随机利率下的生存年金组合精算现值模型

文章编号: 1001-4098( 2007) 07-0116-03 随机利率下的生存年金组合精算现值模型� 李长林1,陈　敏2 ,周　勇2 ( 1. 中国科学院研究生院 数学科学学院,北京　100049; 2. 中国科学院 数学与系统科学研究院, 北京　100080) 摘　要: 对随机利率做了相关分析,然后在假定市场上存在多种相互独立的随机投资利率的条件下,利用时间 序列得到一种推广的随机利率模型, 最后根据投资组合理论得出企业年金保险中多种生存年金组合的精算 现值模型。 关键词: 随机利率;投资组合; 生存年金组合 中图分类号: 　　　文献标识码: A 1　引言 企业年金保险是企业根据自身经济能力为本企业职 工建立的一种辅助性养老保险,其运作方式主要有两种: 待遇预定型和缴费预定型。国内外很多学者利用自回归方 法研究了企业生存年金精算现值问题。如 F rees 研究了可 逆 M A( 1)利率下生存年金精算现值[ 4] , Haberman 在企业 年金保险中得到了利息力满足稳定自回归 AR( 1)模型时 的生存年金精算现值模型[5]。Dhaene在 Haberman 基础上 进一步研究了利息力满足稳定自回归 AR( 2)模型时矩母 函数的性质, 得到生存年金的一阶矩和二阶矩[6]。国内学 者姚俭、高建伟等在研究生存年金时, 分别将 Vasicek 型、 AR( 1)型、MA( 1)型随机利率进行了一定的推广, 并得出 了相应条件下生存年金的精算现值模型。[2] 当市场上存在多种随机投资利率时 ,由于投资者的风 险偏好不同, 会对不同的生存年金偏好不一样, 此时可以 选择多种随机利率下的生存年金以得到生存年金组合, 根 据投资组合理论以达到风险与收益的最佳均衡。本文正是 基于此考虑, 进一步考虑了多种随机利率条件下的生存年 金组合精算现值模型,最后事实证明, 对投资者来说, 通 过选择多种不同的年金产品可以达到降低风险的目的, 同 时可以保证收益最佳; 对保险者来说,对解决养老金等年 金产品的稳定性具有重要理论指导意义和实际应用价值。 2　随机投资利率模型 引理1　当利率满足 Vasicek 模型时[ 7] , 即 �t+ n = �t + ( 1 - �n) ( - �t) + �n t= 1 �n- 1!t+ i, n = 1, 2, ⋯ ( 1) 其中, �t 代表 t年的利率, 0 < �< 1, = E [�t] , { !t} 是相互 独立的均值为 0、方差为 ∀2 的同正态分布序列, 即 !t ～ N ( 0, ∀2)。 令 #t = �1 + �2 + ⋯ + �t, 则有: E( #t) = 1 - �t 1 - ��1 + t - 1 - � t 1 - � var ( # t) = ∀2 t( 1 - �2 ) - ( 1 - �2t ) ( 1 - �2) 2 　　引理2　当利率满足 M A ( q)模型[2]时,即 �t = � + !t + ∃1!t- 1 + ∃2!t- 2 + ⋯ + ∃q!t- q ( 2) 其中, �t 代表 t年的利率, {!t } 是相互独立的均值为 0、方 差为 ∀2的同正态分布序列,即 !t ～ N ( 0, ∀2 ) 令 #t = �1 + �2 + ⋯ + �t, 则: E( #t) = E′t��E′t + E′tB 2!* var ( # t) = ∀2 �E′t � [B1( B1)′] �Et 其中 B1 = 1 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ∃1 1 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ∃2 ∃1 1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∃q ∃q- 1 ∃q- 2 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ ∃q ⋯ 1 T×T 第25卷第7期(总第163期)　　　　 　 　系　统　工　程 Vol. 25, No. 7 2007年7月　　　　　　　　　 　 　 　 Systems Engineering Jul. , 2007 � 收稿日期: 2006-10-22;修订日期: 2006-12-10作者简介:李长林( 1979-) ,男,湖北黄冈人,中国科学院数学科学学院博士研究生,研究方向:保险精算,金融统计。 B2 = ∃q ∃q- 1 ∃q- 2 ⋯ ∃1 0 ∃q ∃q- 1 ⋯ ∃2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ ∃q ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 T×q !* = ( !1- q , !2- q , ⋯, !0)′, E′t = ( 1, 1,⋯, 1, 0, 0, ⋯, 0)′, 表 示由 t个 1和 T - t个 0组成的列向量。 引理 3　当利率满足 AR( 1) 模型[ 8] 时,即 �t = �+ �(�t- 1 - �) + !t ( 3) 其中, �t代表 t年的利率, - 1 < �t < 1, {!t} 是相互独立的 均值为 0、方差为 ∀2的同正态分布序列, 即 !t ～ N ( 0, ∀2) , 则 E (�t ) = �+ (�0- �) �t, var (�t) = ∀2( 1- �2 ) - 1( 1- �2t)。 定理 1　假设利率会受到过去数年经济的影响,则可 将( 3) 推广为: �t = �+ �1(�t- 1 - �) + �2( �t- 2 - �) + ⋯ + �p (�t- p - �) + !t ( 4) 其中, �t代表 t年的利率, { !t} 是均值为 0、方差为 ∀2的同 正态分布序列。 令 # t = �1 + �2 + ⋯ + �t, 则 E( #t) = E′tA - 11 A 2�* var( #t) = ∀2E′t[ A - 11 ( A - 11 )′]Et 其中, E′t = ( 1, 1, ⋯, 1)′是 t个 1组成的单位列向量。 A 1 = 1 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 - �1 1 0 ⋯ 0 ⋯ 0 - �2 - �1 1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ - �p - �p- 1 - �p- 2 ⋯ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ - �p ⋯ 1 t×t A 2 = - �p - �p- 1 - �p- 2 ⋯ - �1 0 - �p - �p- 1 ⋯ - �2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ - �p ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 t×p �* = ( �1- p - �, �2- p - �, ⋯, �0 - �)′ 证明　设�t = (�t - �, �2 - �, ⋯, �t - �)′, !t = ( !1, !2 ,⋯, !t)′, E′t = ( 1, 1,⋯, 1)′是 t个 1 组成的列向量, 则 A 1 ��t + A 2 ��* = !t 因为 A 1为可逆矩阵, 所以 �t = A - 11 ( !t - A 2 ��* ) ,则 E (�t) = A - 11 A 2�* var (�t) = ∀2 ( A - 11 ( A - 11 )′) 故 E( #t) = E′tA - 11 A 2�* var ( # t) = ∀2E′t ( A - 11 ( A - 11 )′) Et 证毕 3　生存年金组合精算现值模型 根据前面的引理及定理,针对年末支付的缴费预定型 生存年金精算现值讨论。在此,只考虑三种推广后的随机 利率下的生存年金组合。 假设职工平均退休年龄为 r 岁, 平均死亡年龄为 w 岁。 定理 2　若随机投资利率分别满足式( 1)、式( 2) 和式 ( 4) , 则职工退休时在对应随机利率下 %i( i = 1, 2, 3) 单位 元的生存年金组合的精算现值为 E ( a-r ) = �&- r y= 1 %1 �exp - 1 - �t1 - ��′- t - 1 - �′1 - � 　+ ∀2( t( 1- �2) - ( 1- �2t) ) 2( 1- �2) 2 　+ %2�exp - E′t�Et - E′tB 2�* + ∀22 E′t(B1( B1)′) Et + %3�exp - E′tA - 11 A 2�** + ∀22 E′t( A - 11 ( A - 11 )′)Et tP r 证明　令 #t = �1+ �2 + ⋯ + �t, 因为时刻 t支付一 单位元的确定年金在时刻 0现值为V ( t) = ∏t j= 1 exp( - �j ) = exp( - #t) , 故利率满足( 1) 式时, E( V ( t) ) = exp - 1 - �t 1 - ��1 + t - 1 - � t 1 - � + ∀2( t( 1 - �2) - ( 1 - �2t) ) 2( 1 - �2) 2 利率满足( 2)式时, E( V ( t) ) = exp[ - E′t�Et- E′tB2�* + ∀22 E′t(B 1(B1)′)Et] 利率满足( 3)式时, E( V ( t) ) = exp - E′tA - 11 A 2�* + ∀22 E′t( A - 11 ( A - 11 )′)Et 则职工退休时在对应随机投资利率下 %i( i = 1, 2, 3) 单位 元的生存年金组合精算现值为 E ( ar ) = �&- r t= 1 %1 �exp - 1 - �′1 - ��′- t - 1 - � t 1 - � 　+ ∀2( t( 1- �2) - ( 1- �2t) ) 2( 1- �2) 2 　+ %2�exp - E′t�Et - E′tB 2�* + ∀22 E′t(B1( B1)′) Et + %3�exp - E′tA - 11 A 2�* * + ∀22 E′t( A - 11 ( A - 11 )′)Et tP r 证毕。 4　算例 某企业 2005 年为本企业职工办理企业年金保险 , 若 职工退休后每人每年年末得到 10000 元人民币养老金,假 设本企业 2005年退休的职工为 300人,职工 60岁退休,企 业投资利率模型分别满足: �t+ 2 = �t + ( 1 - �) 2( - �t ) + �2 i= 1 �!t+ i; �t = � + !t + ∃1!t- 1 + ∃2!t- 2; �t = � + �1 (�t- 1 - 117第 7期 　　　　　　　　　李长林, 陈敏等:随机利率下的生存年金组合精算现值模型 �) + �2( �t- 2 - �) + !; 其中, �t代表 t年的利率, { !t} 是均 值为 0、方差为∀2的同正态分布序列。并且 �= 0. 1, = 2; ∃1 = 0. 1,∃2 = 0. 2, �= 6; �1 = 0. 3, �2 = 0. 25; !- 1 = 0. 8, !- 2 = 0. 6, �- 1 = 0. 04, �- 2 = 0. 05。由于个人的风险偏好 不一样, 现假设参见保险的 300 人中各有 100 人按三种不 同的投资利率模型分别参加相应的企业生存年金保险, 计 算 2005 年退休的职工生存年金的精算现值。假定被保险 人服从中国人寿保险业经验生命表养老金业务男女表 CL6( 1990 ～ 1993) (见文[ 1] 附表 2. 6)。 解　根据引理2和定理1,利用 Matlab软件依次输入 相应的矩阵 A - 11 , A 2, B1, B2 , 容易计算出相应的 �* , �* * , ∀2; 另外, 根据生命表查得职工 60 岁退休到其死亡的时段 T = 21, 并得到相应的生存概率tP r ( t = 1, 2,⋯, 21)。设 E′t = ( 1, 1, ⋯, 1)′是 t 个 1组成的列向量。 根据定理 2,利用 Matlab首先计算每人投保额为一单 位元时的精算现值为 E( a r/ �t) = �21 t= 1 exp - 1 - �′ 1 - ��′- t - 1 - �′1 - � 　+ ∀2( t( 1 - �2 ) - ( 1 - �2t ) ) 2( 1 - �2) 2 　 + exp - E′t�Et - E′tB 2�* + ∀22 E′t( B1(B1)′)Et 　+ exp - E′t A - 11 A 2�** + ∀22 E′t( A - 11 ( A - 11 )′)Et 　tP r = 9. 817 则该企业共300职工投保额为10000元的精算现值: APV = 9. 817 × 100 × 10000 = 9817000(元) 5　结论 随着金融市场日趋完善, 企业年金的应用范围越来越 广, 对投资利率研究将成为研究热点。虽然很多学者对企 业年金产品做了很多的研究, 但是大部分都是从单一利率 的角度来考虑的,这显然与复杂多变的市场实际情况不 符。本文正是基于以上考虑,进一步研究了多种随机利率 条件下的生存年金组合精算现值模型。首先,在假定市场 上存在多种相互独立的随机投资利率的条件下,利用时间 序列得到推广后的利率模型, 然后根据投资组合理论得出 企业年金保险中多种生存年金组合的精算现值模型。本文 从实际情况出发,提出了随机利率条件下的生存年金组合 精算现值模型,从而得到了一种新的生存年金组合产品, 对投资者来说,通过选择多种不同的年金产品可以达到降 低风险的目的,同时可以保证收益最佳;对保险者来说,对 解决养老金等年金产品的稳定性具有重要理论指导意义 和实际应用价值。 参考文献: [ 1]　雷宇. 寿险精算学[ M ] .北京: 北京大学出版社, 1998 [ 2]　高建伟, 邱菀华. 利率模型为 MA( q)时的生存年金 精算现值模型 [ J ] . 系统 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 理论与实践, 2002, 22( 11) : 104～106. 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