第七讲 容斥原理

第七课时 容斥原理 教学内容：容斥原理 教学目的：理解掌握容斥原理,并会根据容斥原理解决简单问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 教学重点：掌握容斥原理,并会根据容斥原理解决简单问题 教学难点：理解容斥原理 教学时数：2 教学方法：讲解、讨论、练习 教学过程： 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 容斥原理（1） 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 例1 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和。 试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种，已知家中有空调的有41人，有电脑的有34人，二者都有的有27人，这个班有学生多少人？（并说一说你的想法。） 容斥原理（2） 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 例2某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？ 分析：仿照例1的分析，你能先说一说吗？ 例3在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。现在我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。 例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？ 分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。 例6 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。 若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题 例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。 　　（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题） 　　讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）； 　　能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）； 　　同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。 　　所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）： 　　200＋142—28=314（个）； 　　不能被5或7整除的数一共有 　　1000—314=686（个）。 　　例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表： 　　 　　求这个班的学生人数。 　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题） 　　讲析：如图5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。 　　 　　只有篮球一项达到优秀的有 　　15—6—5+2=6（人）； 　　只有游泳一项达到优秀的有 　　18—6—6+2=8（人）； 　　只有短跑一项达到优秀的有 　　17—6—5＋2=8（人）。 　　获得两项或者三项优秀的有 　　6＋6+5—2×2=13（人）。 　　另有4人一项都没获优秀。 　　所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 练习： 练习： 1、某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人? 【分析与解】 数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人．所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人． 2、50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名? 【分析与解】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数． 1～50之间，4的倍数有 =12,6的倍数有 =8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有 =4． 于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师． 3、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔； （2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔； （3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖1支铅笔． 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 分析：1～100，2的倍数有 =50，3的倍数有 =33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有 =16个．于是，既不是2的倍数，又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支. 4、东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 【分析与解】 将东河小学分成3个部分，六年级、五年级、其他年级，那么有五年级和其他年级共作画16幅，六年级和其他年级共作画15幅．而五、六年级共作画25幅，所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅． 5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段? 【分析与解】 只需先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数． 从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号． 有1～180，3的倍数有 =60个，4的倍数有 =45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有 =15个． 注意到180厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成89+1=90段