2002妊
第 4期
萍乡高等专科 学校 学报
Journal of Pingxiang College
2002
NO． 4
圆 锥 曲 线 离 心 率 的 一 个 公 式
林 元 重
(萍乡高等专科 学校 江西 萍乡 337000)
我们知道，圆锥曲线可由平面与圆锥相截而褥，当平面与圆锥轴线的交角0(o≤o≤ )小于
圆锥半顶角 a(o
a时，曲线为椭
圆 (0一 时为圆)。由此可见，曲线的形状由0和 a的大小所决定，因而，它的离心率 e也由 0和
a的值所确定。那么 e、o、a之间有怎样的关系式呢?
答案
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如下：
e 一 —
co
—
sO (*) ．
C0SOt 。
我们用解析几何的知识来证明 (*)式，在直角坐标系 0一 。，取原点 0为圆锥的顶点，取 Z
轴为圆锥的轴线，设平面过 点 (O，0，C)且平行 X轴 ，则圆锥面与平面的交线方程为
j +y _Z aI a · (1) < ‘I)
【--ycosO+ (z—C)simO=0
(1)中的第一个方程代
表
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圆锥面，a为圆锥的半顶角 ；第二个方程代表平面，0为平面与 Z轴
的交角 。
由于当。一a或。一号时，(*)式显然成 ，故只要对o<号且o≠a的情形，证明(*)式成
立就行 了 。
当 0< 且 o≠a时 ，方程 (1)所代表的曲线为双曲线或椭圆，它有一个对称中心 ，记为0 。
为了得到曲线的
标准
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方程 ，先求点 0 的坐标。在方程组 (1)中，令 x一0，得
y - Z an (2)
【一ycosO+ (z—C)simO=0
方程 组 (2)有两组解 为
f C·tanO·tana
{Yl一一 。
， l C·tanO
Zl： =—tanO+—tan~
① 收稿日期 ：2002—09一l6
f C·tanO·tana
IYz--
<
j C·tanO I
2：== —tanO--—tan~
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第四期 萍乡高等专科学校学报 ·7。
可知，点 O 的坐标为
作 坐标 变换
x0= 0
Y1+ Y2 c·tan0·tan。a
y。=T 一 ⋯■⋯ ⋯
1+ z2 c·tan。0
一T 一—tanZO-—tanZa
fx 一 x
jY 一 (y--y。)sinO+ (z--z。)cos0
lz 一 (y--yo)(--cosO)+ (z--zo)sin0
一 -- ycosO+ (z— c) sin0
(3)
这个 变换将 曲线 (1)所在平 面变为新 坐标系 O 一x～Y z 的坐标 面 z 一0；将 曲线 的对称 中心 O 变
为新 坐标系 的原点 ；将 曲线 的两对 称轴变 为新 坐标轴 x 和 Y 轴 。由 (3)解 得
一 (4)
将 (4)代人方程组 (1)中，并注意此时 z 一0，可得圆锥曲线在新坐标系 O 下的方程 (标准
方程)为
b。·sign(e一 口)
z = 0
+ y L
一 1 a。 (5)
其中signce—a 一fl1,0>a，b。一 ，a2一 二 耋
现在来计算曲线的离心率 e。当 ea时，曲线为椭园，这时
e ==
b2
一
至此 (*)式得证 。．
cos0
CoSa
cos0
CoSa
责任编辑：李汝全
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