比乘法更大的是乘方,比乘方更大的是什么？[策划]比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么,小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。a×b就表示b个a相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。a^b就表示b个a相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛B的运算符号;大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么,下面，有请今天的主角——超级幂——登场～很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把b个“a次方”重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题:a^a^a究竟应该等于(a^a)^a，还是a^(a^a),。我们不妨来算一算，不同算法得到的结果相差多远:(2^2)^2=4^2=162^(2^2)=2^4=16难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗,让我们换a=3试试:(3^3)^3=27^3=196833^(3^3)=3^27=7625597484987哇，这下可就差远了。可以想象，如果把“a次方”再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示b个a构成的指数塔，这种运算的威力会多大。1947年，数学家Goodstein发现，不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成0。但是，数列收敛到0的速度极其缓慢，以至于Goodstein需要处理一些连乘方也无法表达出来的大数。于是，Goodstein便正式提出了这种超越乘方的运算。他把b个指数a迭代的b结果记为a，也就是把b放在a的左上角。在国外的一些论坛上，有时也能看见a^^b的表示
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，便于在纯文本格式下的传播。不过，当时Goodstein并没有用超级幂(superexponentiation)一词，而是用的tetration一词。这是由前缀“四”(tetra-)和迭代(iteration)一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上，tetration比superexponentiation更常用一些。网上甚至有一个tetration论坛，论坛里活跃着一群热爱tetration的数学geek。超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人。在很小的数之间进3行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字。2等于2^(2^2)=16，45而2就等于2^(2^(2^2))=65536。那么，2等于多少呢,它应当等6100于2的65536次方，其结果是一个上万位的数。那2呢,100呢,大家自己去想象吧。我们能轻松定义出超级幂的概念，但为什么这个东西却如此“小众”呢,当然，超级幂缺乏很多加减乘除和乘方运算具有的性质，这是一个重要的原因;不过，我想应该还有一个最基本的原因吧——超级幂本身没有什么实用价值。重复对折纸张、增长率的叠加、赌博游戏中的翻番，它们都可以用乘方来描述。实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗,我想应该不会有吧。人类的想象力是无止境的。即使超级幂已经大到无法用言语描述的地步，大家还是会问，再把“a次超级幂”迭代b层(注意运算顺序仍是从最深那一层开始)，又会得到什么,是否就得到了第五级的运算呢,或许你马上就意识到了，这样扩展上去是没有尽头的，每一级运算迭代之后都能产生更高一级的运算。虽然此时脑子已经有点乱了，但是数学语言的严格性和理想性告诉我们，利用某种清晰的数学符号和递归法则，我们一定有办法定义出等级越来越高的运算来。Goodstein牛就牛在这儿。他定义了Goodstein记号G(n,a,b)，来表示a与b之间的第n级运算。当n=0时，
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G(0,a,b)=b+1。也就是说，第零级运算是一个一元运算——自然数的后继。当n=1时，规定边界值G(1,a,0)=a，并规定G(1,a,b)表示对G(1,a,0)的值进行上一级操作(后继操作)，并重复迭代b次，其结果也就是a加上b。?般地，有:G(n,a,b)=G(n-1,a,G(n,a,b-1))其中边界值为G(1,a,0)=aG(2,a,0)=0G(3,a,0)=1G(4,a,0)=1G(5,a,0)=1...这就形式化地给出了第n级运算的意思。类似的东西不止一次地被提出过。两年前给大家介绍过世界上最大的数，当时就用到了Knuth箭头记号。这也是一种表示大数的方法，其思想与Goodstein记号几乎完全一样。Ackermann函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用a[n]b来表示a与b之间的第n级运算，是我比较喜欢的一种符号。当然，有a[n]b，必然会有a[a[n]b]b，从而又会有a[a[a[n]b]b]b??没有最大的数，只有更大的数。人脑和数学是两个神奇的东西，没有什么数大到人脑想不出来，也没有什么数大到数学表示不出来。仅仅在脑中试想一下100[100]100，你的思想就已经超越了整个宇宙的大小了。
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