基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性

机械工程学报JOURNALOFMECHANICALENGINEERING第46卷第17期2010年9月Vol.46No.17Sep.2010DOI：10.3901/JME.2010.17.055基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性*石照耀康焱林家春(北京工业大学机械工程与应用电子技术学院北京100124)摘要：迄今提出的各种齿轮动力学模型，在处理齿轮误差的影响时，都回避因齿轮重合度大于1而分不清单双啮区的事实，由此得出的结果不能较全面反映实际情况。基于齿轮副整体误差概念，综合考虑齿轮啮合过程的时变啮合刚度、误差激励等非线性因素，建立一种新的考虑单、双啮过程的直齿轮动力学模型，能更精确地描述齿轮系统的动力学行为，解决现有模型存在的主要问题；应用变步长四阶Rounge-Kutta法获得新动力学模型的高精度数值解；定量研究不同工作条件下啮合刚度、加工误差对振动响应的影响，研究结果对于完整认识复杂的齿轮动态性能、进行动态优化 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 具有重要的理论和实用价值。关键词：齿轮齿轮整体误差动力学模型时变啮合刚度动态响应中图分类号：TH113ComprehensiveDynamicsModelandDynamicResponseAnalysisofaSpurGearPairBasedonGearPairIntegratedErrorSHIZhaoyaoKANGYanLINJiachun(CollegeofMechanicalEngineeringandAppliedElectronicsTechnology,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100124)Abstract：Theexistinggeardynamicsmodels,whendealingwiththeeffectofgearerrorongeardynamics,alwaysomitdistinguishingonepairofteethfromtwopairsofteethincontactduringgeartransmissionsincethecontactratioofgearsisgreaterthanone.Therefore,thesemodelsareunabletoindicatetheoverallrealconditions.Basedontheconceptofgearpairintegratederror(GPIE)isproposedanewcomprehensivedynamicsmodelforspurgearpair,takingintoaccountthenumberofteethincontact,isbuilttoovercomethedrawbacksofexistingmodels.Meanwhile,thenonlinearfactorssuchasgearerrors,time-varyingmeshstiffnessandloadsharingareconsideredinthenewmodel.Critically,theGPIEhastheadvantagetoidentifythenumberofteethincontactinthewholegearrotationprocess,thusovercomingthelimitationsinconventionalgeardynamicsmodels.AccordingtotheactualGPIEcurvefromagearintegratederrortester,thesimulationsofagearpairundervariousworkingconditionsareconductedbythenewmodel,andthegeardynamicbehaviorsareanalyzed.Theresearchresultsclarifysomephenomenarelatedtogeartransmission,andcanbeusedindynamicsdesignandnoisecontrolofgears.Keywords：GearGearintegratederrorDynamicsmodelTime-varyingmeshstiffnessDynamicresponse0前言*几十年来，齿轮系统动力学一直受到人们的广泛关注[1]，国内外学者以系统非线性振动理论为基∗国家自然科学基金资助项目(50575003,50875003)。20090918收到初稿，20100412收到修改稿础，以齿轮啮合过程的时变啮合刚度、误差激励、阻尼和齿侧间隙等非线性因素为核心，对齿轮系统非线性振动问题进行了大量研究，根据非线性因素的个数和齿轮系统的具体情况以及 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 目的等，提出了各种形式的动力学模型[2-4]，其中单对齿轮副的动力学模型是最简单的分析模型，主要是用来研究由轮齿啮合本身所产生的振动特性，体现了齿轮系机械工程学报第46卷第17期期56统是一种非线性的参数振动系统[5]。在一定意义上,正是单对齿轮副的动力学模型反映了齿轮系统动力学的基本性质和基本特征， 决定 郑伟家庭教育讲座全集个人独资股东决定成立安全领导小组关于成立临时党支部关于注销分公司决定 了进行分析研究所必须采用的理论和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 [6]。因此，单对齿轮副的动力学模型一直是齿轮动力学系统研究的核心问题，国内外大量的理论和试验表明这种模型在研究齿轮动态特性中是有效的[7-9]。但是，在齿轮传动中，为了保证传动的平稳过渡和连续进行，要求前一对轮齿未完成啮合时，后一对轮齿就进入啮合，通过两对轮齿的共同啮合把前一对轮的承载工作平稳地传到后一对轮齿上去，这就使得每对轮齿在啮合的开始区和终止区是两对轮齿同时参与啮合。因此，一个轮齿的完整啮合过程可以分为“双啮－单啮－双啮”三个过程，图1为任意的第j对轮齿的三个啮合过程，其中ω1，ω2为角速度。图1第j个齿对的完整啮合过程由图1可见，在第j对轮齿的前后两个双啮过程中，共同参与啮合的轮齿有所不同，在第一个双啮过程中(图1a)，是第j对轮齿和第1j−对轮齿共同参与啮合，而在第两个双啮过程中(图1c)，是第j对轮齿和第1j+对轮齿共同参与啮合。可见，一对轮齿的完整啮合过程包括“双啮－单啮－双啮”3个过程，3个过程中一共有3对轮齿参与了啮合。而现有的动力学模型中，一般都把轮齿的啮合过程简化为由一个刚度()kt和一个啮合误差()et组成的等效数学模型，从理论上讲这样就会出现以下一些问题。(1)分不清单对轮齿啮合和双对轮齿啮合过程，即不清楚引起模型中静态传动误差()et的是一对轮齿还是两对轮齿。(2)分不清误差的来源，即不清楚()et是代表哪对轮齿的误差。(3)在双齿啮合区，不能反映两对共同参与啮合的轮齿的误差是如何相互影响系统的动态特性。针对上面提到的第一个问题，在国外，AMABILI等[10]提出了一种如图2所示的直齿轮单自由度模型；在国内，邵忍平等[11]也建立了与之相似的单对齿轮传动的动力学模型。在这类模型中(图2)，分别用1()kt、2()kt和1()et、2()et表示两对啮合轮齿的单对齿啮合刚度和静态传动误差。在齿轮动力学分析研究中，这类模型考虑了一对轮齿的单对轮齿啮合和双对轮齿啮合过程。但是，它用两个刚度函数(1()kt、2()kt)和两个误差函数(1()et、2()et)来表示一对轮齿的三个啮合过程中涉及到的三对轮齿(图2)的刚度函数和误差函数显然是不全面和不科学的。图2直齿轮单自由度动力学模型另外，对于系统受到的误差激励，这些模型和之前的模型一样，仍是用静态传动误差来表示。齿轮副的静态传动误差一般通过单面啮合法测量获得，单面啮合法测量是模拟齿轮的使用状态来进行的，在测量传动误差时，由于重合度ε＞1，存在相邻两对(或两对以上)的轮齿被同时测量，因而分不清静态传动误差曲线上各误差点是代表哪对齿面上哪一部分的误差。当啮合齿对存在基节偏差时就会使底下的一对齿面脱离接触而不参加啮合，显然这时实际上只对突出齿面进行测量。由于被测齿对的误差在测量时还是一个未知数，因此一般单啮测量就不知道同时测到一对齿面还是两对齿面，也不知道是测到齿面上哪一部分，同时也不能知道在双啮区时两对齿面的误差是如何相互影响传动质量的。因此，把静态传动误差用于齿轮系统的动力学研究时，就会带来上述问题。为了解决问题，本文在建立新的动力学模型时引入了石照耀提出的齿轮副整体误差概念[12]。1齿轮副整体误差的概念齿轮副整体误差(Gearpairintegratederror,GPIE)是以我国提出齿轮整体误差测量技术[13-14]为基础，根据误差作用原理和机构的精度理论而合成得到，目的是解决齿轮传动误差在研究齿轮动态特性和振动噪声时的不足。月2010年9月石照耀等：基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性57齿轮副整体误差曲线把主、从动轮所有的啮合齿对工作面上的误差视为一个整体，将各点误差值以同一零位计数，并按各点的实际啮合顺序统一在啮合线上以啮合线增量来表示[15]。一对齿轮副的齿轮副整体误差不是一个单一的值，而是啮合点位置的函数，通常用齿轮副整体误差曲线来表示。齿轮副整体误差曲线与传动误差(Transmissionerror，TE)曲线相比(图3)，它包含的误差信息更全面，不但反映了啮合过程中主、从动轮误差相互作用的结果，其外包络线就代表了该对齿轮副的静态传动误差曲线，更重要的是反映了主、从动轮上每个啮合齿对的完整过程，尤其揭示了在双啮区两对共同参与啮合的轮齿的误差是如何相互影响和相互作用的；而且相对于传动误差曲线，齿轮副整体误差曲线上的误差值与主从轮上的接触点一一对应，因此，它可以很清楚地确定各误差值是代表哪个齿面上哪一部分的误差。图3齿轮副整体误差的概念及其与传动误差的比较因此，齿轮副整体误差提供了齿轮副全部共轭齿面上完整的误差信息，克服了传动误差在研究问题中的局限性，既可进行齿轮啮合过程的研究和传动质量的评定，又可以用于误差溯源，进行齿轮工艺误差的分析。齿轮副整体误差可以采用间接测量法。首先利用齿轮整体误差测量仪CZ450[16]测量主、从动轮的齿轮整体误差，然后根据误差作用原理和齿轮啮合原理合成齿轮副整体误差曲线[15]。下表为实际被测齿轮副的基本齿轮参数，图4为通过齿轮整体误差测量仪CZ450测得的该齿轮副的主、从动轮的齿轮整体误差后，合成得到的该齿轮副的齿轮副整体误差曲线及其幅频曲线。表齿轮参数参数数值主动轮从动轮齿数z2525模数m/mm2.252.25压力角α/(°)2020转速n/(r·min–1)250250图4齿轮副整体误差曲线及其幅频曲线2基于齿轮副整体误差的直齿轮动力学模型齿轮传动系统是一个含有时变啮合刚度、误差激励和啮合阻尼等多种非线性因素的动力系统。设()()jkt和()()jFt∑分别为齿轮副任意的第j对轮齿的单对齿啮合刚度(图5)和齿轮副整体误差，c表示齿轮副的啮合阻尼。建模时假设齿轮系统的传动轴和轴承的刚度足够大，不考虑运动时由支承轴承所产生的摩擦的影响；假设啮合的两齿轮均为渐开线直齿圆柱齿轮(12ε<≤)，齿轮之间的啮合力始终作用在啮合线方向上；充分考虑一对轮齿啮合的3个过程和三个过程中一共有3对轮齿参与了啮合的实际情况，单对齿轮副的动力学模型可以简化为如图6所示的形式。转动惯量分别为1I和2I的主动齿轮和从动齿轮的基圆半径分别为b1R和b2R，转动角分别为1θ和2θ，所受到的外力矩分别为1T和2T。机械工程学报第46卷第17期期58图5齿轮副综合啮合刚度图6新的直齿轮副动力学模型为了表达方便，首先假设三对轮齿同时作用，根据第二类拉格朗日方程，可以建立假设条件下系统的动力学模型如式(1)所示。(1)11b11b12b2()b11b12b2(1)b11b12b2(1)(1)b11b12b2()()b11b12b2(1)(b11b12b2()()()()()()()()(jjjjjjjjjIcRRRFcRRRFcRRRFktRRRFktRRRFktRRRFθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&&&&−∑∑+∑−−∑∑+∑+−−+−−+−−+−−+−−+−−1)1(1)22b21b12b2()b21b12b2(1)b21b12b2(1)(1)b21b12b2()()b21b12b2(1)b21b12)()()()()()()()()(jjjjjjjjTIcRRRFcRRRFcRRRFktRRRFktRRRFktRRRθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&&&&+−∑∑+∑−−∑∑+=+−−−−−−−−−−−−−−−−(1)b22)jFT+∑⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−=−⎩(1)引入轮齿在啮合线上的相对位移()xt为齿轮副动态整体误差b11b22()()()xtRtRtθθ=−(2)同时充分考虑每对轮齿的实际啮合时间，消除上面的假设条件，由式(1)可得到新动力学模型的实际运动方程emmh()2()()()()()mxtcxtktxtWtWt++=+&&&(3)式中，em为系统的等效质量，2e121b2(mIIIR=+22b1)IR；m1b12b2()WtTRTR==，它是系统的等效外部激励；112()zTzθ=π，它是系统的啮合周期(1z为主动轮的齿数)。系统的综合啮合刚度为()()()m()()()()(1)()()(1)()()0,1,2,jjzzzzjzzzzjjzzzzzktTktnTtnTTktktTTtnTTktktTnTTtnTTnεεε�⎧−+<<+−⎪⎪=+−≤≤+⎨⎪+++<<+⎪⎩=⋅⋅⋅系统的等效内部激励为()(1)()()(1)()()()()()()()(1)()(1)()()()()[()()](1)()()()()(1)()()()()[()()]jjjjzjjzzzjjjhzzzzjjjjzjjzktTFtktFtcFtFtnTtnTTWtktFtcFtnTTtnTTktFtktTFtcFtFtnTTεε−∑∑−∑∑∑∑+∑∑+∑∑−+++<<+−=++−≤≤++++++&&&&&0,1,2,zzztnTTnε⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<+⎩=⋅⋅⋅在方程式中，齿轮副整体误差可以表示为()Ft∑={}()()jFt∑，1,2,j=L。它是以齿轮整体误差测量仪CZ450的测量结果为基础，由离散的点组成的数组集合。在计算它的导数时这里选择中间差分法。3基于新模型的动态响应新模型是一种非线性的参数振动模型，建立的方程为二阶非线性变系数常微分方程；与此同时，新模型同时考虑了误差激励和时变的齿轮副综合啮合刚度激励(图5)，使得描述新模型动力学特性的方程更加复杂，直接求解这类方程解析解比较困难，因此，本文通过变步长四阶Rounge-Kutta法求解高精度的数值解。3.1模拟误差激励下新模型的动态响应为了验证求解过程的可靠性和正确性，首先计算了模拟齿轮副整体误差条件下的数值解。图7中的模拟齿轮副整体误差由三种周期的正弦信号组成，分别表示为长周期误差、短周期误差和一个齿上的加工误差。图8为空载时模拟齿轮副整体误差激励下的动态响应曲线，也是由三种频率的正弦函数组成，分析表明，它与前面构造的误差激励的频率成分一一对应，只是幅度和相位发生了变化。这种正弦的不变性证明了新模型求解的正确。3.2不同载荷作用下新模型的动态响应在实际误差激励下新模型的动态响应表现为一次谐波和啮合频率及其谐波的振动，同时具有单双啮依次交替的特点。在不同载荷条件下时，动态响应与误差激励(齿轮副整体误差)和刚度激励具有月2010年9月石照耀等：基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性59图7模拟齿轮副整体误差及其幅频曲线图8模拟误差作用下新模型的动态响应一一对应的频率成分，分为长周期频率和短周期频率，图9分别为空载、2.5kN、5.0kN和7.5kN条件下实际齿轮副(如下表所示)的动态响应曲线及其幅频曲线。图9不同载荷作用下新模型的动态响应由图9可见，在啮合过程中，当轮齿由单对轮齿啮合过渡到双对轮齿啮合时，将产生很大的冲击，这表明齿轮啮合刚度的变化是产生振动的主要原因，而且随着载荷的增加，由刚度激励引起的动态响应在加剧，误差激励引起的动态响应在减少。可见，对于动力齿轮，尤其是重载齿轮，影响动态响应的主要是刚度激励，可以采取适当的齿廓修形来有效地改善这种动态响应。3.3不同转速下新模型的动态响应图10为外载荷为8kN时，主动轮转速分别为250r/min、500r/min、1000r/min和1500r/min条件下的动态响应曲线。由图10可以看出：随着转速的增加，由误差激励引起的动态响应加剧，刚度激励引起的动态响应基本不变。可见对于高速齿轮，影响动态特性的主要是误差激励，可以通过提高加工精度和齿轮配对等方法来减小误差激励引起的动态响应。另外，虽然齿轮啮合时，在节点处会因摩擦力方向的突变产生脉动冲击，但是实际结果中看不出这种突变的影响，由此说明，在通常条件下，摩擦机械工程学报第46卷第17期期60力对齿轮系统动态响应的影响比较小。图10不同转速下新模型的动态响应4结论(1)齿轮系统的动态响应与误差激励(齿轮副整体误差)具有一一对应的频率关系，其响应振幅不仅与误差量的大小有关，而且还与误差的方向、啮合刚度、载荷和转速等齿轮参数有关；对于动力齿轮，尤其是重载齿轮，刚度激励对系统响应幅值的影响占主导，控制刚度(齿廓修形)是改善齿轮传动准确性与动态稳定性的关键，对于高速齿轮，误差激励占主导影响，可以通过提高加工精度和齿轮配对等方法来减小这种动态响应。(2)以齿轮副整体误差为基础的新动力学模型以及计算结果可以为分析和控制齿轮系统的动力学行为提供科学的理论依据。参考文献[1]王建军，李其汉，李润方.齿轮系统非线性振动研究进展[J].力学进展，2005，35(1)：37-51.WANGJianjun，LIQihan，LIRunfang.Researchadvancesfornonlinearvibrationofgeartransmissionsystems[J].AdvancesinMechanics，2005，35(1)：37-51.[2]CAIY.Simulationontherotationalvibrationofhelicalgearsinconsiderationofthetoothseparationphenomenon(anewstiffnessfunctionofhelicalinvolutetoothpair)[J].ASMEMech.Des.，1995，117：460-469.[3]VINAYAKH，SINGHR.Multi-bodydynamicsandmodalanalysisofcompliantgearbodies[J].JournalofSoundandVibration，1998，210(2)：171-214.[4]GIORGIOBMRB，FRANCESCOP.Optimumprofilemodificationsofspurgearsbymeansofgeneticalgorithms[J].JournalofSoundandVibration，2008，313：603-616.[5]RAGHOTHAMAA，NARAYANANS.Bifurcationandchaosingearedrotorbearingsystembyincrementalharmonicbalancemethod[J].JournalofSoundandVibration，1999，226(3)：469-492.[6]LIMTC，LIJ.Dynamicanalysisofmulti-meshcounter-shafttransmission[J].JournalofSoundandVibration，1999，219(5)：905-919.[7]AMABILIM，RIVOLAA.Dynamicanalysisofspurgearpairs：Steady-stateresponseandstabilityoftheSDOFmodelwithtime-varyingmeshdamping[J].MechanicalSystemSignalProcess，1997，11：375-390.[8]张琳娜，韩捷.具有误差激励齿轮副的动态响应研究[J].计量学报，1997，18(3)：216-221.ZHANGLinna，HANJie.Studyonthedynamicresponseofthegearpairwitherrorexcitation[J].ActaMetrologicaSinica，1997，18(3)：216-221.[9]GIORGIOB，FRANCESCOP.Non-smoothdynamicsofspurgearswithmanufacturingerrors[J].JournalofSoundandVibration，2007，306：271-283.[10]AMABILIM，FREGOLENTA.Amethodtoidentifymodalparametersandgearerrorsbyvibrationsofaspurgearpair[J].JournalofSoundandVibration，1998，214(2)：339-357.[11]邵忍平，郭万林，李宗斌.齿轮传动振动噪声计算的Kato方法[J].机械，2002，29(3)：12-14.SHAORenping，GUOWanlin，LIZongbin.Thekatomethodofvibrationandnoiseestimationingeartransmission[J].Mechanics，2002，29(3)：12-14.[12]石照耀.齿轮整体误差与齿轮传动噪声关系研究[D].西安：陕西机械学院，1988.SHIZhaoyao.Theresearchontherelationofthegearintegratederrorandgearnoise[D].Xi’an：ShanxiInstituteofMechanical，1988.[13]黄潼年.齿轮动态全误差曲线及其测量方法[J].中国科学，1974(4)：434-453.HUANGTongnian.Geardynamiccompositeerroranditsmeasurementmethod[J].ScienceinChina，1974(4)：434-453.[14]姚福生，石照耀.中国特色的齿轮测量——齿轮整体误差测量技术[J].中国科学技术前沿，1997(6)：398-416.YAOFusheng，SHIZhaoyao.AnewkindofgearmeasurementtechnologydevelopedinChina―thegear月2010年9月石照耀等：基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性61integratederrormeasurementtechnology[J].FrontierScienceandTechnologyinChina，1997(6)：398-416.[15]KANGYan，SHIZhaoyao，LINJiachun.Thegearpairintegrationerrorcurveanditsatlas[J].Proc.ofSPIE，2008，7128：71281V.1-71281V.8[16]石照耀，唐为军.齿轮整体误差测量系统的重构[J].机械传动，2007，31(1)：1-3.SHIZhaoyao，TANGWeijun.Reconstructionofthegearintegratederrormeasuringsystem[J].JournalofMechanicalTransmission，2007，31(1)：1-3.作者简介：石照耀，男，1964年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为齿轮工程和精密测试技术及仪器。E-mail：shizhaoyao@bjut.edu.cn康焱，男，1981年出生，博士研究生。主要研究方向为齿轮动力学和精密测试技术与仪器。E-mail：kangyan@emails.bjut.com.cn林家春，男，1978年出生，博士，副教授，主要研究方向为精密测量技术与仪器。E-mail：linjc@bjut.edu.cn(上接第54页)[13]LUKBL，COOKEDS，GALTS，etal.Intelligentleggedclimbingservicerobotforremotemaintenanceapplicationsinhazardousenvironments[J].JournalofRoboticsandAutonomousSystem，ROBOT-1247，2005，53(2)：142-152.[14]ZHUTao，LIURong，WANGXudong，etal.Principleandapplicationofvibratingsuctionmethods[C]//Proceedingsofthe2006IEEEInternationalConferenceonRoboticsandBiomimetics，December17-20，2006，Kunming，China.IEEE，2006：491-495.[15]WANGKun，WANGWei，LIDazhai，etal.Analysisoftwovibratingsuctionmethods[C]//Proceedingsofthe2008IEEEInternationalConferenceonRoboticsandBiomimetics，February21-26，2009，Bangkok，Thailand.IEEE，2009：1313-1318.作者简介：王坤，男，1982年出生，博士研究生。主要研究方向为小型仿生爬壁机器人。E-mail：wangkunggg@163.com李大寨，男，1967年出生，高级工程师。主要研究方向为智能机器人技术。E-mail：lidazhai@buaa.edu.cn