1
第八章第八章 假设检验假设检验
一.假设检验的基本概念及思想
二.单正态总体参数的假设检验
三. 双正态总体均值差与方差比
的假设检验
一.假设检验的基本概念及思想
二.单正态总体参数的假设检验
三. 双正态总体均值差与方差比
的假设检验
，，， XX X ~
iid
n1 "
§1 基本概念
(一) 两类问题
1、参数假设检验
参数未知, 由观测值
x1, …, xn 检验假设
H0：θ=θ0；H1：θ≠θ0
2、非参数假设检验
总体分布未知, 由观测值x1, …, xn
检验假设H0：F(x)=F0(x;θ); H1：F(x)≠F0(x;θ)
Θ∈θθ ),;(~,, ..21 xFXXX
dii
n"
以样本(X1, …, Xn)出发制定一个法则, 一旦
观测值(x1, …, xn)确定后, 我们由这个法则就可
作出判断是拒绝H0还是接受H0, 这种法则称为H0对H1
的一个检验法则, 简称检验法。
样本观测值的全体组成样本空间S, 把S分成两
个互不相交的子集W和W*, 即S=W∪W*, W∩W*=φ
假设当(x1, …, xn) ∈W时, 我们就拒绝H0；当
(x1, …, xn) ∈W*时, 我们就接受H0。子集W⊂ S称
为检验的拒绝域(或临界域 )。
(二) 检验法则与拒绝域 (三) 检验的两类错误(p150)
称 H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；
称 H0假而被接受的错误为第二类错误或存伪错误。
记
p(Ⅰ)=p{拒绝H0| H0真};
P(II)=p{接受H0| H0假}
(四) 小概率事件原理（实际推断原理）
小概率事件在一次试验中是不可能发生的。
对于给定的一对H0和H1, 总可找出许多拒绝域,
人们自然希望找到这种拒绝域W, 使得犯两类错
误的概率都很小。
奈曼—皮尔逊 (Neyman—Pearson)提出了一个
原则：
“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值α的
条件下, 尽量使犯第二类错误的概率β小”按这
种法则做出的检验称为“显著性检验”, α称为
显著性水平或检验水平。
怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？
如: X1, …, Xn~N(μ , 1), 要检验
H0：μ=0；H1：μ=1
拒绝域可取 kX ≥ ?=⇒ k
根据奈曼—皮尔逊 原则：应选取k使“犯第一类
错误的概率不超过指定值α的条件下, 尽量使犯
第二类错误的概率小”这里
}0|{)( =≥= μkXPIP
)1,0(~0
n
NX时=μ
)(1 knΦ−= α≤
αzn
k 1≥⇒
（临界值）
2
而 }1|{)( =<= μkXPIIP
))1(( −Φ= kn
)1,1(~1
n
NX时=μ
P(II)关于k单调增加.所以为使P(II)小,k要尽可能小.
对比 αzn
k 1≥⇒α≤Φ−= )(1)( knIP
说明k最小只能取到 , 得水平为α的拒绝域
为：
αzn
1
}1{ αzn
X ≥
可见, 使P(I)≤α与又使P(II)尽可能小的k值恰好满
足P(I)=α.
一般地,符合奈曼—皮尔逊原则的拒绝域满足P(I)=α.
显著性检验的思想和步骤：
(1) 根据实际问题作出假设H0与H1；
(2) 构造统计量,在H0真时其分布已知；
(3) 给定显著性水平α的值,参考H1,令
P{拒绝H0|H0真}= α, 求出拒绝域W；
(4) 计算统计量的值, 若统计值∈W, 则拒绝
H0,否则接受H0
§2 单正态总体参数的假设检验
一、单总体均值的假设检验
。：；：检验假设，，值
，由观测给定检验水平，，，设
01001
2
1
),( ~
μμμμ
ασμ
≠= HHxx
NXX
n
iid
n
"
"
1、σ2已知的情形---Z检验（p152)
0
0 0, 1)
HX μ X μ Z ~ N(
σ n σ n
− −= =真
对于假设 H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0 , 构造
2 2
{ }P{ Z z } Z zα αα≥ = ≥由 可得拒绝域：
查表, 计算, 比较大小, 得出结论。
例1 根据以往的经验和资料分析，某砖厂所生产的砖
的抗断强度 X~N(μ, 1.21) ,今从该厂所生产的一批砖
中随机取六块，测得抗断强度（kg/cm2）如下：
32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03，
可否认为这批砖的平均抗断强度为32.5 （kg/cm2）？
（ α=0.05）
解：由题意，需检验： H0：μ=32.5；H1：μ≠32.5 ,
拒绝域为：{|Z|≥z0.025=1.96}
0
32.5 H : 0, 1)
1.1 6
X Z ~ N(−=下
这里
| 31.13 32.5 | 3.05 1.96
1.1 6
z −= = > 故拒绝H0。
说明：
(1) H0：μ=μ0；H1：μ≠ μ0 称为双边检验问题；
H0：μ=μ0；H1：μ > μ0(或μ< μ0), 称为单边检验问题；
(2) H0：μ≤μ0；H1：μ>μ0 或 H0：μ≥μ0；H1：u
μ0,
0
0 H : 0,1)
X μ Z ~ N(
σ n
−=下
{ }P{Z z } W Z zα αα≥ = = ≥由 可得拒绝域：
现考虑完备的右边检验问题
H0：μ≤μ0；H1：μ>μ0,
{ }W Z zα= ≥若取拒绝域为 则犯第一类错误的概率为
0
0{ | } { }
XP Z z P z
n
α α
μ μ μμ μ σ
− + −≥ ≤ = ≥
00 )1,0 H μμ ≤− ~N(nσ
μX 下
}{ 0
n
z
n
XP σ
μμ
σ
μ
α
−+≥−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −+Φ−=
n
z σ
μμ
α
01 )(1 αzΦ−≤ α≤
于是
0
0sup { | }P Z zαμ μ
μ μ α
≤
≥ ≤ =
{ }W Z zα= ≥
故
是 H0：μ≤μ0；H1：μ>μ0,
的水平为α的拒绝域。
例1：设某厂生产一种灯管, 寿命X ~ N(μ,2002), 由
以往经验知平均寿命μ=1500小时, 采用新工艺后,
在所生产的灯管中抽取25只, 测得平均寿命1675小时
, 若
标准
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差不变，问采用新工艺后, 灯管寿命是否有
显著提高。(α=0.05)
解: 1500:1500: 10 >= μμ HH
0
1500H 0, 1)
200 25
X Z ~ N(−=下
0.05 { 1.645}Z z≥ =拒绝域为：
这里
1675 1500 4.375 1.645
200 25
z −= = > 故拒绝H0。
左边检验问题
H0：μ=μ0；H1：μ<μ0, 或H0：μ≥μ0；H1：μ<μ0,
0
0 : 0,1)
X μ Z ~ N(
σ n
μ μ −= =时
P{Z z }α α≤ − =由
{ }Z zα≤ −
α
可得显著性水平为α的拒绝
域为：
例2 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服
从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳
量如下: 4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37. 如果标
准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?
(取 α=0.05)
解: 55.4:55.4: 10 <= μμ HH
0
4.55H : 0, 1)
0.11 5
X Z ~ N(−=下
0.05{ 1.645}Z z≤ − = −拒绝域为：
这里 4.364 4.55 3.78 1.645
0.11 5
z −= = − < − 故拒绝H0。
4
2、σ2未知的情形(p153)
双边检验: 对于假设
H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0
)1(~: 00 −−= ntnS
XTH μ下
由 p{|T|≥tα/2(n −1)} =α,
2
α
2
α
得水平为α的拒绝域为： {|T|≥tα/2(n−1)}
例3 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度,
重复测量7次，测得温度(℃): 112.0 113.4
111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精
确
办法
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测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电
阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正
态分布）,（α=0.05）
解: H0：μ=112.6；H1：μ≠112.6
)1(~: 00 −−= ntnS
XTH μ下
拒绝域为： {|T|≥t0.025(6)=2.4469}
这里 4469.2466.0|
7/135.1
6.1128.112||| <=−=t 故接受H0。
右边检验问题：
H0： μ=μ0 ；H1：μ >μ0 或 H0： μ≤μ0 ；H1：μ >μ0,
)1(~: 00 −−== ntnS
XT μμμ 时
由 p{T≥tα(n −1)} =α,
得水平为α的拒绝域为：
{ T≥tα(n−1) }
α
例4 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620
(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,
测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668,
10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666,
10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取α=0.05 ,问
新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的镍合
金线抗拉强度要高?
解: H0：μ=10620；H1：μ>10620
)1(~: 00 −−= ntnS
XTH μ下 拒绝域为：
{ T≥t0.05(9)=1.8331 }
这里
8331.145.0
10/81
106204.10631 <=−=t 故接受H0。
左边检验问题
H0： μ=μ0 ；H1：μ <μ0 或 H0： μ≥μ0 ；H1：μ <μ0,
)1(~: 00 −−== ntnS
XT μμμ 时
由 p{T≤ - tα(n −1)} =α,
得水平为α的拒绝域为：
{ T≤ - tα(n −1) } α
EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于
10620 (kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金
线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600 （kg/mm2),样
本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不
合格? (α=0.1)
解: H0：μ≥10620；H1：μ<10620
)9(~
10
10620:10620 t
S
XT −== 时μ
拒绝域为： { T ≤ - t0.1(9) =-1.383 }
这里 383.179.0
10/80
1062010600 −>−=−=t 故接受H0。
5
二、单正态总体方差的假设检验(p155)
2
0
2
1
2
0
2
0 σσσσ ≠= ：；： HH
。：；：
检验假设，，值
，由观测，给定检验水平，，，设
2
0
2
1
2
0
2
0
1
2
1
)(~
σσσσ
ασμ
≠= HH
xx
NXX
n
iid
n
"
"
假定μ未知,
)(n~χ
σ
)S(n-H 11 22
0
2
2
0 −=χ下
2
2
αχ2
21
αχ −
α})(nχ)(nχP =−≥−≤
−
]1[]1{[ 2
2
22
2
1
2
αα χχ ∪由
)}1({)}1({ 2 2/
22
2/1
2 −≥−≤ − nn αα χχχχ ∪
得水平为α的拒绝域为：
)}1({
)}1({
22
2
0
2
1
2
0
2
0
2
1
2
2
0
2
1
2
0
2
0
−≥
>=
−≤
<=
−
n
HH
n
HH
α
α
χχ
σσσσ
χχ
σσσσ
可解得拒绝域：
，：；：而对单边问题
；可解得拒绝域：
，：；：对于单边问题
例5 已知维尼纶纤度在正常情况下服从方差为0.0482
的正态分布，某日抽取五根纤维，测得其纤度为
1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，问这一天纤度的分
布的方差是否正常（ α=0.1）？
22
1
22
0 048.0048.0 ≠= σσ ：；： HH
)(n~χ)S(n-H 1
048.0
1 2
2
2
2
0 −=χ下
解：需检验：
拒绝域为： )}1({)}1({ 2 2/22 2/12 −≥−≤ − nn αα χχχχ ∪
这里：n=5, 488.9)4(,711.0)4( 2 05.02 95.0 == χχ
488.95.13
048.0
078.04
2
2
2 >=×=χ078.0=S
故拒绝H0。认为这天纤度的分布的方差不正常。
例6 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔
化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54,
55, 71. 问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的
方差小于等于80?(α=0.05 , 熔化时间为正态变量.)
8080 21
2
0 >≤ σσ ：；： HH
)9(
80
980 2
2
22 ~χS== χσ 时
拒绝域为:
这里
2
0
2
2 9
σ
S=χ
7.13
80
8.1219 =×=
接受H0
}919.16)9()9({ 2 05.0
22 ==≥ χχ αχ
解：
§3 双正态总体均值差与方差比的假设检验
一、均值差的假设检验(p157)
，，，，，，，设 )u(NYY);u(NXX 222
iid
n1
2
11
iid
n1 ~~ 21 σσ ""
2112101
1
HH ,
2
1
μμμμ
α
≠= ：；：检验假设，
；，，，由观测值水平两样本独立，给定检验
n
n
yy
xx
"
"
22
2
2
1 σσσ ==假定
)2(~
11
, 21
21
0 −++
−= nnt
nnS
YXTH
w
下
).2(
)}2({
212/
212/
−+≥
=−+≥
nntT
nntTp
α
α α，即得拒绝域由
)2( 21 −+≥ nntT α
而对应的单边问题
211210211210 :;::;: μμμμμμμμ >≤>= HHHH 或
拒绝域为
)2( 21 −+−≤ nntT α
211210211210 :;::;: μμμμμμμμ <≥<= HHHH 或
拒绝域为
6
例7 比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成
两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数
分别为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6,
4.6, 3.4;另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为
0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8,
0.0, 2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从
方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显
著性差异?(α=0.10)
解: 211210 :;: μμμμ ≠= HH
)18(~
101101
,0 tS
YXTH
w +
−=下
.7341.1)18(: 05.0 =≥ tT拒绝域
这里: 002.2,33.2 1 == sx 789.1,75.0 2 == sy
=+=
18
99 22
2
1 sssw 898.1
=+
−=
101101
||||
ws
yxt 86.1 7341.1>
拒绝H0 ,认为两种安眠药的疗效有显著性差异.
二、方差比的假设检验(p160)
，，，，，设 ),(NYY);,(NXX 222
iid
n1
2
11
iid
n1 ~~ 21 σμσμ ""
两样本独立, 给定检验水平 α, 由观测值
2
2
2
1
2
2
2
1
n1n1 21
yyxx
σ≠σσ=σ ：；：检验假设
，，；，，
10 H H
""
假定μ1, μ2未知
)11(~, 212
2
2
1
0 −−= nnFS
SFH ，真时
由p{F≤F1−α/2(n1−1, n2−1)
或F≥Fα/2(n1−1, n2−1)} = α
F1−α/2 Fα/2
得拒绝域
{ F≤F1−α/2(n1−1, n2−1) }
U
{ F≥Fα/2(n1−1, n2−1) }
而对应的单边问题
211210211210 :;::;: σσσσσσσσ >≤>= HHHH 或
拒绝域为: { F≥Fα(n1−1, n2−1) }
{ F≤F1−α(n1−1, n2−1) }
211210211210 :;::;: σσσσσσσσ <≥<= HHHH 或
拒绝域为
例8 有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产
品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):
甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.
乙: 19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.
假定甲,乙 两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,
乙两台机床加工的精度有无显著差?(α=0.05 )
解: 2221122210 H H σσσσ ≠= ：；：
)67(~, 2
2
2
1
0 ，真时 FS
SFH =
拒绝域为 { F≤F1−0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953 }
U { F≥F0.025(7, 6)=5.7 }
这里: )7.5,1953.0(51.0,397.0,204.0 2221 ∈≈== Fss
接受H0.
浙公网安备 33021202002483