海伦与海伦三角形
( )大连教育学院 116021 孙宏安
提起希腊数学家海伦 , 人们就会立刻想到那 是海伦三角形 , 勾股数组一定是海伦三数组. 进
个由三边求三角形面积的海伦公式而 , 用两个毕达哥拉斯三角形可以拼成一个斜的
海 伦 三 角 形 . 印 度 数 学 家 婆 罗 摩 笈 多 ( ) ( )) ( p p - ap - bp - cS =
() Brahmagupta , 约 598 - 约 660对此做过深入的研 S 是三角形面积 , a 、b 、c 为三边之长 , p 是半 其中
究 . 图示两种拼法1 ( ) 周长 , 即 p = a + b + c10 —11 世纪的. 但据 2
() 一位阿拉伯学者比鲁尼 AbūRay hān al - Birūni( 所述 , 这一公式是阿基米德 Archimedes , 公元前
) 287 —前 212最先得出的 , 这一点现在得到公认.
但是这一公式确实是由于海伦的工作而流传下来 () 左图 为 25 , 39 , 56为 边 , S = 420 ; 右 图 为 的 . 因而称为海伦公式似乎也是可以的. () 13 , 14 , 15, S = 84 , 即海伦举的例子.( ) 海伦 Hero 或 Heron是 希 腊 亚 历 山 大 后 期 ( ) 考察 13 , 14 , 15这一海伦三数组 , 就会发现 :( ) 从公元前 30 年到公元 600 年的著名数学家 , 他 它们是连续的自然数. 如果限于在此条件下构造 的生卒年代甚至生平事迹都没有留下记载. 人们 海伦三角形 , 即寻找作为连续自然数的海伦三数 确知的只是他在公元 62 年前后活跃在当时的希 组 . 结果如何呢 ?腊学术中心 ———亚历山大 [ 位于现在埃及尼罗河 不妨设 a = 2 x - 1 , b = 2 x , c = 2 x + 1 , 则有() 口附近的亚历山大 Alexandria. 这一年代是根 2 ( ) p = 3 x , 于是 S = 3 x- 1. 要使 S 为整数 , 根 据他的一部著作《测量仪器》描述他对一次月食2 2 ( 号下为完全平方数 , 即 x- 1 要具有 3 yy 为整 的观测 ———他提出 , 在两个不同的地方观测同一
) 数的形式. 于是问题归结求不定方程 次月食 , 就可推出这两地的时差 , 从而算出两地的 2 2 x- 3 y= 1 距离 ———所提出的数据推算出来的. 他记载观测
的正整数解. 这是有名的“佩尔方程”.了一次春分前 10 天凌晨的月食 ,
书
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中没有记年. 2 2 ( ) x- A y= 1 A 为非完全平方的正整数的一 现代算出 , 这样的一次月食发生在公元 62 年 . 由
个特例. 此准确地确定了海伦活动的年代.
( 法国 数 学 家 拉 格 朗 日 J 1L1Lagrange , 1736 -关于海伦公式的论述包含在他的著作《度量
) 1813对 A = 3 的情形给出的解法 , 由此得出了三 论》中 , 在书中他完全用文字叙述了这一公式和
边是连续自然数的所有的海伦三角形 , 其中最小 它的一个证明 .
( ) ( ) () 的 六 个 是 : 3 , 4 , 5, 13 , 14 , 15, 51 , 52 , 53,海伦公式带有根号 , 因此对许多三角形来说 ,
(( ) () 2701 , 2702 , 193 , 194 , 195, 723 , 724 , 725, 虽然边长都是整数 , 面积一般却是无理数. 在《度
) 2703. 量论》一书中 , 海伦举出一个奇妙的例子 ———边
海伦留下了大量学术著作 , 除《度量论》外 , 长和面积都是整数 , 那就是 a = 13 , b = 14 , c =
还有《测量仪器》《、气体力学》《、自动舞台》《、武器 15 , S = 21 8? 7? 6 ? = 84. 制造法》《、定义》《、几何》《、测量》等等. 人们认为 后来人们称边和面积都是整 数 的 三 角 形 为
海伦的特点是多才多艺 , 善于博采众长 . 他在著作 ( ) “海伦三角形 Heroni sche Dreiecke”, 这种三角形 中大量引用前人的成果 , 如经常提到阿基米德 、欧 ( ) 的三边为“海伦三数组 Heronion triple”. 一个自 ( ) ( ) 多克索斯 Eudoxus、柏拉图 Plato、埃拉托塞尼 然的问题显然是 :如何构造海伦三角形呢 ? ( ) Erato sthenes等 , 但在纯数学理论方面没有多大 海伦三角形肯定是存在的 , 因为三边长都为 的推进 , 在论证时也不十分讲究传统的严格性 , 而( )
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