矩形基础受垂直荷载作用下地基土中任意点的竖向附加应力系数计算公式

THEFORMULAF0R T=l EVERTlCALADDITIONALSTRESS Co唧 ClENrOF T】HE ARBITRARYPOINT0FTHEFOUND rIoNS0ILⅥ HⅡE T]}_IE REC11ANGULAR FOUND noNSUBJECTEDToTHEVE rICALLOAD 古学兴 广东中山地质 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 勘察院 【摘 要 】 矩形基础受垂直均布荷载作用下 ，地基土 中任一点的附加应 力虽然可以通过角点法和应力叠加原 理求得 ，但是除 了矩形角点下各点计算较容易外，其余的点计算均较繁琐 ；矩形基础受垂直三角形分布荷载 作用下 ，矩形基底面积垂直投影范围内地基土 中各点的附加应力虽然可以通过角点法和应力叠加原理求得 ，但 是除基底荷载分布为零的边的角点下各点计算较容易外，其 余的点计算都很繁琐 ，而矩形基底 面积外的点则 无法计算。本文通过推导得 出两个公式，借助 电脑 ，能很 容易地计算矩形基础受垂直荷载作 用下地基土 中任 意点的附加应 力系数，并通过计算对比，验证 了公式是正确的。 【关键词】 矩形基础 ；均布荷载 ；三角形分布荷载 ；竖向应 力系数 【Abstract]While the rectangular foundation is subjected to the vertical load．though the additional stress of the arbitrary point of the foundation soil can be calculated through the Angular—point Method and Principle of Superimposed Stress，the calculation iS complicated and minute except for those points at the axes which are vertically through the angular points of the rectangle．While the rectangular foundation is SUbjected to the vertical triangular distribution 1oad．though the additional stress of those points in the foundation soil Which are iust within the vertical projection space of the rectangular foundation can be calculated by the Angular-point Method and Principle of Superimposed Stress，the calculation is alSO complicated and minute except for those points at the axes which are through the angular points crossed by the foundation load with zero stress distribution．and the additional stress of those points outside the rectangular foundation area and its vertical projection space even can not be calculated．In this Paper，two formulas are derived，with tham and the computer，we can easily calculate the additional stress coefficient of the arbitrary point of the foundation soil while the rectangular foundation iS sunected to the vertical load．In comparison of other calculation，the form ulas are proved to be correct． 【Key words 1 rectangular foundation；uniform load；triangular distilbution load；vertical stress coefficient 地基土变形计算中遇到的问题 计算地基土受上部荷载作用下所产生的沉降量，一般情况下只计算基础中心下地 基土由本基础上部荷载所产生的沉降量，而对于受相邻基础荷载影响的基础，除要计算 由本基础上部荷载所产生的沉降量外，还要计算由相邻基础荷载因应力扩散所产生的沉 降量。计算沉降量，首先要计算地基土中不同深度受上部荷载作用下所产生的附加应 力，而计算附加应力的关键在于计算附加应力系数。现行地基基础 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 规范、工程地质 手册及各种土力学书籍均有 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 可以查得基础角点下的附加应力系数，部分土力学书籍 还列出了计算公式，这种计算附加应力的方法简称为角点法。矩形基础受垂直均布荷载 2010年 第 l期 ·43· 作用下 ，地基 中任意点均可采用叠加原理求出附加应力 系数；矩形基础受垂直三角形分布荷载作用下，矩形基 底面积内任一点也可用叠加原理求出附加应力系数，而 矩形面积外则无公式能计算其附加应力系数，如有相邻 的两个基础A和B，A基础受垂直均布荷载，B基础受 垂直偏心荷载，若要考虑相邻基础荷载对基础沉降的影 响时，B基础能计算出由A基础荷载产生的沉降量，而 A基础则无法计算出由B基础荷载产生的沉降量，这就 是地基土变形计算中遇到的问题。能否推导出一个公 式，能计算地基土中任意点的竖向附加应力系数呢?本 人就此问题进行尝试，同时对矩形基础受垂直均布荷载 作用下地基土中任意点的竖向附加应力系数计算公式也 进行了推导。 兰 矩形基础受垂直三角形分布荷 载作用下地基土中任意点的竖向附加 应力系数计算公式 根据布辛内斯克 (Boussinesq·J)关于半无限空间 体弹性力学基本解，当半无限地基 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面作用集中力F 时，地基内部任一点M ( ，Y，z)产生的竖向附加应 力分量 盯 为 3F oz 则任一微面积 。上作用的微集中力为 dy (易为 沿荷载变化方向的边长，不论它是矩形的长边还是短 边，另一边为f)，根据公式 (1)，该集中力在地基中任 一 点M (X，Y，z)处所引起的竖向附加应力为 do7=兰： ! 将尺=√ 一 )：+ _j’ )：+：。代入上式并沿整个基底 面积积分，即可得到矩形基础受三角形荷载作用下地基 土中任意点的竖向附加应力为 ．f三 等 矾 式中0[+ 为矩形基础受三角形荷载作用下地基土中 任意点的竖向附加应力系数 ，即 tr — 『=了 乏三 解上式积分即可得到 的计算公式，由于求解过 程很复杂，计算冗长，现省略求解过程，直接写出积分 结果为 (1) 一⋯ 群南 对于矩形基础受垂直三角形分布荷载 (以下简称 三角形荷载)作用下地基土中任意点的竖向附加应力可 以应用式 (1)进行求解。建立如图1所示的坐标系，坐 标原点位于矩形基底净压力为零的边的中心，Y轴与该 边重合， 轴与该边垂直且由原点 O向荷载增加的方向 为正 ，反之为负。 l 矩形晴 积受三角形荷载作ffj 地基中任意点的附饥l随力推导 若矩形基底上所受的三角形荷载的最大值为 P ， · 44 · 2010年 第1期 dan ： I +arctan 一 l| ：： I = ；+ ：√4 (2 v，r+4： = 4J‘+l2，十，r+4： 』 4ix 6r+(11一fr+4= l( r+： 4 f T ) 1 12l+llz f r I+= 4 r J i 【2， ，r+4： J √ ： — i — 而 【 h r+： I2v+，r+4： J √ 丽 + 丽 1 式中b为沿荷载变化方向的边长，不论它是矩形的 长边还是短边，另一边为 ，X，Y，Z为计算点的坐标 值，X有正负之分，自坐标原点向荷载增加的方向为正， 反之为负，Y无正负之分。 式 (2)就是矩形基础受三角形荷载作用下地基土 中任意点的竖向附加应力系数计算公式。 t．1 矩形基础受垂直均布荷载作用 下地基土中任意点的竖向附加应力系 数计算公式 对于矩形基础受垂直均布荷载 (以下简称均布荷 载)作用下地基土中任意点的竖向附加应力，同样可以 应用式 (I)进行求解。建立如图2所示的坐标系，坐 标原点位于矩形基底的中心， 轴与矩形的短边平行，Y 轴与矩形的长边平行。 若矩形基底上所受的均布荷载为p，应用式 (1)， Z 2 彤 积受均布荷载作J}】F地蜒中仟意点的附加膨力推 微面积 上作用的微集中力为P dx dy ，它对地基 中任一点M (x，Y，z)处引起的附加应力为 doz- 将尺=√ 一X1) + —Y ) +z：代入上式并沿整个 基底面积积分，即可得到矩形基础受均布荷载作用下地 基土 中任意点的竖 向附加应力为 式中 。 为矩形基础受均布荷载作用下地基土中任 意点的竖向附加应力系数，即 ‰ 解上式积分即可得到 的计算公式，由于求解过 程很复杂，计算冗长，现省略求解过程，直接写出积分 结果为 ： c 。 gf l技术交流 EXCHANGE ‰ 圳叭t肌 一 tan ： 三 一arct m ：： + 2：√(2 一6) +(2 +， +4= ：：√(2 + +(23一，f+4= 盯。t ： 1+ ： ： 2=√《： +6f+i 21+，f+4z J√(： 一6 +I 1一， +4= [丽 +丽 卜 [丽 +丽 卜 [ + 卜 [—{2x+b + +4z]} √(2 +西r+(211+，) 十4： 【 +4： (11’+，r J J 式中 f为矩形的长边 ，b为矩形的短边 ，x、Y、z为 计算点的坐标值，x、Y均无正负之分。 式(3)就是矩形基础受均布荷载作用下地基土中任 意点的竖向附加应力系数计算公式。 公式正确性检验 式 (2)和式 (3)暂且称为任意点法公式，式 (2) 和式 (3)是否正确还需进行验证，也就是对矩形基础 受三角形荷载作用下基底面积内任一点分别用式 (2) 和相应的角点法公式计算竖向附加应力系数，同样，对 矩形基础受均布荷载作用下地基土中任一点分别用式 (3)和相应的角点法公式计算其竖 向附加应力系数 ，看 其结果是否相同，若相同，则任意点法公式是正确的， 若不相同，则是不正确的。 例 1、矩形基础受三角形荷载作用下地基中任一点 的竖向附加应力系数计算对比。 基础尺寸及各点在基底的垂直投影位置见图3，各 点深度均取 2．Om，由于基底面积内沿 x轴方向各处荷 载不同，为了使计算出的应力系数可比，引入一个荷载 系数，即基底面积内某一点的荷载值与最大荷载的比 值。计算结果见表 l。 从表 1可以看出，同一点用任意点法和角点法计算 出来的竖向附加应力系数是一样的(尾数误差是由于小 2010年 第 1朝 ·45 · 技术交流f c 舢． g c口z EXCHANGE 表 1 矩形基础受三角形荷载作用下任一点竖向应力系数任意点法与角点法计算结果比较 任意点法 角点法 计算点 y㈣ ， 6㈤ ‰ 矩形 尬n) 6㈤ 铂戢 ％ 荷载系数 ： 或 哟}荷载系数 A 载为零的角点) 0 3 6 4 0 0627 ABCD 6 4 ％ 1 ％ 0 0627 0 0627 0(i岢载为零的边的中 oBCJ 3 4 广 a=2％1 0 0 6 4 01147 =01751 1 心1 0JDA 3 4 =0Il48 EaBb u．~jl= l ％ l 0．75 (均布) 3 5 3 0 75 0 22 06 =0I1 65 Eb C C 3 5 1 6蛐 0 75 啦 12 O．75 (均布) 01 336 ：01002 EcDd 钧 ； 国 =％ j} 75 2 5 1 0 75 (均布) 0 1274 =0 0956 EdAa 啦!4： a4=a．04*O．75 (均布) 3 2 5 075 0 2075 =0l 556 E 3 0 5 6 4 0 4467 EbCc 3 5 1 铂 l cts=a．tj1．0．25 E形内任一点) 0 0618 0 25 =0 0l55 b = t；~=at．j2*0．25 EcDd 2 5 l 0 25 0 0588 =0 0147 ％ 3 ~7．7=Cttj3*0．75 EdAa 2 5 3 0 75 0 0643 ：0 0482 atj4= ~=atj4*0．75 EaBb 3 5 3 0 75 0 0694 =0 052i = l+％ 啦+ 啦 +％ 一卿 --c~=O 446 8 F E形外一点) 一l 5 l 5 6 4 0 0239 G E于眵外一点) 2 4 6 4 0 0873 均无法计算 H醇E形外一点) 5 2 6 4 01205 数舍入后造成的)，虽然由于角点法无法计算三角形荷 载作用下矩形基底外的应力系数，使得任意点法在三角 形分布荷载作用下矩形基底外各点计算出来的应力系数 无法验证其正确性，但从各个点的应力系数大小来看， 其结果应是正确的，即公式(2)是正确的。 限于篇幅，矩形基础受均布荷载作用下地基中任 一 点的竖向附加应力系数计算对比内容省略。本人作过 计算，其结果均相同，公式(3)也是正确的。 虽然公式(2)和公式(3)很复杂，用手工计算很麻 烦、工作量大，但由于现在电脑已普及，将公式设置在 Excel电子表格中，只要输入所求点的 、Y、z、b、f共 5个数据，就可以马上得出该点的应力系数值，非常方 便快捷。而用角点法计算非基础角点下的应力系数就较 麻烦，如用角点法计算三角形分布荷载作用下矩形基底 内任一点(如图3中的E点)，需计算8个应力系数，计 算附加应力时还要乘于不同的荷载值，最后还要进行应 力加减，才能得出该点的总的附加应力，比较复杂。 · 46· 2010年 第J期 通过对比可知，任意点法应力系数计算公式虽然 复杂，但借助电脑，可以方便快捷地计算出地基土中任 意点的应力系数 ，非常实用。 在实际使用时，深度z不能为零，可用一个很小的 数代替零，如0．00001或更小的数。另外，使用公式(3) 时不用区分长短边，只要 与b对应， Y与 Z对应， b 既可以是短边，也可以是长边 ，Z既可以是长边，也可 以是短边。 作者简介 古学兴 男，广东省五华县人，现在广东省地质局七零 五地质大队 (广东中山地质工程勘察院)从事岩土工 程勘察工作。