第七届泛珠三角物理竞赛综合试题答案

1 1 卷-1 Q1 (8 points) (a) 转动惯量： 2 21 4 3 3 2I mL mL mL= + = . (1 point) 力矩： 1 3 2 2 mgL mgL mgL Kτ θ θ θ= + = = θ . (1 point) 因此： 2 3 3 2 4 3 2 2 K mgL I mL gω ⋅= = =⋅ L . (2 points) (b) 力： 2 2 0 1 2 4 ( qF 2)x L xπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠ε . (1 point) 平衡点 F = 0, 0 ( 2 1)x L= − . (1 point) 有效弹性系数： 0 2 2 3 2 0 3 3 0 1 2| 3 2 ( 2 1) (2 2)x x dF q qK dx L Lπ= ⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠ � ε ε .82 . (1 point) 因此： 2 3 0 1.95 m K m L ω = = ε q . (1 point) Q2 (9 points) 总能量： 2 2 2 4E p c m c= + (1 point) 2mc 为粒子的静止能量。动能： 2 2 2 4 2K p c m c mc= + − . (1 point) 因此，动量为： 2 2 2 4 2 21 1( ) 2p K mc m c K Kmc c c = + − = + . (1 point) (i) , 得 2K mc<< 2 61 12 2 0.511 10 1.0 10 /3p mc K MeV c c c − −= × × = ×� . (2 points) (ii) 21 12 1 2 0.511 1.4 /p K mcK MeV c c = + = + × = c . (2 points) (iii) . 2K mc>> 61.0 10 /Kp MeV c c = ×� . (2 points) Q3 (8 points) (a) 令一个导体带线电荷密度λ , 另一个带电 λ− 。选连接两导体中心的连线为 X-轴， x = 0 点在两导体正中间, X-轴上的电场为： 0 0 1 1 / 2 / 22 E d x d x xλπ + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ G=G ε . (1 point) 导体间的电位差为： /2/2 0 0( /2 ) ( /2 ) ln ln ln ln 2 2 2 d Rd R d R d R d d d RV E dx x x 0 d R Rπ λ π λ π λ −− − − − − ⎡ ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= ⋅ = + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦∫ �ε ε ⎞⎟⎠ε . (2 points) 电容 ( ) 0 ln / QC RV d π= = ε . (1 point) (b) 利用镜像电荷， 0 0 1 1 2 E d x x x d λ π= + − ⎛ ⎞+⎜⎝ ⎠⎟ GG ε 。导体间的电位差为：(1 point) 2 2 ( ) ( )0 0 ( ) 0 0( ) 2 2ln ln ln ln 2 2d Rd R d R dV E dx d x d x 02R Rπ λ λ π λ π− −− − −⎛ ⎞ ⎛= ⋅ = + − − =⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝∫ �ε ε ⎞⎟⎠ε (2 points) 0 22 / nl dC R π ⎛ ⎟= ⎞⎜⎝ ⎠ε . (1 point) Q4 (10 points) (a) (i) 板-1 受的力由板-2 产生。用高斯定理： 0S QE dS ε⋅ =∫∫ GG w ，得 0 02 E zσε= G G . (1 point) 上述结果也可用积分直接计算： 02 2 3/2 2 2 1/2 00 0 2 | 4 ( ) 2 ( ) 2 rLdr LE L r L r 0 σ π σ σ πε ε ∞ ∞−= =∫ + + ε= . 板-1 受的力： 2 0 02 F σε= G Gz . (1 point) (ii) 总电场在两板间的空间为 0 0 E zσε= G G 。外面电场为 0。 (1 point) (iii) 功为： 2 02 AW AF D Dσδ δ ε= ⋅ = δ . (1 point) (iv) 有电场的空间体积小了 A Dδ 。若电场的能量密度为 H，则电场的总能量减少了 HA Dδ 。利用能量守恒： 2 02 AHA D Dσδ δε= ，得能量密度 2 2 0 0 1 2 2 H σ εε= = E z 。 (2 points) (b) (i) 引力场的高斯定理： 4 S g dS GMπ⋅ =∫∫ GGw 类似 (a), 得 02g Gπ σ=G G (1 point) 力为： . (1 point) 2 02F Gπ σ= G zG (ii) 在两板间的空间里场为 0。外面的空间 4g Gπ σ= 。 (iii) 22W AF D G A Dδ δ π σ δ= ⋅ = . (1 point) (iv) 有引力场的空间体积增大了 A Dδ 。场的总能量还是减少了HA Dδ 。 因此： 2 2 2 2 12 2 (4 ) 2 4 gH G G G G π σ π gπ π= − = − = − . (2 points) Q5 (5 points) 均匀大折射率的膜肯定错。下面是两种可能的机理。其它可以自圆其说的机理也能接 受。 n < 1 (2) n < 1n < 1 (2)(1) Q6 (10 points) (a) , (1 point) PV γ = C ⇒ NKTV γ −1 = C 因此T . (1 point) 2 / T3 = T1 / T4 = (V1 / V2 )γ −1 (b) 理想气体的内能为：U , (1 point) = Nε0 + NcVT 3 3 因此 Q ，= ΔU = NcV (T2 − T1) cV = kγ −1 . (1 point) 功： W = P dV∫ = CV −γ dV∫ = C1− γ V 1−γ . (1 point) 路径 A , 路径 C: 。由此得 C = CA = P1V2γ = NkT1V2γ −1 C = CC = P2V2γ = NkT2V2γ −1 WA = CA1− γ V2 1−γ −V11−γ( )= Nk1− γ 1− V1V2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1−γ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ T1 = Nk1− γ T1 − T4( ) (1 point) WC = − CC1− γ V2 1−γ −V11−γ( )= − Nk1− γ 1− V1V2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1−γ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ T2 = − Nk1− γ T2 − T3( ). (1 point) 最后得 WA / Q = −(T1 − T4 ) / (T2 − T1) , WC / Q = (T2 − T3 ) / (T2 − T1) . (1 point) (c) η = WA +WC Q = (T2 + T4 ) − (T1 + T3) T2 − T1 , (1 point) 代入体积，得：η = k cV (1− γ ) 1− V1 V2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1−γ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1− V1 V2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1−γ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . (1 point) 卷-II Q1 (15 points) (a) 由于总能量比静止能量大很多，所以粒子的速度为光速。 (3 points) (b) 2 2 2 4 2 2 2 4 1 2 1 2E E p c m c p c m c− = + − + (1 point) 2 4 2 4 2 2 4 2 4 1 2 1 2( )1 1 1 1(1 ) (1 ) 2 2 2 2 m c m c m m c m cpc pc pc pc pc − Δ≈ − − − = = pc (4 points) 1 2 2 4| | 2Ph E E chT m c = = Δ− . (2 points) 若上述的展开在(c) 部分作，也可以得满分。 (c) 从(b), 得Δm2 = 2Pch Tc4 , (1 point) 代入 (1 point):/P E c= 2 4 2hm Tc c cE=Δ . 最大的 T 为： earth/ 2 2cT R= , (1 point) . (1 point) Rearth � 6 ×106 m 得： 6 6 2 5 6 ea h 4 rt 2 100 10 1.24 10 (1.0 0.5) 10 eV 4 2 6 10 hcEm c R − −× × ×Δ = = ± ×× ×= 2 dt . (1 point) 只要结果在上述范围内就得满分。 Q2 (15 points) (a) (i) 冲量的垂直分量为： . (1 point) ( ) ( ) cos ( )F t dt F tI tθ⊥⊥ = =∫ ∫ tan /x bθ = ， x vt= , 得 21 1(tan ) cos b bdx d ddt v v v θ θθ= == . (1 point) 4 4 得 /2 2/2 2cosGMmb GMmd vb v I b π π θ θ⊥ − == ∫ . (1 point) 冲量的平行分量： /2 / / // / 2 2 ( ) ( )sin ( ) sin 0GMmbF t dt F t t dtI d b v π πθ θ− θ == = =∫ ∫ ∫ . (1 point) (ii) p mv= , then 22I GMp bvθ ⊥ =� . (1 point) (b) (i) 6 3 sun sun 8 1.4 10 9.3 10 1.5 10 /R dθ −×= × = ×= . (1 point) (ii) 见图 (2 points) (iii) 11 30 3 2 6 8 2 2 2 6.67 10 2 10 2.1 10 1.4 10 (3 10 ) GM Rc δθ − −× × × ×= = = ×× × × , (4 points) θ = 2θsum + 2δθ = 2.280 ×10−2 . (1 point) (iv) 不能，因为太阳太亮了。 (1 point) (v) 不能，因为这样一来月亮的角直径只有太阳的一半，不能完全遮住太阳。 (1 point) Q3 (20 points) (a) (i) 0 0 0 0 0 01 23/2 3/22 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) xx yy z d z xx yy z d zqE q x y z d x y z dε + + − + + += +⎡ ⎤ ⎡+ + − + + +⎣ ⎦ ⎣ G G G GG GG ⎤⎦ , z > 0. (0.5 points) 0 0 0 2 13/22 2 2 1 ( ) ( ( ) xx yy z d z qE q x y z d ε + + −= +⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ G G GG ) , z < 0. (0.5 points) 上述结果若带有因子 0 1 4πε 也得满分。 2 2D E2ε= G G , 1 1D E1ε= G G 1 2D D ⊥ ⊥=G G 1 2 2 1 1 qq q qε ε ε ⎛ ⎞⇒ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1) (0.5 points) / / / / 1 2E E= G G 2q q⇒ = 1 (2) (0.5 points) 解方程 (1)、 (2), 1 21 2 1 2 1 qq q ε εε ε ε ⎛ ⎞⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ . (1 point) (ii) 11 2 2 13/2 3/22 2 2 2 2 2 1 1 84 ( ) 4 ( ) dqd q qE E q q x y d x y d πσ π π ε ε ⊥ ⊥ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − + + =⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ . (1 point) 若用 0ε 而不用 4π 也得满分。 (iii) 1 2ε ε= , q q 。没有界面，也就没有镜像电荷。 (1 point) 2 1 0= = (iv) 介质-2 为理想导体。 1 2 1 qq q ε= = − . 2 0E = G , 导体内无电场。 1E G 由镜像电荷 2 1 qq ε= − 和电荷 1 q ε 产生。 (1 point) (b) 5 5 (i) 2 2 2D E 2Bε β= − G G G 1 1D E, 1ε= G G , 22 2 2 BH E G βμ= + G , 11 1 BH μ= GG . G 0 0 0 0 0 0 1 23/2 3/22 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) xx yy z d z xx yy z d zqE q x y z d x y z dε + + − + + += +⎡ ⎤ ⎡+ + − + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ G GG GG G G , z > 0. (1 point) 0 0 0 2 13/22 2 2 1 ( ) ( ( ) xx yy z d z qE q x y z d ε + + −= +⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ G G GG ) , z < 0. (1 point) 0 0 0 1 23/22 2 2 ( ) ( ) xx yy z d zB g x y z d + + += ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦ G G GG , z > 0. (1 point) 0 0 0 2 13/22 2 2 ( ) ( ) xx yy z d zB g x y z d + + −= ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ G G GG . z < 0. (1 point) 在 z = 0, 利用边界条件： (i) 1 2B B ⊥ ⊥=G G 2 0 1 3/22 2 2 g dzB x y d ⊥ = ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ GG , 1 02 3/22 2 2 g dzB x y d ⊥ −= ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ GG . (1). (1 point) 1 2 g g⇒ = − (ii) 1 2D D ⊥ ⊥=G G 0 1 2 1 3/2 3/22 2 2 2 2 2 qdz q dzD x y d x y d 0ε⊥ −= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G GG , 1 2 0 1 1 0 2 3/2 3/22 2 2 2 2 2 q q dz g dzD x y d x y d εε β⊥ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G GG . So 1 2 1 2 1 1 qq q g qε β ε ε ⎛ ⎞− = − +⎜⎝ ⎠⎟ (2). (1 point) (iii) / / / /1 2E E= G G / / 0 0 0 0 1 23/2 3/22 2 2 2 2 2 1 xx yy xx yyqE q x y d x y dε + += +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G G GG , / / 0 0 2 13/22 2 2 1 ( )xx yy qE q x y d ε += +⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ G GG . So (3) (1 point) 2 1q q= (iv) / / / /1 2H H= G G / / / / 0 01 2 1 3/22 2 2 1 1 xx yyB gH x y dμ μ += = ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ G G GG , / / / / / / 0 0 0 02 1 2 2 13/2 3/22 2 2 2 2 2 2 2 ( )xx yy xx yyB g qH E x y d x y d β βμ μ + += + = + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G G G GG G 1 qε . So 2 1 1 1 2 1 (g g q qβμ μ ε= + + ) (4). (1 point) 将方程(1) 到 (3) 代入 (4), 得 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( )(1/ 1/ ) ( )(1/ 1/ ) qq q ε ε μ μ βε ε μ μ β ε ⎛ ⎞− + −= = ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , (1 point) 6 6 2 1 2 1 2 1 2 1( )(1/ 1/ ) qg g βε ε μ μ β ε ⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . (1 point) 以现在用的单位，高斯定理为 4E πρ∇⋅ =G , 其中 ρ 是电荷体密度。 界面上的电荷面密度为： 1 1 2 2 13/2 3/22 2 2 2 2 2 1 1 84 ( ) 4 ( ) dqd q qE E q q x y d x y d πσ π π ε ε ⊥ ⊥ ⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − + + =⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ . (1 point) 利用安培定理 4B Jπ∇× =G G , 其中 为电流密度。选 X-轴上任意一点, 磁场平行于界面的 分量为： J G / / 2 1 1 02 2 g g 0B x xx x = = −G G G , / / 12 02gB xx G = G 。 12 x z 12 x 12 12 x z 选一个长度为 L（仍然很短）、高度更小的长方形廻路。若廻路与 X-轴垂直、与 Y-轴平行，则路径积分为 / / / / 1 0 2 0 0 0 0 l B dl B Ly B Ly⋅ = ⋅ − ⋅ = − =∫ GG G GG Gv 。 (1 point) 若廻路与 X-轴平行，则 / / / / 1 1 1 0 2 0 2 2 2 2 l Lg Lg LgB dl B Lx B Lx 1 x x x ⋅ = − ⋅ + ⋅ = + =∫ GG G GG Gv 。 令界面的电流面密度为 K, 则 12 2 4 l Lg B dl KL x π= ⋅ =∫ GGv . (1 point) 用右手定则，得 1 022 gK xπ= − G Gy 。由此可推出电流面密度的一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式： 0 01 2 2 3/ ( 2 ( ) 2 )yx xygK x yπ −= + G GG 。(1 point)