A日, 其中为Lagrange乘数.求Q(Z,)偏导数并令其等于零,得方程组 - 2w’T+Y+2w+一2(1一伽)y+2(1一)+2?=0,(4) : HE_0.(5)a., 将方程组重新写为 (善)()=(y), 其中B=wT++(1一)sjA:wT++(1一w)SL. 引理1[.】(镶边矩阵的广义逆)设p?0,M?R.,则有 ()一=(F一一FQ-一MM’FQ一-MF—QF一-QM一’o-), 其中F:W+MM,Q:MF—M. 第4期曹明响等:带线性约束的线性模型中回归系数的平衡LS估计 427 r口n后 (善):r口礼(善y)恒成立. 证明显然可以假定H的各行线性无关,又因初等变换不改变矩阵的秩, H的各行为正交的.则存在矩阵/-/1使得D=(日,)为正交阵.于是有 )(善?=(. (6) 故可设 D;)(善xy)({;)=(.X日’B.X,...X’AYo). rn佗七 (喜=rank(善y),c7 其中=.:c?,,,膏=日.=c,..记口=(X1BBX1差三主)= 由于Bx2?”T+X2?0,故(T+2)(B2).而且Ay?()= = (—F—HQ—H)F一[wzT++(1一”)SL]Y, 428数学研究2011芷 (ii)对一切满足Hfl=0的,都有 (y—XZH)T+(y—H)+(1一w)(LY—X)S(LY—xz.) (y—xz).T+(y—xz)+(1一w)(LY—)S(LY—x). (i)是易证的,下证().令L(f1)=w(y—xz)T+(y—xz)+(1一w)(LY—)S(LY—), 则有 L(Z)=(』)+(日一)XB(/一)+(XAY—X.B』)’(』一), 这里,B的含义与定义1中一致.由于满足(4),故(XAY—XB)(一)= H(flH一)=0,从而 三()=三(/)+(/一)XBX(ZH—)?(/), 且上式等号成立的充要条件是=B,由此可得XB=XJ石}此说明 满足(4).从而(ii)得证. 推论1一般地,可取U=.当H=0时,由定理1可得无约束的一般线性模型 中回归系数的广义平衡LS解为 = (XBX)一【tUXT++(1一w)XSL]Y. 若还有()(),可取U=0,此时回归系数的广义平衡LS解为 = XV+X+(1一叫)xs】一【wX.V++(1一叫)SL] 此与文献【8】中的结果一致. 在模型(3)中,当rank(X)=P时,回归系数是条件可估的,此时称为的 约束广义平衡Ls估计.当rank(X)<P时,回归系数不是条件可估的,对任意函数 c,若存在a,b使得c,=n+6日,则c条件可估的.我们称c为可估函数c 的约束广义平衡LS估计. 定理2在模型(3)中,若c,条件可估的,且(日)u(x),则c唯一. 证明我们只需证明c日与其中广义逆的选择无关即可.由于c=0X+b’H, = (I—F—HQ—H)F一T++(1一伽)SL]从而 c=(0+6日)(一F—HQ—H)F,[wX++(1一叫)SL]Y =ax(z—F一日Q一日)F一【wXT++(1一w)X’SL]Y +b(日F一一日F—H.Q一日F一)[T++(1一w)XsL]Y =a(,一F一’Q—日)F一[T++(1一)SL]Y :0F—T++(1一)S】y+0F—HQ一日F,【叫++(1一~)8ilY. 故下证F—及F—HQ一日F—均与其中的广义逆的选择无关.对于F—, 由于F?XBXwXT+X,因此()=(T+X)(BX)(F),这说 明XF—X与广义逆的选择无关.又由于(日)(),故XF—HQ一日F—X= XF+H(F+)一HF+X与广义逆(HF+日)一的选择无关.从而定理2证毕. 第4期曹明响等:带线性约束的线性模型中回归系数的平衡LS估计429 参考文献 Zellner.Bayesianandnon—Bayesianestimationusingbalancedlossfunctio n[M].In: Gupta,S.S.,Berger,J.O.(Eds.),StatisticalDecisionTheoryandRelatedTopic sV.Spring, 1994:377—390. Chung,Y.andKim,C.Simultaneousestimationofthemultivariatenormalmeanunder balancedlOSSfunction[J1.Commun.Statist—TheoryMeth,1997,26:1599 —1611. f31Dey’D.K.,Ghosh,M.andStrawderman,W.OnestimationwithbalancedlOSSfunctions[JI. Statist.Probab.Lett.,1999,45(2):97-101. f41Gruber,M.H.J.TheefficiencyofshrinkageestimatorswithrespecttoZellnerSbalanced lossfunction[J1.Commun.Statist—TheoryMeth,2004,33(2):235—249. [5]徐兴忠,吴启光.平衡损失下回归系数的线性容许估计【】.数学物 理, 2000,20(4): 468—473. [6】Cao,M..西 admissibilityforlinearestimatorsonregressioncoefficientsinageneralmul— tivariatelinearmodelunderbalancedlossfunction[J].J.Statist.Plann.Inference. 2009(139):3354—3360. 【7】罗汉,柏超.线性模型中参数的平衡Ls估计及其性质[湖南大学, 2006,33:122—124. [8I邱红兵,罗季.一般线性模型中参数的平衡广义Ls估计[华东师范 大学, 71. 2008,9(5):66— [9]王松桂.线性模型理论及其应用【M】.合肥:安徽教育出版 社,1987:12—15. BalancedLSEstimat.ionofRegressionCoefficientin LinearModelsWithRespecttoLinearConstraint CaoMingxiangPanGenan (DepartmentofMathematics,HefeiNormalUniversity,HeFei,AnHui,230061) AbstractBasedonthethoughtofbalancedloss,anewmeasuringstandardisproposedfor thelinearmodelwithrespecttolinearconstraint,underwhichtheconstrainedlybalancedLS estimationoflinearfunctionsofregressioncoefficientisderived.Andthesufficientcondition forthisestimationbeinguniqueisobtained. KeywordsLinearmodel;Balancedlossfunction;ConstrainedlybalancedLSestimation