南京财经大学微积分ppt3.5-3.6 微分 多元函数知识

nullnullnull§3.5 微分与近似计算一、微分的概念 研究函数常常需 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 出某些自变量对应的函数值。但即使 是一般的初等函数，求函数值很难：求出精确的的函数值一般 是不可能的(常见的函数大多是无理数)，这时我们一般求出(某 种精确度下的)近似值。 求近似值，最简单的想法是利用变量的改变量，比如要求 函数值f(x1)，先找到x1临近的x0，保证f(x0)很容易可以求出，然 后求Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)的近似值。如：要求y=ln1.01，易知 ln1=0，因此关键是求出Δy =ln1.01-ln1。 下面以正方形的面积为例，具体讨论如何计算因变量的改 变量的近似值。null 对函数y=f(x)=x2：其中x表示 正方形的边长， y表示正方形的面 积。假设对x=x0，y0=f(x0)已求出， 为求y1=f(x1)，则需求Δy。 可见Δy包含两部分，其中第一部分是我们可以用来近似 代替Δy的，为此需要讨论如何计算。为方便先给出定义。null定义其中A为与Δx无关的常数，则称f(x)在x0可微，AΔx为y=f(x)在 x0处的微分，记为dy称为Δy的线性主部。 不能写成(*)式时，称y=f(x)在x0不可微或微分不存在。 注 ①由于dx=Δx，故一般记dy=Adx； ②A与Δx无关，但与x、f(x)有关； ③当A≠0时，dy与Δy等价：dy~Δy，Δx→0。 ④导数是一个(函)数，微分是因变量的改变量的近似 值。null定理由此可知，导数可看作dy与dx的商，因此也称微商。例解 微分是为近似计算Δy而引入的，为计算出Δy，我们需要 给出利用f(x)和Δx计算微分的方法，对此有如下定理。null二、微分的几何意义MN）null三、微分基本公式与微分的运算法则 由上面的定理可知，微分的计算实质上就是导数的计算 。因此关于基本初等函数的微分公式和运算法则都可以由导 数的相应结果直接对应写出。 1、微分公式 由导数的基本公式易得微分的基本公式(见课本101-102 页)，只要熟记了导数的相关公式，相信很容易记住这些公式 (即使没有特意对微分公式记忆，也可直接由dy=y′dx推出)。nullnull例2、微分的运算法则 由导数的四则运算法则容易得到： 定理 若函数u(x)、v(x)都可微，则 进行微分计算时，可以先求出导数再写成微分的形式。但 大家应尽量适应用微分的形式直接计算，这对以后的学习会有 帮助。null练习 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解null3、微分的形式不变性也就是说，无论y写成u、x、t哪一个变量的函数，y的微分都等 对这个变量的导数乘以这个变量的微分。把导数复合运算法则对应到微分中：设由y=f(u)，u=g(x)复合函数的微分法则null例解 练习 答案null例解 对题中方程两边求微分得 可直接对方程两边进行微分计算。利用微分的运算法则 得到含有x、y、dx和dy的等式(这时认为x与y的地位是“平等的”)，最后解出dy即可。整理得隐函数的微分计算null练习答案 熟练掌握微分的计算方法后，计算隐函数的导数也可以利 用微分的方法。例如对这个练习，若最后要求的是y对x的导 数，则在上面的微分计算得出结果后，可得到y对x的导数为null四、微分在近似计算中的应用在Δx足够小时，可以用此式近似计算。例解 题中即要求练习 求e1.02的近似值(精确到小数点以后四位数字)。 答案 2.7726 由null1、求微分3、计算近似值2、隐函数求微分1、2、 3、 null§3.6多元函数基础知识一、空间直角坐标系 下面进一步学习二元以至多元 函数。为了方便讨论，引入空间坐 标系的概念。 在空间取定一点o，过点作三条 互相垂直的数轴ox、oy、oz，各轴 的正方向按右手规则确定，再 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 一个长度，就构成了空间直角坐标系；点o称为坐标原点； ox、oy、oz称为坐标轴；每两个坐标轴确定一个平面，称为 坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、xoz平面，这三个平 面将空间分为八个部分，称为八个卦限。null 空间的点和三维数组一一对应。 对空间一点M，设x、y、z分别为M到三个坐标平面的距 离，称(x,y,z)为M的坐标。 特殊的点的坐标符号： x轴上的点(x,0,0)； y轴上的点(0,y,0)； z轴上的点(0,0,z)。 xoy平面上的点(x,y,0)； yoz平面上的点(0,y,z)； xoz平面上的点(x,0,z)。null各卦限内点的坐标的符号： 与平面中的情况类似，空间中两点M(x1,y1,z1)与N(x2,y2,z2)的距离：null二、曲面与方程 平面解析几何中我们用二元方程F(x,y)=0表示平面曲线。 类似地，用三元方程F(x,y,z)=0表示空间曲面。具体地说，一 组数x,y,z满足方程，以(x,y,z)为坐标，得空间一点。一般地， 坐标满足方程的所有点在空间形成一张曲面；反之，空间一 曲面上不同点的坐标必有一定联系，这种联系一般可用一个 三元方程表示。 定义 设有三元方程F(x,y,z)=0和空间曲面S，若曲面S上任 一点M的坐标(x,y,z)均满足方程，而不在曲面S上的点的坐标均 不满足方程(即坐标满足方程的点均在曲面上),则称曲面S为方 程的曲面(或图形)，而方程F(x,y,z)=0称为曲面的方程。null 例 求与点M1(1,-1,0)和M2(2,0,-2)距离相等的点的轨迹。 解 设点P(x,y,z)与M1(1,-1,0)和M2(2,0,-2)的距离相等，由距 离公式得整理得显然这是一个平面( 线段M1M2的垂直平分面)。下面介绍几种常用的曲面，要注意方程与曲面的对应关系。null1、平面一般方程为：ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c2≠0)其中a、b、c分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。平面过(a,b,c)点，法线方向为(l,m,n)。 特殊平面 与xoy面平行的：z=c xoy面：z=0 与yoz面平行的：x=a yoz面：x=0 与xoz面平行的：y=b xoz面：y=0null2、柱面 给定空间曲线C和直线L，过C上的动点作L的平行线， 这这些平行线形成的曲面称为柱面，C称为柱面的准线，平 行于L的直线称为柱面的母线。 平行于z轴的柱面的方程：Φ(x,y)=0null3、旋转曲面 空间曲线C以定直线L为轴旋转所形成的曲面称为旋转曲 面。 如xoy平面上的曲线F(x,y)=0绕y轴旋转一周，所得的旋转 曲面方程为： 同样的，xoy平面 上的曲线F(x,y)=0绕x轴 旋转一周所得旋转曲面 方程为：null4、二次曲面 由三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 其中a12+a22+a32≠0所表示的空间曲面，称为二次曲面。 下面介绍几种常见的二次曲面。 ①球面与椭球面 球心在(x0,y0,z0)、半径为r球面 的一般方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2 特别地，球心(x0,y0,z0)=(0,0,0)时方 程为 x2+y2+z2=r2null圆心在原点的椭球面的方程为其图像可参照球面来分析作图。 对于较复杂的曲面，很难像球面和椭球面那样直观上看 出图像。这时可用“截痕法”作图。即用坐标面和平行于坐标 面的平面(包括坐标面)与曲面相截，考察交线(称为截痕)的 形状，加以综合后作出草图。 一般的二次曲面不像平面中的二次曲线那样易于分析。 下面给出几个常见的复杂二次曲面，大家大致了解它们的解析式和图像。null②椭圆抛物面③二次锥面null④双曲面单叶双曲面双叶双曲面null⑤双曲抛物面哇！好复杂，不过这个东西做成雕塑放在广场上倒蛮合适的。null 空间中曲线的方程是由两个曲面方程联立构成的(即看作 两个曲面的交线)，例如曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0的交线为:空间直线可以写成两个平面的交线：空间直线的点斜式方程为两点式方程为null三、平面区域 在讨论一元函数时, 常用邻域和区间的概念. 本章讨论 多元函数时, 也要用到邻域和区域的概念. 故下面将一元函 数的邻域和区间的概念加以推广. 1、邻域 定义 称区域{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2<δ2}为P(x0,y0)的δ邻 域，记为Dδ(P0) 。 称区域 {(x,y)|0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ2} 为P(x0,y0)的δ去心邻域， 记为null2、开集、闭集定义内点。 P0为D的边界点。外点。 若D中任一点均为其内点，则称D为开集。若D所有的 边界点都在D中，则称D为闭集。如{(x,y)|x2+y2<4}为开集， {(x,y):|x+y|≥1}为闭集。而{(x,y)|10,y>0}是无界开区域。{(x,y)|x2-y2>1}是非连通点集。null四、多元函数的概念 前几章讨论的函数y=ƒ(x)，是因变量与一个自变量之间 的关系，在此关系中, 因变量的值只依赖于一个自变量，称 这类函数为一元函数。但在许多实际问题中往往需要研究因 变量与几个自变量之间的关系， 这时因变量的值依赖于几个 自变量。 例如，某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关， 而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关,而且 还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从而决定该 商品需求量的自变量不只一个而是多个。 这就需要研究多元函数的概念。null定义z与之对应，则称变量z是x、y的二元函数，记作z=f(x,y) (x,y)∈D其中x、y称为自变量，z称为因变量，D称为f(x,y)的定义域。值域。注二元函数由对应法则和定义域确定。对应法则一般用公式、图像刻画。对定义域，无实际意义时，取使式子有意义的集合(即存在域)。二元函数z=f(x,y)的图像是由点集构成的曲面。nullnull 解 把y=0代入f(x,y)=x+y+φ(x-y)得f(x,0)=x+φ(x)。由题意 得φ(x)=x2-x，因此 f(x,y)=x+y+φ(x-y)= x+y+ (x-y)2-(x-y) 二元函数的定义域一般由实际问题确定。但在我们数学 学习过程中，一般去掉实际背景，抽象出一个函数进行研 究。这时我们考虑求其存在域。求存在域时，与一元函数类 似，求使解析式有意义的x、y的变化范围。 例如，二元函数z=ln(x+y)的定义域为 。 二元函数z=arcsin(x2+y2)定义域为 。 二元函数的对应法则一般用解析式进行分析计算，辅以 图像来直观分析。关于解析式，下面举例以加深理解。例null练习答案null类似地，可定义多元函数：定义都存在唯一的y与之对应，则称y为变量x1、x2、···、xn的n元 函数，记作y=f(x1,x2,···,xn)。 x1、x2、···、xn为自变量，y为因 变量，也称y是x1、x2、···、xn的函数。D称为定义域。 当n=1时即一元函数y=f(x)； 当n=2时即二元函数z=f(x,y) 。 在多元函数中可定义n元齐次函数。 定义 多元函数y=f(x1,x2,···,xn)， (x1、x2、···、xn) ∈D。 若对任意(x1、x2、···、xn) ∈D， 则称多元函数y=f(x1,x2,···,xn)为k次齐次函数。null定义则称z=f(x,y)为k次齐次函数。如 （1）是 次齐次函数。 1 （2）经济上最常见的齐次函数为Cobb-Douglas函数：其中Y为产量，K为资金，L为劳动。null （3）经济中，常用的生产函数： Y=f(x1,x2,···,xn)为为k次齐次函数： f(tx1,tx2,···,txn)=tk f(x1,x2,···,xn) 其中x1、x2、···、xn为n种投入要素如资本、劳动力、土地等。 当k=1时，称为规模报酬不变或固定规模报酬； 当k>1时，称为规模报酬递增； 当k<1时，称为规模报酬递减。 下面我们以二元函数为主，讨论其极限、连续性与导数等，至于三元以上的函数，可类似讨论。null五、二元函数的极限与连续性 1、极限。 简单地说，若当P(x,y)无限地趋近于P0(x0,y0)时对应的函数 值f(x,y)无限地趋近于A，则称A为P→P0时函数f(x,y)的极限。 与一元函数的情况类似，我们可以给出二元函数的极限 的精确定义： 定义 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域有定义，则称A为当P(x,y)→P0(x0,y0)时f(x,y)的极限，记作null 注 P→P0是指P沿任意方向趋于P0，因此二元函数没有 定义左、右极限，这也造成了计算二元函数极限的难度。另 一方面，我们可以利用这一点判定一些二元函数极限的不存 在：若P沿不同方向趋于P0时f(x,y)趋于不同的数值，则极限 不存在。例如 对函数当P(x,y)沿直线y=kx趋于原点(0,0)时，对应的函数值可以看出，沿不同的直线函数值趋于不同的值，因此(x,y) →(0,0) 时这个函数的极限不存在。null例 计算二元函数的极限时，一元函数极限的运算法则如四 则运算、无穷小量的性质、重要极限等都可应用，一些技巧 如分解因式、有理化、变量代换等也可同样使用。解 由于(x,y) →(0,0)时，x2+y2为无穷小量，而练习答案 2为有界变量，故它们的乘积为无穷小量，即null2、连续 Ⅰ定义 二元函数的连续性概念与一元函数连续性概念类似. 定义 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域有定义，若有则称f(x,y)在P0连续，P0称为f(x,y)的连续点。否则称f(x,y)在P0 间断， P0为f(x,y)的间断点。 若函数f(x,y)在区域D内每一点都连续，则称f(x,y)在区域D 内连续，也称f(x,y)是D上的连续函数。 连续函数z=ƒ(x,y)的图形是一张无孔、无缝的“密不透风” 的连续曲面。null Ⅱ性质 定理(四则运算法则) 若干个连续函数的和、差、积、商(分母在连续点的值不 为零)仍是连续函数。 对于复合函数：若两个函数(不管是一元函数还是多元函 数)都连续，则它们复合而成的函数仍是连续的。由于多元函 数的复合比较复杂，在这里就不一一讨论了。 由四则运算法则和复合函数运算法则可知，初等函数在 其定义区域内是连续的：若ƒ(x,y)是初等函数且(x0,y0) ∈Dƒ， 则ƒ(x,y)在点(x0,y0)处连续且null 与一元函数类似,在有界闭区域上,多元连续函数也有如下性质： 定理(最值定理) 有界闭区域上的连续函数一定有最大值、最小值。 由此可知有界闭区域上的函数是有界的(有界性定理)。 定理(介值定理) 函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，最大值为M，最小