第3讲 二项式定理概要第*页夯基释疑第*页考点一通项
公式
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及其应用考点突破第*页规律方法考点一通项公式及其应用考点突破(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问
题
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可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．第*页考点一通项公式及其应用考点突破【训练1】(1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4B．－3C．－2D．－1(2)(2014·湖南卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))eq\s\up12(5)的展开式中x2y3的系数是( )A．－20B．－5C．5D．20解析(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·xr，所以当r＝2时，(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为Ceq\o\al(2,5)，当r＝1时，x2的系数为Ceq\o\al(1,5)·a，所以Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·a＝5，a＝－1，故选D.(2)展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(5－k).(－2y)k＝(－1)k·22k－5Ceq\o\al(k,5)x5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中的x2y3的系数为(－1)3·22×3－5Ceq\o\al(3,5)＝－20，故选A.
答案
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(1)D (2)A第*页考点二二项式系数的性质与各项系数和解析 考点突破(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令x＝0，得a0＝1.令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.(2)由题意知，Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(6,n)，∴n＝8.∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·x8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,8)·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴eq\f(1,x2)的系数为Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝56.答案 (1)B (2)56第*页规律方法考点二二项式系数的性质与各项系数和考点突破第*页考点二二项式系数的性质与各项系数和考点突破解析【训练2】(1)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))eq\s\up12(n)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A．180B．90C．45D．360(2)若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2014,22014)的值为________．(1)由二项式系数的性质，得n＝10，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,10)·x5－eq\f(5,2)r，令5－eq\f(5,2)r＝0，则r＝2，从而T3＝4Ceq\o\al(2,10)＝180.(2)令x＝0，得a0＝(1－0)2013＝1.令x＝eq\f(1,2)，则a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2014,22014)＝0，∴eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2014,22014)＝－1.第*页考点三 二项式定理的应用解析考点突破(1)512012＋a＝(52－1)2012＋a＝Ceq\o\al(0,2012)·522012－Ceq\o\al(1,2012)·522011＋…＋Ceq\o\al(2011,2012)×52·(－1)2011＋Ceq\o\al(2012,2012)·(－1)2012＋a，∵Ceq\o\al(0,2012)·522012－Ceq\o\al(1,2012)·522011＋…＋Ceq\o\al(2011,2012)×52·(－1)2011能被13整除．且512012＋a能被13整除，∴Ceq\o\al(2012,2012)·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.证明(2)当n≥3，n∈N*.2n＝(1＋1)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)≥Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝2n＋2>2n＋1，∴不等式成立．第*页规律方法考点三 二项式定理的应用考点突破第*页解析考点三 二项式定理的应用考点突破S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝Ceq\o\al(0,9)×99－Ceq\o\al(1,9)×98＋…＋Ceq\o\al(8,9)×9－Ceq\o\al(9,9)－1＝9(Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9))－2.∵Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9)是整数，∴S被9除的余数为7.答案 7第*页思想方法课堂小结1．通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．第*页易错防范课堂小结1．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念．3．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.第*页（见教辅）
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