2011年数学建模C题答案

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：S26006所属学校（请填写完整的全名）：焦作师范高等专科学校参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2011年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011201120112011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：1企业退休职工养老金MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1715431582527_0的改革摘要“企业退休职工养老金”数学模型，是通过养老保险来探讨确定怎样的替换率来使得养老保险基金收支平衡。由于养老金制度的改革受到多方面的影响，我们在合理的假设下，利用数学知识联系实际问题，作出了相应的解答与处理。问题一：对其进行合理假设，根据材料一所提供的历年工资对材料给定的数据进行拟合，可以得到大致的年份与平均工资的函数图象，从而预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：对于第一小问，利用随机抽数在月收入的不同范围里为每个职工抽取月工资求均值，近而得到各年龄段职工的工资。把在所有月收入范围内抽取的月工资求和再除以所有职工人数求得企业平均工资。预测出60-64岁之间的员工的平均工资与企业平均工资比值，通过编写c#程序计算出各种情况下养老金的替代率。问题三：当养老保险基金入不敷出时，缺口等于出现的收支之差。根据附录中养老金的计算方法及利用Visualstdio2010编程计算缺口情况，并考虑替代率的高低影响缺口情况，再计算得到该职工领取养老金到63.5岁时其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：为既要达到目标替代率58.5%又要维持养老保险基金收支平衡，我们建议采取以下措施：（1）适当提高养老金的征缴年龄（2）适当提高征收比例（3）对个人基本养老金的利率予以特殊照顾（4）稳定物价，保持工资的平稳增长关键词：养老金，随机抽样，平均工资，matlab，c#，替代率。2一、问题的重述一、问题的重述一、问题的重述一、问题的重述我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。3二、合理假设1、每年的工资没有变动，只是在次年初工资发生变动。2、每年的经济没有发生大地变动，没有发生金融危机。四、问题分析四、问题分析四、问题分析四、问题分析（一）问题一的分析我国经济发展影响工资增长率，工资增长关系着人们的生活水平与切身利益，因此假设我国经济发展处于稳定增长状态、没有发生金融危机，工资增长水平一定。对于预测未来2011年到2035年的年平均工资，在我们做出合理、简化的假设之后，我们参考附件1，做1978年到2010年的所有年平均工资做数据处理，得到年份与年平均工资的函数关系，从而得到未来的年平均工资。首先通过对数据的二次拟合绘出二次函数图象，可知工资增长率增大，考虑到经济及其他因素对其的影响，可设想其图像为ｌｏｇｓｔｉｃ模型中的s曲线，由于对未来的几十年进行预测，其应该满足预期值。因此，我们考虑用二次函数进行拟合。由附录一的得出下图：（二）问题二的分析4从题目上看，此题分为两问。第一问为计算职工的缴费指数，从附件2来看，各年龄段不同，所得的工资不同，收入范围的不同，职工数也就不同，也不知道各个职工所得工资的具体数值，因此需要用随进变量，在一定的月收入范围内求出其总和、平均值以及各年龄段的月收入平均值，综合起来求出这个企业的月平均工资。从而得到职工缴费指数。第二问为计算养老金的替代率，根据题中所给的公式以及附表三所提供的数据，分类求出30岁到55岁、60岁、65岁与40岁到55岁、60岁、65岁的替代率。（三）问题三的分析缺口即收支之差，在问题二的基础上可以求得，求得缺口后可以计算该职工领取养老金到一定的年龄的时候，可以使其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。（四）问题四的分析根据以上三个问题的解答，得出既要达到目标替代率58.5%又要维持养老保险基金收支平衡三：符号规定与假设三：符号规定与假设三：符号规定与假设三：符号规定与假设A：表示社会统筹基金账户B：表示个人账户bi：第i年的年平均工资C：表示缴费指数D:账户储存额E：缴纳的社会的养老总的资金F：该人缴纳的总的养老费H：个人账户缴纳的总的资金I：资金缺口Y：养老金Y1：基础养老金Y2:个人账户养老金R:缴费年限S:个人指数化平均缴费工资T：计发月数M:全省上年度在岗职工月平均工资I：资金缺口J:退休前的工资Qn：表示不同年龄段的月平均工资。其中n=1、2……8，w：表示替代率5w0表示目标替代率。五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解问题一：用二次函数拟合如图x=[197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004200520062007200820092010];y=[566632745755769789985111013131428178219202150229226013149433851455809624168547656877210007113741256714332166141922822844264042968832074];plot(x,y)由函数关系是可得如下表格预测２０１１到２０３５的年平均工资：年份年平均工资年份年平均工资201131640202472090201234170202575880201336790202679770201439520202783760201542340202887840201645250202992020201748270203096300201851380203110068020195459020321051502020578902033109720620216130020341143902022648002035119160202368390问题二：(1)从各年龄段中随机抽取不同月收入中对应的相应的人数，用matlab求解可得即用randint（）求随机数然后求得各年龄段职工工资企业职工月平均收入总额表20-24岁职工924622888255920144189328500048796225-29岁职工4494414178521096511586419713114080054467930-34岁职工05662118462926162276235225179659061128335-39岁职工01981416785522972511761660821184321354462780740-44岁职工009677923639217951278373561602095366816945-49岁职工0482371029887992102122E+05819412617663728550-54岁职工011979508607910014365876803351322055641808855-59岁职工010819385757420611934826260331660302374月平均收入表年龄段月收入的平均数1000-14991500-19992000-24992500-29993500-39994000-49995000-800020-24岁职工12561730.62231.622745.5600025-29岁职工12161729.82222.562745.313802.670030-34岁职工01766.92249.92752.923752.834830035-39岁职工01779.22216.462744.023801.314608677240-44岁职工002282.952746.663732.0543206984745-49岁职工01757.72244.442783.313763.544552654450-54岁职工01677.12279.832742.033657.294392685255-59岁职工01759.72217.712741.223751.4347380得出的企业没年龄段的平均函数及其缴费指数年龄段平均工资缴费指数20-24岁职工1730.360.6725-29岁职工2071.020.830-34岁职工2025.960.9935-39岁职工2777.911.0840-44岁职工3023.391.1745-49岁职工3284.971.2750-54岁职工3096.951.255-59岁职工2993.81.16(2)2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率：设：养老金的为Y，基础养老金为Y1，个人账户养老金为Y2，个人指数化平均缴费工资为S，全省上年度在岗职工月平均工资M，缴费年限为R。那么Y1=基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%那么Y1=(全省上年在岗月平均工资（就是上一问算出来的企业平均工资）+S)/2*缴费年限*1%Y1=%12××+RSM81111212mmcccxxxcccSn×+×++×=⋯替代率=%100×退休前工资职工刚退休时的养老金W=(YI+Y2)/JJ=预测的工资代入公式可得30到55,30到60，30到65及40到55,40到60,40到65的替代率如下表格30到5530到6030到6540到5540到6040到6527.19%32.70%38.28%17.01%22.53%26.27%问题三缺口=支出-收入支出=领取养老金-缴纳的养老金领取养老金=基础养老金+个人账户养老金，即Y=Y1+Y2基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%，即Y1=%12××+RSM人账户养老金=计发月数账户储存额Y2=TD目标替代率w0=58.5%，w*J=Y，通过语言编程得到他的缺口情况。（见附录三）第一年帐户储存额为b1*8%（b1为年平均工资）第二年帐户储存额为b2*8%+b1*8%（1+3%）第三年帐户储存额为b3*8%+b2*8%(1+3%)+b1*8%(1+3%)^2第四年帐户储存额为b4*8%+b3*8%(1+3%)+b2*8%(1+3%)^2+b1*8%(1+3%)^3第五年帐户储存额为b5*8%+b4*8%(1+3%)+b3*8%(1+3%)^2+b2*8%(1+3%)^3+b1*8%(1+3%)^4第i年账户储存额为b[i]*8%+b[i-1]*8%(1+3%)+b[i-2]*8%(1+3%)^2…….+b1*8%(1+3%)^(i-1)（75-55)*12=6340569该人缴纳的总的养老费为：F=H（个人账户缴纳的总的资金）+E(缴纳的社会的养老总的资金)H=Z*m*12=251.1*26*12=78343E=195885.76F=H+E=78343+195885.76=274228.96I(资金缺口)=Q-F=634056-274229=359827有缺口的资金算它所占的年限B=I/A=359827/(2641*12)=11.35（年）他可以领到55+（20-11.35）=63.5岁当他在63.5岁的时候缴存的养老金基金与领取的养老金相等问题四可以采取以下措施1.适当提高养老金的征缴年龄2.适当提高征收比例3.对个人基本养老金的利率予以特殊照顾4.稳定物价，保持工资的平稳增长五、模型的评价与推广五、模型的评价与推广五、模型的评价与推广五、模型的评价与推广（1）模型的优点：把繁琐的过程变得简化，明了。利用随机数抽取更具有说服力。运用matlab画图使结果更清晰。用利用Visualstdio2010编程大大简化运算过程，结果一目了然。（2）模型的缺点：模型给出的措施，应给出理论数据支撑。六、参考文献[1]赵静但琦,数学建模与数学实验,北京：高等教育出版社，2000年[2]韩中庚，数学建模方法，北京：高等教育出版社，2009年10附录附录一：x=[1978197919801981198219831984198519861987198819891990199119921993199419951996199719981999200020012002200320042005200620072008200920102050];y=[566632745755769789985111013131428178219202150229226013149433851455809624168547656877210007113741256714332166141922822844264042968832074240000];x=x';y=y';st_=[20000100.5];ft_=fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1978)))',...'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...'coefficients',{'a','b','k'});cf_=fit(x,y,ft_,'Startpoint',st_)cf_=Generalmodel:cf_(x)=a/(1+b*exp(-k*(x-1978)))Coefficients(with95%confidencebounds):a=2.453e+005(2.441e+005,2.466e+005)b=609.1(546.4,671.7)k=0.1419(0.1382,0.1456)得出函数表达式为:y=245300/(1+609.1*exp(-0.1419*(x-1978)))再用MATLAB作图如下图：ezplot('245300/(1+609.1*exp(-0.1419*(x-1978)))',[1978,2050])附录二：usingSystem;usingSystem.Collections.Generic;11usingSystem.Linq;usingSystem.Text;namespace替代率{classProgram{staticvoidMain(string[]args){Console.WriteLine("请输入养老金启始年份：");inta=Int32.Parse(Console.ReadLine());Console.WriteLine("请输入缴费年限：");intb=Int32.Parse(Console.ReadLine());//intd=b-1978;doublee=0;for(inti=0;i<b;i++){doublef=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*i));e=e+f;}Console.WriteLine("这些年的工资之和为{0}",e);doubleg=e*0.08*System.Math.Pow((1+0.03),b);Console.WriteLine("人账户储存额{0}",g);doubleh=g/170;//170是计发月数Console.WriteLine("个个人账户养老金为{0}",h);//下面计算基础养老金数额//平均/企业平均值//0.67//0.8//0.99//1.08//1.17//1.27//1.2//1.16doublej=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*(b-1)));//全省上年度在岗职工月平均工资//Console.WriteLine("aaaaa{0}",j);double[]m=newdouble[30]{0.99,0.09,0.09,0.09,0.09,1.08,1.08,1.08,1.08,1.08,1.17,1.17,1.17,1.17,1.17,1.27,1.27,1.27,1.27,1.27,1.2,1.2,1.2,1.2,1.2,1.16,1.16,1.16,1.16,1.16,};//企业职工从30岁开始到60岁的缴费指数//double[]n=newdouble[b];12doubleo=0;for(intl=0;l<b;l++){o=o+m[l]*419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*l));}//Console.WriteLine("wwww{0}",o);doubles=0.01*b*(j+o)/2;Console.WriteLine("个人基础养老金为{0}",s);//下面计算替代率doublet=(s+h)/(419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*b)));Console.WriteLine("那么在这{0}到{1}的替代率为{2}",a,a+b,t);Console.ReadLine();}}}附录三：usingSystem;usingSystem.Collections.Generic;usingSystem.Linq;usingSystem.Text;namespace替代率{classProgram{staticvoidMain(string[]args){Console.WriteLine("请输入开始交养老金的启始年龄：");intv=Int32.Parse(Console.ReadLine());inta=2000;Console.WriteLine("请输入缴费年限：");intb=Int32.Parse(Console.ReadLine());doublee=0;doubleo=0;for(inti=32;i<32+b;i++){doublef=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*i));e=e+f;}//求总工资Console.WriteLine("这些年的工资之和为{0}",e);doubleg=e*0.08*System.Math.Pow((1+0.03),b);13Console.WriteLine("人账户储存额{0}",g);//下面计算基础养老金数额//平均/企业平均值//0.67//0.8//0.99//1.08//1.17//1.27//1.2//1.16if(v==30&b==25){double[]m=newdouble[35]{0.99,0.09,0.09,0.09,0.09,1.08,1.08,1.08,1.08,1.08,1.17,1.17,1.17,1.17,1.17,1.27,1.27,1.27,1.27,1.27,1.2,1.2,1.2,1.2,1.2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//企业职工从30岁开始到60岁的缴费指数for(intl=32;l<32+b;l++){o=o+m[l]*419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*l));}//下面就算此人从入险以来总共的工资数额doublekk=(2025.96+2777.91+3023.39+3284.97+3096.95)*5;doublemm=0.2*kk+kk*0.08*System.Math.Pow((1+0.03),25);//总共上缴的保险数额//下面求到死要领取多少基本养老金doubles=0;for(inti=48;i<48+20;i++){doublej=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*i));s=s+0.01*b*(j+o/(12*b))/2;}//则亏空的金额为doublepp=s-mm;Console.WriteLine("{0}",pp);Console.ReadLine();}elseif(v==30&b==30){14double[]m=newdouble[35]{0.99,0.09,0.09,0.09,0.09,1.08,1.08,1.08,1.08,1.08,1.17,1.17,1.17,1.17,1.17,1.27,1.27,1.27,1.27,1.27,1.2,1.2,1.2,1.2,1.2,1.16,1.16,1.16,1.16,1.16,0,0,0,0,0};//企业职工从30岁开始到60岁的缴费指数doublekk=(2025.96+2777.91+3023.39+3284.97+3096.95+2993.8)*5;doublemm=0.2*kk+kk*0.08*System.Math.Pow((1+0.03),30);//总共上缴的保险数额for(intl=32;l<32+b;l++){o=o+m[l]*419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*l));}doubles=0;for(inti=53;i<53+30;i++){doublej=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*i));s=s+0.01*b*(j+o/(12*b))/2;}doublepp=s-mm;Console.WriteLine("{0}",pp);Console.ReadLine();}elseif(v==30&b==35){double[]m=newdouble[35]{0.99,0.09,0.09,0.09,0.09,1.08,1.08,1.08,1.08,1.08,1.17,1.17,1.17,1.17,1.17,1.27,1.27,1.27,1.27,1.27,1.2,1.2,1.2,1.2,1.2,1.16,1.16,1.16,1.16,1.16,1,1,1,1,1};for(intl=32;l<32+b;l++){o=o+m[l]*419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,0.1319*l));}doublekk=(2025.96+2777.91+3023.39+3284.97+3096.95+2993.8+3000)*5;doublemm=0.2*kk+kk*0.08*System.Math.Pow((1+0.03),35);//总共上缴的保险数额doubles=0;for(inti=58;i<58+93;i++){doublej=419.81*(System.Math.Pow(2.718281828,150.1319*i));s=s+0.01*b*(j+o/(12*b))/2;}doublepp=s-mm;Console.WriteLine("{0}",pp);Console.ReadLine();}}}}