2012年全国初中数学联合竞赛试
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参考
答案
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2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准
规定
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的评分档次给分.如果考生的解答
方法
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和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知 ， ， ，那么 的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答】C. 因为 ， ，所以 ，故 .又 ，而 ，所以 ，故 .因此 . 2．方程 的整数解 的组数为 （ ） A．3. B．4. C．5. D．6. 【答】B. 方程即 ，显然 必须是偶数，所以可设 ，则原方程变为 ，它的整数解为 从而可求得原方程的整数解为 ＝ ， ， ， ，共4组. 3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ） A． B． C． D． 【答】D. 过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是△BEG的中位线，所以P为EG的中点. 又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点. 因此DG＝GP＝PE＝ DE＝ . 连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°. 又BD＝ ，所以BG＝ . 4．已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ ） A． . B．0. C．1. D． . 【答】B. . 因为 ，所以 ，从而 ，故 ，因此 ，即 . 因此 的最小值为0，当 或 时取得. 5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的所有可能的值之和为 （ ） A．0. B． . C． . D． . 【答】 B. 由一元二次方程的根与系数的关系可得 ， ，所以 ， . 又由 得 ，所以 ，所以 ，所以 . 代入检验可知： 均满足题意， 不满足题意. 因此，实数 的所有可能的值之和为 . 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ ） A．36个. B．40个. C．44个. D．48个. 【答】C. 根据使用的不同数字的个数分类考虑： （1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个. （2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个. （3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个. （4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个. 因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数 满足 ，则 _________． 【答】 . 由 得 ，代入 得 ，整理得 ① 又由 可得 ，代入①式得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 . 验证可知： 时 ； 时 .因此， . 2．使得 是完全平方数的整数 的个数为 ． 【答】 1． 设 （其中 为正整数），则 ，显然 为奇数，设 （其中 是正整数），则 ，即 . 显然 ，此时 和 互质，所以 或 或 解得 . 因此，满足要求的整数 只有1个. 3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ． 【答】 . 设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°. 作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝ BC. 又PF＝PA ∠BAE＝PA 60°＝ AP，PF＝CE，所以 AP＝ BC， 因此 ＝ . 4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ． 【答】 . 因为 ，所以 . 同理可得 ， . 结合 可得 ，所以 . 结合 ， ，可得 . 因此， . 实际上，满足条件的 可以分别为 . 第二试 （A) 一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为 （ ），则 . 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值. 由 及 得 ，所以 . 由 及 得 ，所以 . 又因为 为整数，所以 . ……………………5分 根据勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，所以 ， ……………………10分 因为 均为整数且 ，所以只可能是 解得 ……………………15分 所以，直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 . ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： . 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共4页） 证明：连接OA，OB，OC. ∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， . ……………………5分 又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆， ……………………10分 ∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ……………………20分 ∴ ，∴ . ……………………25分 三．（本题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的解析式. 解 易求得点P ，点C . 设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 . 显然， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，又AB的中点E的坐标为 ，所以AE＝ .……………………5分 因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 . ……………………10分 又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）. ……………………15分 又因为AM//BC，所以 ，即 . ……………………20分 把 代入解得 （另一解 舍去）. 因此，抛物线的解析式为 . ……………………25分 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共5页）
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