[整理]高中数学说题

[整理]高中数学说题 高中数学说题 “教师说题”是近年来新兴的一项教研活动。概括地说:“说题”是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律。说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合。开展说题活动能促进教师加强对试题的研究，从而把握考题的趋势与方向，用以指导课堂教学，提高课堂教学的针对性和有效性。 “说题”不同于以往的“说课”，从“说课”到“说题”，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，让你有种一步跨进课的最深处的感觉，是教研活动的极大的进步。 一、“说题”要注重“题”的选择 美国数学家哈尔斯说:“问题是数学的心脏”。没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好的问题去引领学生的学，就没有数学课堂的精彩。教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实学生学的“有效”。说题的内涵不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”。因此，说题中的“题”更要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”。 二、“说题”之“五说” 教师说题不能仅停留在“从解题角度说题”这种浅表的意义上，要从“构建主义的教学观点上看说题”。我个人认为，应从这样的五个方面进行“说题”。即一说“题目立意”、二说“试题解法”、三说“数学思想方法”、四说“背景来源”、五说“拓展引申”。 说 题 稿 东北育才学校 王成栋 问题出处:2011年高考数学辽宁理科第21题 2已知函数( f(x),lnx,ax，(2,a)x (I)讨论f(x)的单调性; 111a,0(II)设，证明:当时，; 0,x,f(，x),f(,x)aaa A、BABy,f(x)(III)若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为x，证明:x0 '( f(x),00 说题目立意 (1)考查求导公式(包括形如f(ax，b)的复合函数求导)及导数运算法则; (2)考查对数的运算性质; (3)导数法判断函数的单调性; (4)考查用构造函数的方法证明不等式; (5)考查分类讨论、数形结合、转化划归思想。 说解法 (?)解:的定义域为， (解决函数问题，定义域优先的原则)f(x)(0,，,) 1(21)(1)xax，, (常见函数的导数公式及导数的四则运算),fxaxa()2(2).,,，,,,xx '(?)若则，所以在单调递增; a,0,f(x)(0,，,)f(x),0 1'(?)若则由得， x,a,0,f(x),0a 11''当时，，当时，(导数法研究函数单调性，涉x,(0,)x,(,，,)f(x),0f(x),0aa 及分类讨论的思想) 11单调递增，在单调递减. (,)，,fx()(0,)在？aa a,0综上，当时，在单调递增; f(x)(0,，,) 11a,0 当时，单调递增，在单调递减. (,)，,fx()(0,)在aa 归纳小结:本小问属导数中常规问题，易错点有二:易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。 (II)分析:函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造 11的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“”的不等式叫二元的不等f(，x),f(,x)aa 式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。 解析:方法一:构建以为主元的函数 x 11设函数gxfxfx()()(),,，,, (构造函数体现划归的思想)aa 则，(这是本题的难点，很多学生不知要吧朝何方g(x),ln(1，ax),ln(1,ax),2axg(x) 象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有 利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复 合函数求导，只需掌握型。)f(ax，b) 32aa2ax'g(x),，,2a, (型的复合函数求导)f(ax，b)221，ax1,ax1,ax 1,0,()0,(0)0,()0,,,,,xgxggx时而所以当. a 1110,,x时fxfx()().，,,故当， aaa 方法二:构建以a为主元的函数 11g(a),f(，x),f(,x)设函数，则 aa g(a),ln(1，ax),ln(1,ax),2ax 32xx2xa'g(a),，,2x, 221，ax1,ax1,ax 110,a,由，解得 0,x,xa 1'当时，，而，所以 0,a,g(0),0g(a),0g(a),0x 111故当， 0,a,fxfx()().，,,xaa 归纳小结:无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。 x，x1'12(?)分析:判断的正负，由(?)中单调性，可知，即确定与的大小f(x)0a2 22关系，又可等效成判断与的大小关系，根据(?)中不等式可确定f(,x)与,xx112aa 的大小关系，结合(?)中单调性，问题迎刃而解。 f(x)f(x)2 解:由(I)可得，当的图像与x轴至多有一个交点，ayfx,,0,()时函数 11a,0故，从而的最大值为 ff(),()0.且,fx()aa 1不妨设 (结合图象分析更方便)AxBxxxxx(,0),(,0),0,0.,,,,,则121212a 211f(,x),f(，,x),f(x),f(x)由(II)得 (注意前后两问的衔接)1112aaa 1又在(,)，,单调递减 f(x)a xx，2112xxx,,,,,.于是所以 (利用函数性质脱掉函数符号)210aa2 ,由(I)知， fx()0.,0 归纳小结:本小问解决主要是建立在第(?)(II)问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。 说数学思想方法 数学思想:(1)分类讨论思想 (2)转化划归思想 (3)数形结合思想 数学方法 :(1)导数法确定函数单调性 (2)构造函数法证明不等式 说试题背景来源 我认为，2011年辽宁省高考数学理科21题的题源与命题思想有两处:一方面来源于09、10年辽宁省高考数学理科第21题，另一方面来源于10年天津高考数学理科21题，首先将11年辽宁省理科21题与09、10年辽宁理科21题对比分析: 2009——2011年，辽宁省理科数学第21题，均考查函数、导数、不等式的综合试题，从这三道试题来看，不难看出辽宁省高考数学命题在命题思路上继承与创新。 首先从题干上分析: 12fxxaxaxa()(1)ln,1,,，,,09年辽宁省理科21题题干: 2 210年辽宁省理科21题题干: f(x),(a，1)lnx，ax，1 211年辽宁省理科21题题干: f(x),lnx,ax，(2,a)x lnx这三年都以型出现，其中为对数的形式，为二次函f(x),g(x)，h(x)g(x)h(x)数型。略有不同的的是参数出现的位置稍有不同。 a 另外，从问题的初始问来看，均考查含参数的单调性的讨论，应该说，这是课改后辽宁高考数学在这类试题上命题思路上的延续与继承。 从这三年的最后一问来看， fxfx()(),12a,509年(II)证明:若，则对于任意有xxxx,(0,),,,，,,,,11212xx,12 a,,110年(II)设.如果对任意，，求的x,x,(0,，,)|f(x),f(x),4|x,x|a121212取值范围. A、B11年(II)若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证ABy,f(x)xx0 '明:( f(x),00 09年与10年问题本质相同，都是割线斜率或斜率的绝对值大于或大于等于某一常数(就是函数在某点处的导数)，稍有不等同的只是问题形式，09年是不等式证明题，10年为不等式恒成立问题。11年在09年、10年基础之上有所创新与发展，将割线斜率变成了导数小于 '0AB，其实中的“0”在本题中仍为割线斜率，即曲线的割线的斜率为0，由此f(x),00 我们不难看出，出题人的命题思想与意图。 另外，我们再来研究10年天津高考数学理科21题 ,x( 已知函数fxxexR()(),, (?) 求函数的单调区间和极值; f(x) x,1x,1(?)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称(证明当y,g(x)y,f(x) 时，; f(x),g(x) (?)如果且证明( xx,,fxfx()(),,xx，,2121212 与辽宁试题相比较，不同之处在函数种类不同，问题的实质及解法完全相同。 一般来说，高考试题来源可能有四个方面:一教材试题，二经典试题的改编，三往年高考试题的改编，四竞赛或高等数学试题的下放。通过以上两个方面对试题来源的分析，我们有充分的利由认为11年辽宁省试题来源于往年高考试题的改编。 题目的几何背景: 任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景 ,x2无论是函数还是其实都是先减后增f(x),xef(x),lnx,ax，(a,2)x(a,0) x的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在f(x)、g(x)的指定的某一范围下，两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第(II)问。 y,mx,xxf(x)由于为单峰函数，图像关于直线(为函数的极值点)不对称，导致直线00 A、B(或轴)与曲线相交时，交点到直线的距离不等，进而出现重点在ABMx,xx0 的右侧，也就出现试题中的第(III)问。 x,x0 说问题变式与拓展 对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。 2问题变式一:已知函数( f(x),lnx,ax，(2,a)x A、B(III)若函数的图像与直线交于两点，线段中点的横坐标为，ABy,my,f(x)x0 证明: '( f(x),00 编题意图:将特殊直线(或轴)变成一般的直线，体现从特殊到一般。y,mxy,0 2问题变式二:已知函数， f(x),lnx,ax,bx(a,0) (III)若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明:xxyfx,()0 ( fx'()0,0 编题意图:要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。 lnxf(x),问题变式三:已知函数 x (1)求的单调区间; f(x) (2)求证:0,x,e,f(e，x),f(e,x) AB(3)设图象与直线的两交点分别为，中点横坐标为y,mA(x,f(x)、B(x,f(x)1122'证明: x,f(x),000 编题意图:跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。 2问题变式四:已知函数，若函数的图象与轴交于两点、Ax(,0)xf(x),2lnx,x,ax1 '，且.若正常数pq,满足.求证:.Bx(,0)0,,xxpqqp，,,1,f(px，qx),021212 编题意图:将中点变成任意分点，来改编试题。