时间安排
第 7 次课，
章节
名称
§8( 1 多元函数的基本概念
教学目的
1.了解平面点集的有关概念，理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限。
教学重点与
难点
教学重点：二元函数的极限概念；
教学难点：二元函数的极限概念
教
学
内
容
与
过
程
设
计
教
学
内
容
与
过
程
设
计
一、平面点集
1．平面点集
· 平面点集: 坐标平面上具有某种性质P的点的集合(记作
E({(x( y)| (x( y)具有性质P}(
例如( 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C({(x( y)| x2(y2(r2}(
如果我们以点P
表
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示(x( y)( 以|OP|表示点P到原点O的距离( 那么集合C可表成
C({P| |OP|(r}(
· 邻域(
设P0(x0( y0)是xOy平面上的一个点( (是某一正数( 与点P0(x0( y0)距离小于(的点P (x( y)的全体( 称为点P0的(邻域( 记为U (P0( (( 即
或
(
邻域的几何意义( U (P0( ()表示xOy平面上以点P0(x0( y0)为中心、( >0为半径的圆的内部的点P (x( y)的全体(
点P0的去心(邻域( 记作
( 即
(
注( 如果不需要强调邻域的半径(( 则用U (P0)表示点P0的某个邻域( 点P0的去心邻域记作
(
· 点与点集之间的关系(
任意一点P(R2与任意一个点集E(R2之间必有以下三种关系中的一种(
(1)内点( 如果存在点P的某一邻域U(P)( 使得U(P)(E( 则称P为E的内点(
(2)外点( 如果存在点P的某个邻域U(P)( 使得U(P)(E((( 则称P为E的外点(
(3)边界点( 如果点P的任一邻域内既有属于E的点( 也有不属于E的点( 则称P点为E的边点(
E的边界点的全体( 称为E的边界( 记作(E(
E的内点必属于E( E的外点必定不属于E( 而E的边界点可能属于E( 也可能不属于E (
开集( 如果点集E 的点都是内点( 则称E为开集(
闭集( 如果点集的余集E c为开集( 则称E为闭集(
开集的例子( E({(x( y)|1
0}(无界开区域)(
函数z(arcsin(x2(y2)的定义域为{(x( y)|x2(y2(1}(有界闭区域)(
二元函数的图形( 点集{(x( y( z)|z(f(x( y)( (x( y)(D}称为二元函数z(f(x( y)的图形( 二元函数的图形是一张曲面(
例如 z(ax(by(c是一张平面( 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面(
三( 二元函数的极限
定义2
设二元函数f(P)(f(x( y)的定义域为D( P0(x0( y0)是D的聚点( 如果存在常数A( 对于任意给定的正数总存在正数(( 使得当
时( 都有
|f(P)(A|(|f(x( y)(A|((
成立( 则称常数A为函数f(x( y)当(x( y)((x0( y0)时的极限( 记为
( 或f(x( y)(A ((x( y)((x0( y0))(
也记作
或f(P)(A(P(P0)(
上述定义的极限也称为二重极限(
例1. 设
( 求证
(
证 因为
(
可见( >0( 取
( 则当
(
即
时( 总有
|f(x( y)(0|(((
因此
(
必须注意(
(1)二重极限存在( 是指P以任何方式趋于P0时( 函数都无限接近于A(
(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时( 函数趋于不同的值( 则函数的极限不存在(
讨论(
函数
在点(0( 0)有无极限？
提示( 当点P(x( y)沿x轴趋于点(0( 0)时(
(
当点P(x( y)沿y轴趋于点(0( 0)时(
(
当点P (x( y)沿直线y(kx有
(
因此( 函数f(x( y)在(0( 0)处无极限(
极限概念的推广( 多元函数的极限(
多元函数的极限运算法则( 与一元函数的情况类似(
例2 求
(
解(
EMBED Equation.3 (1(2(2(
例题选讲
例1求二元函数
的定义域.
例2已知函数
求
.
二元函数的极限
例3求极限
.
例4 求极限
例5求极限
.
例6 求极限
例7求
.
例8证明
不存在.
例9 证明
不存在.
教
学
后
记
*
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
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浙公网安备 33021202002483