二次函数的常见题型
朝阳区特级教师丁益祥工作室 周明芝
二次函数是高中数学的重要内容，在高考中所占比例很大．它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
例1．二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
解法1：∵抛物线顶点为（4，－3）且过点（1，0）
∴有方程组：
解得：
解法2：∵抛物线与x轴两个交点的坐标分别是（1，0）和（7，0）
∴设二次函数解析式为y＝a(x－1)(x－7)
把顶点（4，-3）代入得 －3＝a(4－1)（4－7）， 解得：a=
∴y＝
（x－1）（x－7） 即y＝
x2－
x＋
解法3：物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）
∴设y＝a(x－4)2－3
将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得 a＝
∴y＝
(x－4)2－3 即y＝
x2－
x＋
∴ 所求二次函数解析式为：y＝
x2－
x＋
点评：因为二次函数当x＝4时有最小值－3，所以顶点坐标为（4，－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。此题可用一般式解，也可以用双根式或顶点式或顶点坐标公式来解。
例2．如图，二次函数
的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与
轴相交于负半轴．
给出四个结论：①
；②
；③
；
④
．其中正确结论的序号是 ．
解：由图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；
∵对称轴x＝
在(1，0)的左侧，∴
＜1，∴
；
∵图象过点(－1，2)和(1，0)，∴
，∴
，b＝－1；
∴a＝1－c＞1.
∴正确的序号为：②③④．
点评：函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论.在复习总要加强这种思想方法的渗透.
例3．已知二次函数
的图象与直线
有公共点，且不等式
的解是－
＜x＜
，求a、b、c的取值范围.
解：依题意
有解，故Δ=b2－4a（c－25）≥0.又不等式
的解是－
＜x＜
，
∴a＜0且有－
=－
，
=－
.
∴b=
a，c=－
a.
∴b=－c，代入Δ≥0得c2+24c（c－25）≥0.
∴c≥24.故得a、b、c的取值范围为a≤－144，b≤－24，c≥24.
点评：二次方程
，二次不等式
（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.
例4已知函数
与非负
轴至少有一个交点，求
的取值范围
解：由题知
或
，得
点评：此题属于利用
的图象和性质，讨论解决二次方程
实根分布的问题。其方法可概括为：首先根据题设画出有关抛物线，然后写出问题成立的不等式（组）再解之。在分析时要抓住四点：开口方向、判别式
、对称轴与区间的相对位置和区间端点函数值的正负。
2
-1
1
O
y
x
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_1250796493.unknown
_1250842790.unknown
_1250842808.unknown
_1250842770.unknown
_1250793511.unknown
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_1250796444.unknown
_1250794878.unknown
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_1209832413.unknown
_1209831744.unknown
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