一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法
课题: 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 目标:
1(巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法;
2(培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力;
3(激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。
重点:简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。
难点:正确串根。
过程:
一、复习引入
1(一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
2(一元二次不等式的解法步骤。
引言:今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。
二、新课
? 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法
(x，4)(x,1),0例1 解不等式.
分析一:利用前节的方法求解;
分析二:由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必
x,1,0x,1,0,,须异号，?原不等式的解集是下面两个不等式组:与的解集,,x，4,0x，4,0,,
x,1,0x,1,0,,的并集，即{x|}?}=φ?{x|-4
表
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示出来即可求出不等式的解集.
解:?求根:令(x-1)(x+4)=0，解得x(从小到大排列)分别为-4，1，这两
根将x轴分为三部分:(-，-4)(-4，1)(1，+); ,,
?分析这三部分中原不等式左边各因式的符号
(-，-4) (-4，1) (1，+) ,,
x+4 - + +
x-1 - - +
(x-1)(x+4) + - + ?由上表可知，原不等式的解集是{x|-40;
解:?检查各因式中x的符号均正;
?求得相应方程的根为:-2，1，3;
?列表如下:
-2 1 3
x+2 - + + +
x-1 - - + +
x-3 - - - +
- + - + 各因式积
?由上表可知，原不等式的解集为:{x|-23}.
小结:此法叫列表法，解题步骤是:
?将不等式化为(x-x)(x-x)„(x-x)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”)，令12n
(x-x)(x-x)„(x-x)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把(实数)数12n
轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分„„;
?按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列);
?计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号;
?看下面积的符号写出不等式的解集.
练习
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:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”;12n
(为了统一方便)
?求根，并在数轴上表示出来;
?由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么,);
?若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
注意:奇穿偶不穿
23例3 解不等式:(x-2)(x-3)(x+1)<0.
解:?检查各因式中x的符号均正;
?求得相应方程的根为:-1，2，3(注意:2是二重根，3是三重根);
?在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始)，如下图:
??原不等式的解集为:{x|-1
答案
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:1.?{x|-5-1/2};2.{x|-13
总结
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的规律作;?注意边界点(数轴上表示时是“0”还是“.”).
f(x)f(x)2(分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为>0(或<0)的形g(x)g(x)
f(x)g(x),0f(x)g(x),0,,式，转化为:，即转化 (或),,g(x),0g(x),0,,
为一次、二次或特殊高次不等式形式 .
3(一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之
为有理不等式.
4(注意必要的讨论.
5(一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 四、布置作业
五、思考题:
21( 解关于x的不等式:(x-x+12)(x+a)<0.
2解:?将二次项系数化“+”为:(x-x-12)(x+a)>0，
?相应方程的根为:-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解,
?讨论:
?当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为{x| -3-a}.
?当-3<-a<4，即-44}.
?当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为{x| -a4}.
0?当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为{x| x>-3}.
?当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下:
?原不等式的解集为{x| x>4}.
22x，2kx，k2(若不等式,1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提24x，6x，3
2示:4x+6x+3恒正)(答:1
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