指数增长模型和Logistic增长模型的比较

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 广西民族学院学报 (自然科学版) 第 8 卷第 2 期 　　　　　　　　JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES Vol. 8 No. 2 2002 年 5 月 ( Natural Science Edition) 　　　　　　　　　　　　　　　　　May. 2002 文章编号 :1007 - 0311( 2002) 02 - 0029 - 05 指数增长模型和 Logistic 增长 模型的比较Ξ 黄小青 (广西财政高等专科学校 基础部 ,广西 南宁 　530003) 摘 　要 : 通过取材于经济学、人口统计学、市场营销学和生态学等不同领域的例子 ,归纳并比较指数增 长模型和 Logistic 增长模型在增长方式上表现出来的特征 ,阐释他们紧密相关的内在机理 ,并 揭示了他们在应用上灵活的开放性. 对于更好地利用这两个模型是很有帮助的. 关键词 : 指数增长模型 ;Logistic 增长模型 ;增长率 ;相对增长率 ; 最大容纳量 中图分类号 : O175 　　　文献标识码 : A 指数增长和 Logistic 增长是最基本最常见的增长方式. 它们能很好的刻画自然界和人类社会中很多物质量的变化规律. 比 如 :生物种群的繁衍 ;人口的增加 ;树木的生长 ;国民收入的增长 ;传染病的传播 ;新产品、新技术的市场扩散等等. 1 　指数增长模型和Logistic 增长模型的特征 111 　指数增长模型微分方程 dN dt = rN 或 dN dt / N = r 　初始条件 N (0) = N0解出 　N = N0 e π dN dt 称为增长率 ; dN dt / N 称为相对增长率. 常说的术语利率、人口增长率实际上是一种相对增长率. 指数增长模型的主要特征 : (1) 增长率 dNdt 和存在量 N 成正比. (2) 相对增长率 dNdt / N 为常数 ,当 r > 0 时为量的增长 . (3) 存在量的增加起初较缓慢 ,后越来越快 ,当 t ϖ ∞时 , N ϖ ∞,即量的增长是无限的如图 1 所示. 92 Ξ 收稿日期 :2001211221. 作者简介 :黄小青 (19712) , 女 ,广西南宁人 ,广西财政高等专科学校基础部讲师. © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 1 　指数增长曲线及相对增长率 银行和保险业中的连续复利结算公式即为指数增长模型. 把本金 N0 存入银行 ,年利率为 r ,连续复利结算 , t 年后的本利和 为多少 ? 把一年分割为无穷多个时间周期 ,即每时每刻都把利息转化为本金 (瞬间复合) ,本金每时每刻都在变. 钱生息 ,息生钱 ,这个 过程随着时间连续不断的进行. 则 t年后的本利和 　Nt lim m ϖ ∞N0 (1 + rm ) = N0 eπ , 从微分的角度看 :任一时刻钱的增加 (即利息) 与 这一时刻的本金数量成正比 ,比例系数为 r. 1. 2 　Logistic 增长模型微分方程 dN dt = ɑ(1 - N N 3 ) N ; dNdt / N = a (1 - NN 3 ) 解出 　N = N 3 1 + ( N 3 N - 1) e - at Logistic 增长模型的主要特征为 : (1) 增长率 dNdt 随着存在量 N 的增加先增后减 ,当 N = 1 2 N 3 时 ,达到高峰 ,见图 2 ;增长率 dNdt 随着时间 t 先增后减. 图 2 　增长率随存在量的变化曲线 03 广西民族学院学报 (自然科学版) 　　　　　　　2002 年 5 月 　第 8 卷 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net (2) 相对增长率 dNdt / N 随着存在量 N 的增加逐渐减小. (3) 量的增长过程为慢 - 快 - 慢 ,受到环境因素的制约 ,当 t ϖ ∞, N ϖ ∞. 在市场营销领域 ,Logistic 增长模型经常被用于研究新产品、新技术的市场扩散过程. 当一种新产品被推出时 ,只有少数人购 买它 ,如果该产品使消费者满意 ,较多的购买者会被吸引过来. 经过日益增长的市场知晓 ,更多的购买者加入市场. 当已购买人数 达到潜在消费者总数的一半时 ,销售量达到高峰并开始下降. 若有重复购买 ,销售量稳定在重复购买率上. 通常把曲线 N - t 称为 S 型产品生命周期曲线 ,并用 dNdt ～ t曲线来划分产品生命的不同周期引入、成长、成熟、衰退. 见图 3. 并根据产品生命的不同时期 制定相应的策略. 在这个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中 ,Logistic 增长模型中各个符号的意义如下 : N 3 :市场最大容纳量 (一般取决于某个地区的人口) . N : t 时刻已购买了新产品的人数 ,若为耐用消费品 ,一般很少重复购买 ,已购买人数看作产品的总销售量 (累积销售量) . N 3 - N :潜在消费者总数或潜在销售量. dN dt :销售速度 ,一般用年销售量或月销售量表示 ,通常简称销售量. 2 　指数增长模型和 Logistic 增长模型的历史原由和内在联系 指数增长模型是由英国人口学家马尔萨斯于 1798 年首先提出的 . 他根据百余年的人口统计资料 ,做了基本假设 : (1) 单位时 间内人口的增量与当时的人口成正比 ; (2) 人口的 (相对) 增长率是一个常数. 记 t 时刻的人口为N ( t) ,初始时刻 ( t = 0) 的人口为 N0 ,即 N (0) = N0 . 单位时间内人口的增量为 N ( t + △t) - N ( t) △t ;人 口的相对增长率为 r , r 是单位时间内人口的增量与 N ( t) 之比 , 即 r = N ( t + △t) - N ( t)△t N ( t) , 由基本假设 N ( t + △t) - N ( t) △t = rN ( t) , 当 △t ϖ0 时 , lim△t ϖ0 N ( t + △t) - N ( t)△t = lim△t ϖ0 rN ( t) 为了利用微积分这一工具 ,将 N ( t) 视为连续、可微函数. 由上式得微分方程 dN ( t)dt = rN ( t) ,经常简记为 : dN dt = rN 该方程的解为 : N ( t) = N0 ert ,它表明人口将按指数规律无限增长. 指数增长模型与 19 世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据吻合得很好 . 一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这 个模型进行与预报 ,结果也令人满意. 但是 19 世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较 ,却有很大的差异 (预测值 比实际值要大得多) . 人们还发现 ,在地广人稀的加拿大领土 ,法国移民的后裔比较符合指数增长模型 ,而同一血统的法国本土居 民后代的增长却远底于这个模型. 产生上述现象的主要原因是 :自然资源 ,社会环境所能容纳的人口数量是有限的. 随着人口的 增加 ,有限的资源和环境不可能再为人口的增长提供充裕的条件. 自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越 明显 ,当人口增长到一定数量后 ,增长率就会随着人口的继续增加而减少. 许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点. 比 利时数学家 Verhulst 根据自己对人口增长的研究 ,修改了指数增长模型关于人口增长率是常数的假设 ,于 1838 年提出了著名的 Logistic 增长模型. 将增长率 r表示为人口 N 的函数 r( N) . 按照前面的分析 r( N) 应是 N 的减函数 ,一个最简单的假设是 :设 r( N) 为 N 的线性 函数 　 r( N) = a - bN 这里 a相当于N = 0时的增长率 ,即 r(0) = a ,称为固有增长率. 假设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为 ,称为 最大容纳量. 当 N = 时 ,增长率为零 ,即 r( N 3 ) = 0. 由此确定出人口增长率函数为 r( N) = a (1 - NN 3 ) ,其中 a , N 3 是根据人 口统计数据或经验确定的常数 ,因子 (1 - NN 3 ) 体现了对人口增长的阻滞作用. 在这个假设下指数增长模型修改为 dNdt = a (1 - N N 3 ) N 　初始条件 N (0) = N0 这就是 Logistic 增长模型 (也称为阻滞增长模型或逻辑模型) 1 如图 3所示 ,美国 1790～ 1870年的人口增长符合指数模型 ;1790～ 1930年的人口增长符合 Logistic增长模型. 由此可见 ,指数 增长模型一般适用于短期预测 ,而 Logistic 增长模型适用于中短期预测. 用 Logistic 模型预测的美国人口到了 1930 年以后的误差 越来越大 . 一个明显的原因是 1960 年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容纳量 N 3 ,事实上 ,随着科技的进 步 ,生产力的发展和人们认识能力的提高 ,也是可以改变的. 13 2002 年第 2 期 　　　　　　　　●黄小青/ 指数增长模型和Logistic 增长模型的比较 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 3 　美国 1790～1980 年实际人口数据散点图与拟合得到的两个模型的增长曲线 3 　指数增长模型和Logistic 增长模型的开放性 指数增长模型和 Logistic 增长模型具有很强的开放性. 明白了它们的内在机理 ,就可以这两个模型为基础 ,衍生出其他增长 模型 ,以便解决更复杂的问题. 比如具有迁移的指数增长模型 dNdt = rN + s - h 和具有迁移 Logistic 增长模型 dN dt = a (1 - N N 3 ) N + s - h 问题 1 　养老金的安排 . 有一个 25岁的年轻人做这样的储蓄 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 :先存入 1000元 ,在以后的 30年中 ,每月持续存入 100元 ,当 他 55 岁时 ,停止存钱 ,转而每个月从存款中提取一定的数额. 他每个月应该提取多少钱足以保证养老 ? 这个问题的难点在于人的寿命是未知的. 每个月取得太多 ,寿命期未到钱用完了 ;每个月取得太少 ,寿命期到了还剩钱 ,用具 有迁移的指数增长模型可以很方便的解决这个问题 ; 存钱阶段是具有迁移的指数增长模型 ,微分方程为 dN dt = rN + s 　解出 N = N0 e rt + s r ( en - 1) 其中 s 为单位时间的迁入量 ,本问题的单位时间为月. 由已知条件 N0 = 1000 , r = 0106/ 12 = 01005 , s = 100 , t = 30 ,解出存款 N = 107043 元 取钱阶段是具有移出的指数增长模型 dN dt = rN - h 　解出 N = N0 e r t - h r ( ert - 1) ( N0 = 107043) 若 dNdt > 0 即 h < rN0 = 5351215 ,每月提取的钱少于 5351215 元 ,存款还会继续增长至无穷. 若 dNdt = 0 即 h = 5351215 ,每月提取5351215元 ,存款将永远保持 ,即存款变为永久年金. 这种问题在人银行、保险中是经常遇 到的. 有些永久性的奖金 ,就是设立一笔基金 N0 ,每期提取年金 h = rN0 作为奖金 ,年金可以永远提取. 实际上每期只提取利息 rN0 ,而基金 N0 可以永远保持下去 ,比如诺贝尔奖金. 若 dNdt < 0 即 h > 5351215 ,存款将逐渐减少为零. 问题 2 　可再生资源的利用 . 渔场的鱼量在天然条件下的增加符合 Logistic 增长规律. 在有捕捞的情况下 ,它的增加规律是 怎样呢 ?怎样控制捕捞 ,使渔业资源持续 ? 设初释放进渔场的鱼苗为 1000 条 ,渔场的最大容纳量为 = 25000 条 ,鱼量的增加系数为 a = 0. 25/ 周. 可以假设捕捞方案如 下 : 当 t = 2415 周 , N = 0195 N 3 = 23750 条时 ,开始捕捞. 此时 ,令 t0 = 2415 , N0 = 23750 ,单位时间为 1 周. 每周捕捞固定数量 h ,则 Logistic 微分方程变为 dN dt = 0125 N (1 - N25000) - h 当 dNdt > 0 ,即 h < 0125 ×23750 (1 - 95 %) ≈ 297 条时 ,鱼量在保持 23750 条的基础上继续增加 . 23 广西民族学院学报 (自然科学版) 　　　　　　　2002 年 5 月 　第 8 卷 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 当 dNdt = 0 ,即 h = 297 条时 ,鱼量始终保持在 23750 条的水平上. 当 dNdt < 0 ,即 h > 297 条时 ,鱼量将逐渐减少至零. h 越大 ,灭绝时间越短. 由以上分析可知 :只要稍微节制一点 ,可再生资源可以持续供我们利用而万世不竭. 根据实际问题的需要 ,对指数增长模型和 Logistic 增长模型进行“添枝加叶”,可衍生出一大批紧密相关 ,灵活多变 ,适用性强 的增长模型. 比如 ,让增长系数随时间变化 a ( t) = a0 + amsin ( wt +φ) 则模型可用于分析增长中有波动的情况 ;让容纳量随时间 变化 N 3 ( t) = c - dt ,则模型可用于分析先增长后衰减的情况. [参 　考 　文 　献 ] [1 ]malthus(1798) 1 An Essay on the principle of population[M] . Reprinted 1970 ,Penguin Books ,harmondsworth , England. [2 ]Verhulst (1838) 1Notice Sur La Loi que La Population Suit dans Son accroissement ,Correspondance Mathematique et Physique Par A[M] . Quetelet , brussels10 , 113 - 121. [3 ]T. G. Hallam and S. A.Levin1 Mathematical Ecology[M]1SpringerVerlag , New York (1986) . [4 ]WG. Getz and R. G. Haight1 Population Harvesting , Princetion Univ[M] . New Jersey(1989) . [5 ]C. W. Clark ,周勤学 ,等译 1 数学生物经济学[M] . 农业出版社 ,1984. [6 ] (美) Robrt . B. 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