高考全国甲卷：《理科数学》2018年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2018年考试真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2018年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合Ax|x1≥0，B0，1，2，则AB（）A．0B．1C．1，2D．0，1，2答案：C2．（1i2i）A．3iB．3iC．3iD．3i答案：D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）-1-A．B．C．D．答案：A14．若sin，则cos23（）A．89B．797C．98D．9答案：B-2-52245．x的展开式中x的系数为（）xA．10B．20C．40D．80答案：C6．直线xy20分别与轴，轴交于，两点，点在圆xyABPx22y22上，则△ABP面积的取值范围是（）A．2，6B．4，8，C．232，D．2232答案：A7．函数yx4x22的图像大致为（）A.B.-3-C.D.答案：D8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，PX4PX6，则p（）。A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3答案：Ba2b2c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C（）4A．π2B．π3C．π4D．π6-4-答案：C10．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为A．123B．183C．243D．543答案：Bx2y211．设F，F是双曲线C：1（a0，b0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F作C的12a2b22一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF16OP，则C的离心率为A．5B．2C．3D．2答案：C12．设alog0.20.3，blog20.3，则A．abab0B．abab0C．ab0abD．ab0ab-5-答案：B二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则________．答案：0.514．曲线yax1ex在点0，1处的切线的斜率为2，则a________．答案：﹣3π15．函数fxcos3x在0，π的零点个数为________．6答案：316．已知点M1，1和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB90，则k________．答案：2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每题12分，每个 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。（一）必考题17．等比数列an中，a11，a54a3．（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和．若Sm63，求m．-6-答案：（1）解答过程如下；q设{an}的公比为，n1由题设得.anq由已知得q44q2，解得q0（舍去），q2或.q2n1n1故an(2)或.an2（2）解答过程如下；1(2)n若a(2)n1，则.Snn3m由Sm63，得(2)188，此方程没有正整数解.n1n若an2，则.Sn21m由Sm63得264，解得.m6综上，.m618．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：-7-超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？nadbc2附：K2，abcdacbd2PK≥k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1）解答过程如下；第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.-8-（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）解答过程如下；7981由茎叶图知.m802列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515（3）解答过程如下40(151555)2由于K2106.635，20202020所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C»D所在平面垂直，M是C»D上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．-9-答案：（1）证明过程如下；由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为C»D上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.（2）解答过程如下；以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为弧CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，AM(2,1,1),AB(0,2,0),DA(2,0,0)设n(x,y,z)是平面MAB的法向量，则-10-nAM0,2xyz0,即nAB0.2y0.可取.n(1,0,2)DA是平面MCD的法向量，因此nDA525cosn,DA，，sinn,DA|n||DA|5525所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.5x2y220．已知斜率为k的直线与椭圆lC：1交于A，B两点，线段AB的中点为43M1，mm0．1（1）证明：k；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．答案：（1）证明过程如下；2222x1y1x2y2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则.1,14343y1y2两式相减，并由k；x1x2xxyy得.1212k043xxyy3由题设知121,12m，于是.k①224m31由题设得0m，故.k22-11-（2）解答过程如下；由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则.(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0)由（1）及题设得.x33(x1x2)1,y3(y1y2)2m0333又点P在C上，所以m，从而P(1,，).|FP|422x2x于是.|FA|(x1)2y2(x1)23(11)2111142x同理.|FB|2221所以.|FA||FB|4(xx)3212故2|FP||FA||FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.设该数列的公差为d，11则.2②|d|||FB||FA|||xx|(xx)24xx212212123将m代入①得.k147所以l的方程为yx，代入C的方程，41整理得.7x214x041321故x1x22,x1x2，代入②解得.|d|2828321321所以该数列的公差为或.2828-12-21．已知函数fx2xax2ln1x2x．（1）若a0，证明：当1x0时，fx0；当x0时，fx0；（2）若x0是fx的极大值点，求a．答案：（1）证明过程如下；x当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，.f(x)ln(1x)1xx设函数g(x)f(x)ln(1x)，1xx则.g(x)(1x)2当1x0时，g(x)0；当x0时，.g(x)0故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，.f(x)0所以f(x)在(1,)单调递增.又f(0)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，.f(x)0（2）解答过程如下；（i）若a0，由（1）知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾.f(x)2x（ii）若a0，设函数.h(x)ln(1x)2xax22xax2-13-1由于当|x|min{1,}时，2xax20，|a|故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点当且仅当x0是h(x)的极大值点.6a1如果6a10，则当0x，4a1且|x|min{1,}时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点.|a|22如果6a10，则ax4ax6a10存在根x10，1故当x(x1,0)，且|x|min{1,}时，h(x)0，|a|所以x0不是h(x)的极大值点.x3(x24)如果6a10，则.h(x)(x1)(x26x12)2则当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，.h(x)0所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点1综上，.a6（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]xcos，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为（为参数），过点0，2且倾斜角为ysin-14-的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．答案：（1）解答过程如下：圆O的直角坐标方程为x2y21．当时，l与圆O交于两点．2当时，记tank，2则l的方程为ykx2．2l与圆O交于两点当且仅当||1，1k2解得k1或k1，即(,)或(,)．4224综上，的取值范围是(,)．44（2）解答过程如下；xtcos,l的参数方程为(t为参数，)．y2tsin44设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，tAtB2则tP，且tA，tB满足t22tsin10．2于是tAtB22sin，tP2sin．-15-xtPcos,又点P的坐标(x,y)满足y2tPsin.2xsin2,2所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，)．2244ycos22223．[选修4—5：不等式选讲]设函数fx2x1x1．（1）画出yfx的图像；（2）当x∈0，，fx≤axb，求ab的最小值．答案：（1）解答过程如下；13x,x,21f(x)x2,x1,yf(x)的图像如图所示．23x,x1.-16-（2）解答过程如下由（1）知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5。-17-