单个总体均值方差的检验

单个总体均值方差的检验概率论与数理统计主讲教师：关丽北京工业大学应用数理学院第八章假设检验§8.1基本概念下面，我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题——根据样本提供的信息，检验总体的某个假设是否成立的问题。这类问题称为假设检验。假设检验参数检验非参数检验总体分布已知情形下，检验未知参数的某个假设总体分布未知情形下的假设检验问题先看一个例子。例1：某工厂生产10欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为:电阻值X服从正态分布N(,0.12)。现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9.9,10.1,10.2,9.7,...

概率论与数理统计主讲教师：关丽北京工业大学应用数理学院第八章假设检验§8.1基本概念下面，我们讨论不同于参数估计问题的另一类统计推断问题——根据样本提供的信息，检验总体的某个假设是否成立的问题。这类问题称为假设检验。假设检验参数检验非参数检验总体分布已知情形下，检验未知参数的某个假设总体分布未知情形下的假设检验问题先看一个例子。例1：某工厂生产10欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为:电阻值X服从正态分布N(,0.12)。现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10.0,10.5,10.1,10.2.问:从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平均值=10欧姆?●确定总体：记X为该厂生产电阻的测量值，则X～N(,0.12)；●明确任务：通过样本推断“X的均值μ是否等于10欧姆”；●假设：“X的均值μ=10”这一假设是否成立?I.如何建立检验模型原假设的对立面是“X的均值μ≠10”，称为“对立假设”或“备择假设”，记成“H1:μ≠10”。把原假设和对立假设合写在一起，就是:H0：μ=10；H1：μ≠10.在数理统计中，把“X的均值μ=10”这样一个待检验的假设记为“原假设”或“零假设”,记成“H0：μ=10”。II.解决问题的思路因样本均值是μ的一个很好的估计。所以，当μ=10，即原假设H0成立时,应比较小；如果该值过大,想必H0不成立。于是，我们就用的大小检验H0是否成立。合理的做法应该是：找出一个界限c，这里的问题是：如何确定常数c呢？细致地分析:根据定理6.4.1，有于是，当原假设H0：μ=10成立时，有为确定常数c，我们考虑一个很小的正数，如=0.05。当原假设H0:μ=10成立时，有于是，我们就得到如下检验准则:为原假设H0的拒绝域。用以上检验准则处理我们的问题，所以，接受原假设H0:μ=10。因为，当原假设是H0:μ=10成立时，所以，当很小时，若H0为真(正确),则检验统计量落入拒绝域是一小概率事件(概率很小，为)。前面我们曾提到：“通常认为小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。III.方法原理那么，如果小概率事件发生了，即:发生,就拒绝接受H0成立，即认为H0不成立。IV.两类错误与显著性水平当我们检验一个假设H0时，有可能犯以下两类错误之一：H0是正确的，但被我们拒绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了正确假设；H0是不正确的，但被我们接受了，这就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。因为检验统计量总是随机的，所以，我们总是以一定的概率犯以上两类错误。通常用α和β记犯第一、第二类错误的概率，即在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率;反之亦然。所以，犯两类错误的概率不能同时得到控制。§8.2正态总体均值的假设检验8.2.1单正态总体N(,2)均值的检验1.双边检验H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0假设2已知，根据上节中的例1，当原假设H0:μ=μ0成立时，有在应用上，2未知的情况是常见的。此时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替未知的2。以上检验法称作U检验法。当2未知时，根据基本定理6.4.1，当原假设H0:μ=μ0成立时，有此检验法称作t检验法。解：n=10,=0.05,0=10，t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622，例1(续例8.1.1):假设2未知，检验所以，接受原假设H0:μ=10.H0:μ=10；H1:μ≠10.上一段中，H0:μ=μ0;H1:μ≠μ0的对立假设为H1:μ≠μ0,该假设称为双边对立假设。2.单边检验H0:μ=μ0;H1:μ>μ0而现在要处理的对立假设为H1:μ>μ0,称为右边对立假设。类似地，H0:μ=μ0;H1:μ<μ0中的对立假设H1:μ<μ0，假设称为左边对立假设。右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为。我们想了解“是否显著地大于μ0”,即产品的质量指标是否显著地增加了。如果μ=μ0，即原假设成立，则就不应太大；反之，如果过大，就认为原假设不成立。在2已知情况下，根据定理6.4.1，知：当原假设成立时，单边检验H0:μ=μ0;H1:μ>μ0在2未知情况下，当原假设成立时，例2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值μ0=15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所承受的最大拉力μ比15公斤增大了。为检验该厂的结论是否真实，从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤。取显著性水平=0.01。问从这些样本看：能否接受厂方的结论。解：问题归结为检验如下假设H0:μ=15;H1:μ>15(2未知)于是，从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力。利用样本方差S2是2的一个无偏估计，且(n-1)S2/2~χ2n-1的结论。8.3.1单个正态总体方差的χ2检验设X1,X2,…,Xn为来自总体N(,2)的样本，和2未知，求下列假设的显著性水平为的检验。思路分析:1.H0:2=02；H1:2≠02§8.3正态总体方差的检验当原假设H0:2=02成立时，S2和02应该比较接近，即比值S2/02应接近于1。所以,这个比值过大或过小时，应拒绝原假设。合理的做法是:找两个合适的界限c1和c2,●当c1<(n-1)S2/0202例1：某公司生产的发动机部件的直径(单位:cm)服从正态分布，并称其标准差0=0.048。现随机抽取5个部件，测得它们的直径为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取=0.05，问:(1).能否认为该公司生产的发动机部件的直径的标准差确实为=0?(2).能否认为≤0?解:(1).的问题就是检验H0:2=02;H1:2≠02.其中，n=5，=0.05，0=0.048.故，拒绝原假设H0，即认为部件直径标准差不是0.048cm。经计算，得S2=0.00778,故，拒绝原假设H0，即认为部件的直径标准差超过了0.048cm。(2).的问题是检验H0:2≤02;H1:2>02.小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

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