高考全国甲卷：《理科数学》2021年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷理科 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 ·2021年考试真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2021年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的.1、设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|1≤x≤5｝，则M∩N=（）3A、｛x|0＜x≤1｝3B、｛x|1≤x＜4｝3C、｛x|4≤x＜5｝D、｛x|0＜x≤5｝答案：B2、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%1C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C3、已知(1−i)2z=3+2i，则z=（）3A、−1−i23B、−1+i23C、−+i23D、−−i2答案：B4、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）（10√10≈1.259）A、1.5B、1.2C、0.8D、0.6答案：C5、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A、√722B、√132C、√7D、√13答案：A6、在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）A、B、C、D、答案：D7、等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲q>0，乙｛Sn｝是递増数列，则（）A、甲是乙的充分条件但不是必要条件3B、甲是乙的必要条件但不是充分条件C、甲是乙的充要条件D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B8、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86米，三角高程测量法是珠峰高程测量 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 之一。下图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A、B、C三点，且A、B、C在同一水平而上的投影A´、B´、C´满足∠A´C´B=45°，∠A´B´C´=60°。由C点测得B点的仰角为15°，BB´与CC´的差为100：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A´B´C´的高度差AA´﹣CC´约为（）（√3≈1.732）A、346B、373C、446D、473答案：B휋cos훼9、若α∈（0，)，tan2훼=，则tan훼=（）。22−sin훼A、√1515B、√554C、√53D、√153答案：A10、将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）。A、13B、25C、23D、45答案：C11、已知A，B，C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A、√212B、√312C、√24D、√34答案：A12、设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=a푥2+9푏.若f(0)+f(3)=6，则f()=（）。29A、−453B、−2C、74D、52答案：D二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。2x−113、曲线y=，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为________。x+2答案：5x﹣y+2=014、已知向量a=(3，1)，b=(1，0)，c=a+kb，若a⊥c，则k=_________。10答案：−3x2y215、已知F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，164且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为__________。答案：87휋16、已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件（f(x)−f(−))(푓(푥)−44휋푓())>0的最小正整数x为_________。3答案：26三、解答題解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生任选一题作答。（一）必考题17、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：机床一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400[1]甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？[2]能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?푛(푎푑−푏푐)2附：퐾2=（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）答案[1]由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150÷200=3/4；乙机床生产的产品中一级品的频率是：120÷200=3/5。400∗(150∗80−50∗120)2400[2]由于퐾2==≈10.256>6.635。270∗130∗200∗20039所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。718、已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{an｝是等差数列；②数列{√S푛｝是等差数列；③a2=3a1。注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。答案：情况一：选择①③为条件即数列푎푛为等差数列，且푎2=3푎1设等差数列푎푛的公差为d，由题意可知，푎1＞0，d＞0且푎2=3푎1=푎1+푑所以d=2푎1所以푎푛=푎1+(푛−1)푑=(2푛−1)푎1푛(푎+푎)所以푆=1푛=(n*2n푎)/2=푛2푎푛211所以√푆푛=n√푎1，√푆푛+1=(n+1)√푎1√푆푛+1−√푆푛=√푎1，为常数所以数列√푆푛为等差数列。情况二：选择①②为条件设等差数列푎푛的公差为d，则d＞0因为√푆푛为等差数列8所以2√푆2=√푆1+√푆3即2√2푎1+푑=√푎1+√3(푎1+푑)等式两边平方得：4(2푎1+푑）=푎1+3푎1+3푑+2√3푎1(푎1+푑)2即：4푎1+푑=2√3(푎1+푎1푑)22等式两边平方：4푎1−4푎1푑+푑=02也就是：(2푎1−푑)=0，即d=2a1所以a2=a1+d=3a1。情况三：选择②③为条件因为√푆푛为等差数列，且푎푛＞0所以可设√푆푛=Kn+b（k＞0）其中k，b为常数，kn+b＞0对任意n属于푁∗成立22所以：푆푛=(퐾푛+푏)，푎1=푆1=(퐾+푏)2N大于等于2时，푎푛=푆푛−푆푛−1=(2푛−1)푘+2푘푏22又因为a2=3a1，所以3푘+2푘푏=3(퐾+푏)解得b=0或者4k+3b=022当b=0时，a1=푘，n大于等于2时，푎푛=(2푛−1)푘2所以푎푛=(2푛−1)푘所以数列푎푛为等差数列当4k+3b=0时，b=4/3k，√푆1=K+b=﹣1/3k＜0，舍去综合，数列푎푛为等差数列。919、已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1。[1]证明：BF⊥DE；[2]当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？答案：[1]直棱柱ABC﹣A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形所以A1B1=B1B=AB=BC=2所以侧面BB1C1C为正方形取BC中点M，连接B1M和EM因为F为CC1重点，所以B1M⊥BF由已知BF⊥A1B1，且A1B1∩B1M=B1，所以BF⊥平面A1B1M由于E为AC中点，所以EM∥A1B1，所以EM∈平面A1B1M所以BF⊥DE。[2]由[1]可知，A1B1⊥BF，且A1B1⊥B1B所以A1B1⊥平面B1BCC110以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系设C（2,0,0）、A（0,﹣2,0）、B1（0,0,2）C1（2,0,2）、A1（0,﹣2,2）、E（1,﹣1,0）、F（2,0,1）、D（0,n,2）则向量EF=（1,1,1）、向量FD=（﹣2,n,1）设向量m⊥平面BB1C1C则向量m=（0,1,0）向量n⊥平面DEF，则向量n=（x,y,z）⃗⃗⃗⃗⃗由：{푛⃗∗퐸퐹=0푛⃗∗퐹⃗⃗⃗⃗퐷⃗=0푥+푦+푧=0得：{−2푥+푛푦+푧=03푥+(1−푛)푦=0得：{푦=3푧=−푥−푦得：푛⃗=（n﹣1,3,﹣n﹣2）设平面BB1C1C与平面DEF所称角为Q33cosQ=|cos<푚⃗⃗，푛⃗>|==√(푛+1)2+9+(푛−1)2√2푛2+2푛+1422设푦푛=푛+푛+7=(푛+1/2)+27/4所以当n=﹣1/2时，cosQ最大为3=√2√2∗27/4313此时sinQ最小为√=√33所以当BD=1/2时，sinQ最小为√3。131120、抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ。已知点M（2，0），且⊙M与L相切。[1]求C，⊙M的方程；[2]设A1，A2，A3，是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。答案：[1]由题可得，C：푦2=2푝푥，p＞0，点P（1,√2푝），Q（1,−√2푝）因为OP⊥OQ所以1﹣2P=0，2P=1所以抛物线C为：푦2=푥M（2，0），L：x=1且圆M与L相切所以圆M的方程为：(x−2)2+푦2=1。222[2]设A1（푦1，푦1）、A2（푦2，푦2）、A3（푦3，푦3）由抛物线及圆M对称性，不妨设푦1＞0①若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2则：A1（3,√3），A2（3,﹣√3）设A1A3：y﹣√3=k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k+√3=0因为AA与圆M相切所以−푘+√3=113√푘2+1√3푦3−푦111√3解得：k=，即퐾A1A3=22===3푦3−푦1푦3+푦1푦3+√3312所以푦3=0，即A3（0，0）此时，直线A2A3与A1A3关于x轴对称所以直线A2A3与圆M相切。②若A1A2，A1A3斜率均存在22则푦1≠1且，푦1≠3푦2−푦11퐾A1A2=22=푦2−푦1푦2+푦112直线A1A2：y﹣푦1=(푥−푦1)푦2+푦1即x﹣(푦2+푦1)푦+푦2푦1=0同设A1A3：x﹣(푦3+푦1)y+푦3푦1=0，直线A2A3：x﹣(푦2+푦3)푦+푦2푦3=0因为直线A1A2，A1A3均与圆M相切2(2+푦2푦1)2=11+(푦1+푦2)所以，{2(2+푦3푦1)2=11+(푦1+푦3)22(2+푦2푦1)=1+(푦1+푦2)即：{22(2+푦3푦1)=1+(푦1+푦3)22所以푦2、푦3关于y的方程：(2+푦푦1)=1+(푦1+푦)，222即(푦1−1)푦+2푦푦1+3−푦1=0的两个根。22푦13−푦1所以：푦2+푦3=−2，푦2푦3=2푦1−1푦1−1设M到直线A2A3距离为d。22(2+푦3푦1)则푑=2=1，所以直线A2A3与圆M相切。1+(푦1+푦3)13푎21、己知a＞0且a≠1，函数f（x）=푥（x＞0）。푎푥[1]当a=2时，求f（x）的单调区间；[2]若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围。答案：[1]f(x)定义域为（0，+∞）因为a>0且a≠1，푎−1푥푎푥所以f’(x)=푎푥푎−푥푎푙푛푎，且lna≠0(푎푥)2푎푎−1푎−푥푎−1푙푛푎(푥−)所以f´(x)=푎푥−푥푙푛푎=푙푛푎푎푥푎푥22当a=2时，f(x)增区间为（0，)，减区间为（，+∞)。푙푛2푙푛2[2]题目等价于f(x)=1在（0，+∞)上有且只有两个解当00푙푛푎所以x﹣푎＞0푙푛푎所以f’(x)＞0，所以f(x)=1至少有一个解所以a＞1此时lna>0，푎＞0푙푛푎1푎푎1−()푙푛푎푎푙푛푎푎푎푎将f(x)定义域改为[0，+∞)，此时f(0)=0，f()=푎=()>1=1푙푛푎푎푙푛푎푙푛푎又y=푥푎(a>1)在（0，+∞）上↑11−所以푎푙푛푎>푙푛푎1得到（1−)lna>ln(lna)，得到lna﹣1>ln(lna)（*）푙푛푎14令g(x)=x﹣1﹣lnx，x∈（0，+∞），g´(x)=1﹣0﹣1/x=(x﹣1)/x所以g(x)≥g(1)=1﹣1﹣ln1=0由a>1得到lna>0，g(lna)≥0푎所以f()>1푙푛푎所以a>1且a≠e1令b=푎푎，又a>1푥푥所以b＞1，则f(x)=()푎=()푎1푥푏푥푎푎1푥1푥1212由贝努力不等式得：푏푥=((푏2))2=((1+(푏2−1)))2>(1+(푏2−1)푥)=(푏2−1)푥22푎11当x>max{，}时，푏푥=(푏2−1)푥2>푥>0푙푛푎12(푏2−1)所以푥∈（0，1）푏푥得到f(x)∈（0，1）푎푎由f(x)单调性可知：f(x)=1，在（0，)和（)，+∞）上各有一解푙푛푎푙푛푎综上a取值范围为（1，e）∪（e，+∞）。（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22、[选修4一4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√2cosθ。15[1]将C的极坐标方程化为直角坐标方程；[2]设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足AP⃗⃗⃗⃗⃗=√2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点。答案：[1]휌2=2√2휌푐표푠푄，得到：푥2+푦2=2√2푥，即C：푥2−2√2푥+푦2=0。[2]C：(푥−√2)2+푦2=21푥−1푦设P（푥，푦)，则向量AP=（푥−1，푦)，向量AM=AP=（1，1）1111√2√2√2所以向量DM=向量OA+向量AM=（푥1+√2−1，푦1）√2√2又因为M在上푥+√2−1푦所以(1−√2)2+(1)2=2√2√2(푥+2−3)2푦2即：1√+1=222所以C1：(푥+√2−3)2+푦2=4풙=ퟑ−2+2푐표푠푄C1：{√，Q∈R푦=2푠푖푛푄圆心距CC1=3−√2−√2=3−2√2，半径分别为2和√2因为3−2√2<2−√2，所以C在圆C1内部，没有公共点23、[选修4一5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x﹣2|，g（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|.[1]画出f(x)和y=g(x)的图像；[2]若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围.16答案：[1]依题意得：3当x≤−时，2x+3≤0，2x﹣1≤0，g(x)=﹣(2x+3)+(2x﹣1)=﹣4231当−<푥<时，2x+3>0，2x﹣1<0，g(x)=2x+3+2x﹣1=4x+2221当x≥时，2x+3>0，2x﹣1≥0，g(x)=2x+3﹣(2x﹣1)=4。2[2]f(x+a)≥g(x)⟺|x+a﹣2|≥g(x)⟹|2﹣a+a﹣2|≥g(2﹣a)⇒g(2﹣a)≤015由图像可知2﹣a≤−⇒a≥22111111所以a+≥3⇒f(+a)≥g()⟺a+−2≥4⟹a≥2222211下证当a≥时，f(x+a)≥g(x)21当x≤−，g(x)≤0≤f(x+a)211当−≤x≤时，g(x)=4x+a221111x+a≥−+a≥−+=5⇒f(x+a)=|x+a﹣2|=x+a﹣2222111x+a﹣2﹣（4x﹣2）=a﹣3x﹣4≥−3∗−4=022综上，a取值范围为[11，+∞)。217