2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则(一试)[1]

2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第1页共5页2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本题满分64分，每小题8分）1．在△ABC中，若ccosB＝12，bsinC＝5，则c＝．答案：13．解：根据正弦定理，得csinB＝bsinC＝5，所以c2＝(ccosB)2＋(csinB)2＝132，从而c＝13．2． 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 f(x)＝x＋1(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是．答案：43－1．解：由f(x)＝x＋1(x+1)3＋1＝13(x＋1)＋13(x＋1)＋13(x＋1)＋1(x+1)3≥44(13)3，等号当且仅当13(x＋1)＝1(x+1)3，即x＝43－1．（本题也可求导）3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为．答案：R．解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，从而x的取值范围是R．4．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．解：因为Sn＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．当q＝1，Sn＝na1＞0成立．当q≠1，Sn＝a1(1－qn)1－q＞0（n＝1，2，3，…）恒成立，所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过3次检验找出2件次品的概率为．答案：310．解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．PrintedwithFinePrinttrialversion-purchaseatwww.fineprint.com2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第2页共5页若第1次，第3次找出次品的25×34×13＝110；若第2次，第3次找出次品的概率35×24×13＝110．若前3次均找出的是正品的概率35×24×13＝110，故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为110＋110＋110＝310．6．点A是椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1)的上顶点，B、C是该椭圆上的另外两点，且△ABC是以点A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的范围为．答案：(0，63]．解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y＝kx＋1(k＞0)，它与椭圆的另一个交点B的横坐标为－2ka21＋a2k2，从而点C的横坐标为2ka2a2＋k2．由AB＝AC，得(1＋k2)×4k2a4(1＋a2k2)2＝(1＋1k2)×4k2a4(a2＋k2)2，化简得：k3－a2k2＋ka2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k＝1．而k3－a2k2＋ka2－1＝(k－1)［k2－(a2－1)k＋1］＝0，要使上述方程有惟一的正数解k＝1，则(a2－1)2－4≤0，即1＜a≤3（a＝3时，方程的解惟一）．所以其离心率的取值范围是(0，63]．7．方程x＋2y＋3z＝2014的非负整数解(x，y，z)的个数为．答案：339024．解：方程x＋2y＝k的非负整数解(x，y)个数为［k2］＋1，所以，方程x＋2y＝2014－3z的非负整数解的个数为671∑z=0{［2014－3z2］＋1}＝671∑z=0(1007－2z)＋671∑z=0［z2］＋672＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．8．计算：2014∑k=1[－3＋8k＋14]＝．答案：40115．解：令t＝－3＋8k＋14，则k＝2t2＋3t＋1．PrintedwithFinePrinttrialversion-purchaseatwww.fineprint.com2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第3页共5页因此[－3＋8k＋14]＝n当且仅当2n2＋3n＋1≤k＜2(n＋1)2＋3(n＋1)＋1，n∈N．由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，所以2014∑k=1[－3＋8k＋14]＝30∑n=1n[2(n＋1)2＋3(n＋1)＋1－(2n2＋3n＋1)]－30＝30∑n=1(4n2＋5n)－30＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．二、解答题（本题满分16分）设数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，2Sn+1－3Sn＝2a1，n∈N*．（1）证明数列{an}为等比数列；（2）若a1，ap(p≥3)两项均为正整数，且存在正整数m，使a1≥mp－1，ap≤(m＋1)p－1，求an．解：（1）由题意2S2－3S1=2a1，得2a2－3a1=0．由a1≠0，得a2a1＝32．…………………………2分又2Sn+1－3Sn＝2a1，2Sn+2－3Sn+1＝2a1，得2an+2－3an+1＝0，n∈N*．由a1≠0，得an+1≠0，故an+2an+1＝32．所以数列{an}为等比数列．…………………………6分（2）由（1）知ap=a1×(32)p－1．因为a1，ap∈N*，所以a1=k×2p－1，k∈N*，从而ap=k×3p－1．…………………………10分由a1≥mp－1，ap≤(m＋1)p－1，得k×2p－1≥mp－1，k×3p－1≤(m+1)p－1，即m≤2×p－1k，m＋1≥3×p－1k，作差得1≥p－1k，即k≤1，所以k＝1．所以an＝2p－1×(32)n－1．…………………………16分PrintedwithFinePrinttrialversion-purchaseatwww.fineprint.com2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第4页共5页三、解答题（本题满分20分）已知动点A，B在椭圆x28＋y24＝1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P(－1，0)．（1）求线段AB中点M的轨迹方程；（2）求线段AB长度的最大值．解：（1）设点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x0，y0)．当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M的坐标为(－2，0)．当AB与x轴不垂直时，因为点A，B在椭圆x28＋y24＝1上，所以x128＋y124＝1，x228＋y224＝1．从而(x1－x2)(x1＋x2)8＋(y1－y2)(y1＋y2)4＝0，即y1－y2x1－x2＝－x02y0．因为线段AB的垂直平分线始终过点P(－1，0)，所以y1－y2x1－x2×y0x0＋1＝－1，从而x0＝－2．即线段AB中点M的轨迹方程为x＝－2，－2＜y＜2．……………………8分（2）当AB与x轴垂直时，AB＝22．当AB与x轴不垂直时，由（1）知，直线AB的方程为y－y0＝1y0(x＋2)．……………………12分由⎩⎨⎧y－y0＝1y0(x＋2)，x28＋y24＝1，得(y02＋2)x2＋4(y02＋2)x＋2y04＋8＝0．所以x1＋x2＝－4，x1x2＝2y04＋8y02＋2．从而AB＝(1＋1y02)×[16－4×2y04＋8y02＋2])＝8(y02＋1)(2－y02)y02＋2＝22×－[(y02＋2)＋4y02＋2]＋5，其中－2＜y0＜2，且y0≠0，所以AB＜22．所以线段AB长度的最大值为22．……………………20分PrintedwithFinePrinttrialversion-purchaseatwww.fineprint.com2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第5页共5页四、解答题（本题满分20分）设a，b，c，d都是整数，p＝a2＋b2是素数．如果p|c2＋d2，证明：c2＋d2p可以表示为两个整数的平方和．证明：因为p|c2＋d2，所以c2＋d2＝pm，其中m为整数．于是m＝c2＋d2p＝(c2＋d2)(a2＋b2)p2＝(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a－bi)p2，一方面，m＝(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a－bi)p2＝(ca－db)2＋(da＋cb)2p2，（1）另一方面，m＝(c＋di)(c－di)(a＋bi)(a＋bi)p2＝(ca＋db)2＋(da－cb)2p2，（2）……………………………………10分注意到(ca＋db)(ca－db)＝c2a2－d2b2＝(pm－d2)a2－d2b2＝pma2－d2(a2＋b2)＝p(ma2－d2)．因为p是素数，所以ca＋db和ca－db中至少有一个数能被p整除．………………………………15分当ca－db能被p整除时，令ca－db＝pt，t是整数，根据（1），因为m是整数，所以da＋cb也被p整除．令da＋cb＝ps，s是整数，则c2＋d2p＝m＝t2＋s2．当ca＋db能被p整除时，同理可证：c2＋d2p也可以表示为两个整数的平方和．………………………………20分PrintedwithFinePrinttrialversion-purchaseatwww.fineprint.com