主讲：林亮时间：2010.11性质：选修对象：信科08-1、22.0引言抛物型方程，是一类重要的偏微分方程。它讨论了与时间有关的非驻定问题。热传导方程就是是最简单的一种抛物型方程。差分方法是求解偏微分方程数值解最经典的方法之一，主要的思路是利用差分替代微分，把连续型化为离散型求出对应的数值解，而不是解析解。通常考虑的定解问题有二类：2.1差分格式建立的基础为了构造微分方程（2.1）的有限差分逼近，首先将解区域用二组平行于轴和轴的直线构成的网格覆盖,网格边长在方向为，在方向为（如图2.1所示）。和分别称为沿空间方向和时间方向的步长，网格的交点称为网格的结点。对初值问题来说，网格是对于初值问题，设则网格是如果算子不依赖于，即，则将式（2.17），代入算子中，即在中心差分算子代替了微分算子，于是有目前通常用于解方程（2.1）的各种差分方程，都是方程（2.25）的近似
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达式。下面各节，我们将以式（2.25）为基础，对简单的抛物型方程，推导一些常用差分格式。对于用差分方法求偏微分方程的数值解来说，设计差分方程，用之作为微分方程的近似，仅仅是第一步。本章除致力于这一研究外，特别着重讨论了诸如差分格式的稳定性、收敛性等基本问题，它们也是本书的主要内容之一。2.2显式差分格式现在，对抛物型方程（2.1）的几种特殊情况，从方程（2.25）出发，构造微分方程的有限差分近似。2.2.1一维常系数热传导方程的古典显式格式首先考虑一维热传导方程的差分近似，由此，方程（2.24）为（2.26）与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的。2.3隐式差分格式2.3.1古典隐式格式现在对热传导方程推导其最简单的隐式差分逼近——古典隐式格式。由故 式中左边如果仅保留二阶导数项，且以替代，则得差分格式 或者（2.41） 格式用图2.5表示，其截断误差阶为,与古典差分格式相同。 图2.5：m,n+1m,nm+1,n+1m-1,n+1为了求得第（n+1）时间层上的的值，必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式（2.41）通常称为古典隐式格式。我们也可以通过直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到格式（2.41）。2.3.2Crank-Nicolson隐式格式Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程（2.26）的常用的差分格式，为了推导它，由式（2.24），有由得（2.42）两边仅保留前二项，用代替，则得差分格式（2.43）这是一个隐式差分格式，称为Crank-Nicolson差分格式，截断误差阶为，也可写为（2.44）由于格式（2.44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.6所示）。图2.6也可将代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。m-1,n+1m,n+1m+1,n+1m-1,nm,nm+1,n基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在前式（2.42）中仅保留直到的项，即有由式(2.19.3),可令则可得代入上式，则有如下差分格式：它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶（2.45）例2.1解初边值问题应用（1）Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况，令（r的这个值对Douglas格式有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通过上述二个格式的每一个逐层求出的值。一般而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上述定解问题的理论解，记为，有记分别为用高速数字计算机解出的Crank-Nicolson格式的解，而分别表示它们对精确解的误差，在，时间层n上，。它们的值由表2.2给出。表2.2 0.994497915630 0.000011 0.000000000026 0.489026104192 0.000022 -0.000000000051 0.978172634773 0.000040 -0.000000000101 0.956821703419 0.000079 -0.000000000198 0.915507772134 0.000151 -0.000000000379 0.643146895793 0.000531 -0.000000000331 0.413637929568 0.000683 -0.000000001712 0.171096336778 0.000564 -0.000000001417 0.629273956459 0.000194 -0.000000000485 0.012108818740 0.000100 -0.0000000002572.3.3加权六点隐式格式前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式、古典隐式格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。由得即两边去掉高于二阶导数的项，且用代替，则得差分格式或这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。（2.46） 显然，当时，加权六点格式为古典显示格式； 当时，加权六点格式为Crank-Nicolson隐式格式； 当时，加权六点格式为古典隐式格式。 加权六点格式亦可直接由差商代替导数得到图2.7m-1,n+1m,n+1m+1,n+1m-1,nm,nm+1,n2.3.4系数依赖于x,t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导考虑方程的差分逼近（2.47）已知由其Taylor展开式可得据此，可得（2.48）令代入式（2.48），则因此得差分方程（2.49.1）格式（2.49.1）具有截断误差阶，可写成更方便的形式（2.49.2）这是一个隐式差分格式（如图2.8所示）。图2.8m-1,n+1m,n+1m+1,n+1m-1,nm,nm+1,n
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