南京航空航天大学结构力学课后习题答案第2章

南京航空航天大学结构力学课后习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第2章 第二章 薄板的弯曲 (习题解答) 2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA为简支边，并作用有分布的 弯矩。BC边为固支边，OC边为简支边。AB边为自由边。 M 222,w,w,w解:OA边: w,0; M,,D(，u),,D,,Mx222x,0x,0,x,y,xx,0x,0 222www,,,w; MDuD OC边: ,0,,(，),,,0y222y,0y,0yxy,,,y,0y,0 w,w; BC边: ,0,0x,ax,x,a 22ww,,MDuAB边:,,(，),0 y22y,byx,,y,b 33M,ww,,yxQDu(，),,[，(2,)],0 y32x,yxy,,,y,by,b 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自由边， wmxy,在点B受向下的横向集中力P。试证可作为该薄板的解答，并确定常数m、 内力及边界处反力。 4w,mxy 解:满足平衡微分方程 ,w,q/D,0 22,w,ww, ,D，u0;(),0 OC边上: 22y,0,y,xy,0 22,w,wOA边上: 0;(),0w, ,D，u22x,0,x,yx,0 2233wwww,,,,AB边上: Du; Du,(，),0,[，(2,)],02232yxyxy,,,,,y,by,b 2233,w,w,w,wBC边上: ,D(，u),0; ,D[，(2,u)],02232xyxxy,,,,,x,ax,a 2,w在B点上: ,2D(1,u)(),,2D(1,u)m,,P,x,yx,a,y,b P ,m,2D(1,u) Pxy所以 w,2D(1,u) 2222,w,w,w,w;; M,,D(，u),0M,,D(，u),0xy2222,y,x,x,y 2,,wP,22Q,,D,w,0 ;; (1)Q,,D,w,0,,,,,MDuxyxy,x,y2,,xy 2,wR,,2D(1,u)(),,P,R; R,P ACO,x,yA ACB2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为简支边，曲线边界为 22xyx2q=qwmx,，,(1)固支边，承受横向载荷。试证可作为解答，求出常数022aab ，最大挠度和点的弯矩。 m 442222xyxyxy解: wmx,，，,,，(2221)442222ababab 4,wmx,12044,xa 4,wmx (1) ,2444,yb 4,wmx248,2222,,xyab将(1)式代入薄板的挠度方程 4 Dwq,,即 xxx4DwmD,,，，(1204824)4224aabb x,,qq0a xq0am,52124()D，，4224aabb 3qa0,24aa24(52)D，，24bb 322qaxxy20w,，,(1) 2422aaab24(52)D，，24bb 求最大挠度: 根据对称性可知最大挠度必在上，代入下式 y,0 442222,wxyxyxy5,，，,,，,m(6621)0442222,xababab 32,wyxyy4,，,,mx(44)04224,ybabb 则有 42,wxx5,,，,m(61)0 (2) y,042,xaa ,w 0,y,0,y由(2)式可解出 2a222 xxa,,,5即 5 xaxa,,及5 5显然在处使得取最大值为 xa,w5 512wma,,(1)max55 4 25qa0,24aa375(52)，，D24bb 根据公式弯矩 22,,ww (),MD,,，x22,,xy而 232,wxxyx20 ,，,m(1212)24222,xaaba 223,wxyxx1244 ,，,m()24222,ybabb由 2222,M60121212124xyyxx,,,，,，，,,Dm[]()0 42224222,xaabaaabb ,Mxyxyx[2424]0, ,,，,D224,yabb 3153,,,，，yxa0,()(),及对称性，可知在处 2222abab 204124，，3 MDm,,,,,,，,，()()()xx,,42222,,aabab，， 3153,其中。 ,，，a()(),,2222abab C而在点，即处的值为 Mxay,,,0x 2012,,MDm,,,()xC,,aa,, 2 ,qa0,24aa3(52)，，24bb 2-4 有一矩形薄板，边长为a和b。若其挠度函数为，求该w=Cxy(a-x)(b-y) 薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。 2222 解: ？w,Cxy(a,x)(b,y),Cabxy,Caxy,Cbxy，Cxy ,w22 ,Caby,Cay,2Cbxy，2Cxy; ,,x ,w22; ,Cabx,2Caxy,Cbx，2Cxy,y 22,w,w22,,2Cby，2Cy;; ,,2Cax，2Cx22,x,y 444,w,w,w,0,0;; ,4C4422,x,x,x,y 4 由 2，4C,q/Dq,8CD,w,q/D,, ,wx,0w,0,0 时:;不是固支边，是简支边 x,0,xx,0 2,w2(M),,D,2CD(y,by),M xx2x,0,xx,0 ,ww,0,0x,a时:;不是固支边，是简支边 x,a,xx,a 2,w(M),,D,2CDy(b,y),M xx2xa,,xx,a ,w,0w,0y,0时:;不是固支边，是简支边 y,0,yy,0 2,w (M),,D,2CDx(a,x),Myy2,0y,y,0y ,w时:;,0不是固支边，是简支边 w,0y,by,b,yy,b 2,w (M),,D,2CDx(a,x),Myy2,yb,y,yb 2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷P，试求最大挠 度。 解:具体求解过程参照教材。针对边长为a的四边简支正方形薄板PP 5255在板中点受横向载荷P。最大挠度为 4,,4Paw,,,max42222,Damn()，mn,,11 2,,41Pa,,,4222Dmn()，,mn,,11精度取决于取多小项。 mn,,1当取时，最大挠度为 2 wPaD,0.0103/max xy,,qq,sinsin2-6四边简支矩形薄板，边长为a和b，受横向分布载荷，0ab xy,,wm,sinsin试证挠度函数是该板的解。并求最大挠度、最大弯矩及其位ab 置。 xy,,wm,sinsin解:挠度函数满足四边简支的边界条件。即 ab 2,ww,,0,0在处， xxa,,0,2,x 2,w在处， yya,,0,w,,0,02,y 由于 44,,,,wxy,msinsin44,xaab 44,wxy,,, ,msinsin44ybab, 44,wxy,,,,msinsin2222,xyabab所以 121,,xy44,,，，wm()sinsin,4224aabbab qxy,,0,sinsinDab q12140,，，,, m()4224aabbD 4qa0m ,,4222,(1)abD，则挠度函数为 4qaxy,,0 w,sinsin4222(1)，abDab, 在处，挠度取得最大值 xayb,,/2,/2 4qa0w ,max4222,(1)abD，弯矩 2222,,wwxy,,,,()[]sinsinMDDm,,，,，,,x2222,,xyabab 2222,,wwxy,,,,()[]sinsinMDDm,,，,，,,y2222,,yxbaab 在处，弯矩取得最大值 xayb,,/2,/2 222422qaabqaba(1)(1)，，,,00 ()()MM,,xymaxmax222222222(1)(1)，，abbab,, 2-7 如图2-7，四边简支矩形薄板上作用有三角形分布载荷，即 试用双重三角级数方法求挠度函数。 pxyqxa(,),0 解:薄板弯曲的基本微分方程为 4 (1) Dwpxy,,(,)边界条件是 22在和处，xxawwx,,,,,,00,0 (2) 22在y和y处，,,,,,,00,0bwwy挠度用双重三角级数表示为 ,,mxny,, (3) ,sinsinwA,,mnab11mn,, Amn其中m和n是任意整数，为待定系数。显然,(3)式满足(2)式所述的全部边 界条件。 将(3)式代入(1)式，得 222,,,,mnmxny,,4sinsin(,)DAdxdypxy，,, (4) ,,,,mn22ababmn,,11,, A为了求出系数，必须先将(4)式右端的载荷展开成与左端同样的双重mn 三角级数形式 ,,mxny,, (5) (,)sinsin,pxyC,,mnab11mn,, ix,isinC先求出系数。将(5)式的左右两端都乘以，其中为任意正整数。然mna 后对x积分，积分限从0到a，并注意 a0()mi,,,,mxix sinsindx,,,ami2(),aa,0 得到 a,ixany,, (,)sinsin,pxydxC,in,2ab1,n0 ,jy再将上式两端都乘以sin，其中j也是任意正整数。然后对y积分，积分限b 从0到b，得到 baixjyab,, (,)sinsin,pxydxdyCij,,4ab00 mn和因为是任意整数，故可以改写为。所以从上式可得 ij和 ab4mxny,, (6) ,Cpxydxdy(,)sinsinmn,,abab00 )式代入(4)式，得 将(5 222,,,,mnmxny,,4DAdxdy，sinsin,,,,,mn22ababmn,,11,, ,,mxny,,,Csinsin,,mnabmn,,11 两个相同的级数要相等，必须使相应项的系数都相等，从而得 abmxny,,4(,)sinsinpxydxdy,,ab00A, (7) mn222,,mn4，Dab,,,22ab,,将pxyqxa(,),代入上式。 0 ababmxnymxny,,,,(,)sinsinsinsin, pxydxdyqxadxdy0,,,,abab0000 2b,b为奇数()n,nyb, sin[1cos]dyn,,,,n,,,bn,0,(n为偶数)0, abmxny,,sinsinqxadxdy0,,ab00 a2mxb,,,为奇数)sin(qxadxn0,an,0 (8) 2bq0=,为奇数)cos(amn,,2,mn,，1m,(1)2abq0,为奇数)(n2mn,将(8)式代入(7)式得到系数 m，1(1)8,q0 (9) A,mn222,,mn6,Dmn，,,22ab,,将(9)式代入(3)式得到挠度函数 m，1,,8q(1),mxny,,0w,sinsin ,,226mnDab,2mn,,11,3,5mn()，22ab2-8 已知圆形薄板的挠度方程为 4224 wCaarr,，,，，，[(5)2(3)(1)],,, 式中a是板的半径，C是常数。试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什么 样的载荷,并求出板的弯矩方程式。 解:因为挠度方程只是关于的函数，故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。 r 4224()[(5)2(3)(1)]wCaaaa,，,，，，,,,ra, 44 (1) ,，,,，Caa[(5)(61)],, ,0 dw33()[4(3)4(1)],,，，，,,Caara, (2) dr 3,,8Ca 2dw22()[4(3)12(1)],,，，，,,Caara,2 (3) dr 3,8Ca, 2dwdw,()[]MD,,，rra,2drrdr ,22 (4) ,,,DCaCa[88],a ,0 由(1)式、(4)式知道该挠度方程所对应的圆形薄板()0,()0wM,,rrarra,, 的边界条件为简支边。 轴对称圆形薄板弯曲的基本微分方程为 2dd12()，,wqD2drrdr 432，，dwdwdwdw211,，,，,qD ,,43223drrdrrdrrdr，， ,,，,CqD64(1),, ,,，qCD64(1), 圆板的弯矩表达式 2dwdw,,,，()MDr2 drrdr 22,，，,4(1)(3)()CDar,, 21dwdwMD,,，(),,2rdrdr 22，，,，，,，4(1)(3)(13))CDar,,,，，2-9 半径为a的圆形薄板，周边简支，在中心受集中载荷P，试求薄板的挠 度和内力。 解:根据轴对称圆形薄板弯曲的特点，设挠度表达式为 22 (1) wCrCrrCrC,，，，lnln1234 根据边界条件: r,0在处 dw,,,00C (2) 1dr dw,，，2ln2CrrCrCr223dr 1dw,，，2ln2CrCC 223rdr 2dw,，，2ln32CrCC2232dr 2dwudwMD,,，()r2drrdr ,,,,,，，，，，DCrCC[2(1)ln(3)2(1)]223 2 1ddwdwQD,,，()r2drdrrdr 4C2,,Dr P集中载荷P可化为分布载荷()b很小 ,2b 4CPP2,,, (3) DC2,,bbD28将(2)式、(3)式代入(1)式得 2Pr2,，， (4) wrCrCln34,8D在r=a处 wM,,0()0rarra,, 即 2Pa2，，,ln0aCaC (5) 34,8D 2(1)ln(3)2(1)0CaCC，，，，，,,,, (6) 223 联立(3)、(5)、(6)式，解得 PaPln(3)，,C,,,3816(1)DD，,,, (7) 2Pa(3)，,C,416(1)D，,,将(7)代入(4)，得到薄板挠度函数表达式 Pr3，,222 wrar,，,[2ln()]161Da，,,薄板的内力 P,,Qr2,r Pa (1)ln,，M,r4r, Pa[(1)ln(1)],，，,M,,,4r, 2-10 半径为a的圆形薄板，周边固定，沿半径r=b(b