川、面古妊盖古KK常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数/Γx)=∂(∂∈R)ybiM=bI)Xy=a和x=a的图像和走势O×2)、图象及其性质：函数/U)的图象是平行于X轴或与X轴重合(垂直于F轴)的直线一次函数f(x)=kx+b(A≠0,∂∈R)X两种常用的一次函数形式:斜截式一点斜式一、对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：、Ikl越大，图象越陡；Ikl越小，图象越平缓、定义域「R值域：R单调性:当k>Q时；当k
方法
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：直线y=k1x+b(Al≠0〉与y=k2x+b2(.k2≠0〉的位羞关系两宜线平行O心=上2且勺H点关于直线JCA)对称.求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数M=-(炉0,k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远)X图象及其性质:永不相交，渐趋平行；当Qo时，函数心)的图象分别在第一、第三象限；当k
总结
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各项容)+bx+c二次函数—般式：/(x)=UX2+bx+c(a≠0)顶点式：f(x)=a(x-k)2+h(a≠0)两根式:/(x)=a(x-Xl)(x-x2×α≠0)图象及其性质:①图形为抛物线，对称轴为_,顶点坐标为_②当“>0时，开口向上，有最低点当αvθ时OoOOO③当△>0时，函数图象与X轴有两个交点)；当<0时，函数图象与X轴有一个交点()；当二0时，函数图象与X轴没有交点。4/(x)=ax2+bx+C(U≠0)♦''./(x)=ax2(a≠0)定义域「R值域:当α>0时，值域为()；当“VO时，值域为()单调性:当">0时；当d<0时.奇偶性:b=∕≠0反函数:定义域围无反函数，在单调区间有反函数周期性：无补充：IXa的正/负；大/小与和函数图象的大致走向(所以，a决定二次函数的)2、二次函数解析式的确定=根据已知条件确定二冷l≡⅛⅞解桁式，通常利用待定系数法・用待定至裁法衣二卞函数的解析式必须根拥题目的特点，迭扌呈适当的形式，才能使解SS简便.一股来说，有如下JI种情况：1-∈⅛0⅛⅛物结上三点的垄标，一般送用一股式5已加抛物纟幻页点、或对称轴或晟夭(小〉(6,—般选用侦点式,已知拋物结与X轴的两个交点.的横坐标，一般送用两根式丿Q-WE4.己知拋物结上纵坐标相同的两点，半迭用丁页点式.的°、<Λ,fc-4>√sMJ✓*J∙∣∙J∙IJMii∙∕x.J八TM4/、丿∙∣∙J∙tXXJJ*TP4✓*J-∣-J∙fX‰J/^J'∕I¾∖Z'JUQef/、J∖∙∙∙ι••/✓'Jl1)I(~0f(x)=ax(a>O.a≠∖)I系数只能为1。图象及其性质：1、恒过(0,1),无限靠近兀轴；2、/(X)=/与f(x)=(-)τ=旷关于y轴对称；但均不a具有奇偶性。3、在y轴右边匚底大图高■；在y轴左边经底大图低Q——乘近关系定义域：R值域:(0,+oo)f(χ)=IogeS>1)X/W=IOg[X(Ovavl)单调性:当。>0时；当GVO时。奇偶性:无反函数:对数函数/(x)=IOgdx(a>OM≠1)周期性:无补充：1'比较幕式大小的方法：当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；当底数中含有字母时要注意分类讨论；3・当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较:对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较2、图形变换LOg=I和Log='In(X-I)和InX-I对数函数(和指数函数互为反函数)/(x)=IOg(IX(w>0,α≠l)图象及其性质:①恒过(1,0)I无限靠近y轴；/(x)=IOg“X与/(x)=IOgiX=-IogiiA关于X轴对称；a<>1时嘛大图低"；O0时；当GVo时；奇偶性:无反函数：指数函数f(x)=ax(a>^a≠l)周期性：无补充：1、比较对数大小的常用方法有：若底数沟同一常数，则可由对数因数的单调性直接进行判断若翩为同一字母，则按对数固数的单调性对底数进行分类讨诒・若M不同.真数相同'贝何用按底公式化为同底再进行比较.双钩函？(4)若詁、直券b、0、“等中间呈进行比鞍y=ax+-(a≥0.b>0)1Xf(x)=x+-(变形式)X图象及其性质：①［两条渐近线:②量值计算：定义域:值域:单调性:奇偶性：奇函数反函数:定义域无反函数周期性:无注意：双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法幕函数(考察时，一般不会太难)无论n取任何实数，鬲函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。不需要背记，只要能够快速画出n二士1,±1/2,±3„1/3,0,的图象就行注意：掌握y=f的图像；掌握5,-ax3+bX=+cx+d的图像(当a>0,当a<0时)；补充：利用数形结合，判断非常规方程的根的取值围。例：P303,例题10函数严M图象变换一・平移变换y=f(x)+b向上平*个单位y=f(x+a)q左平移a个里位y=f(χ)"向右a宼仝工y=f(x-a)二・对称变换向下平』H单位Iy二f(-x)与y=fM关于y轴对称；y∕x)-b(2)y=-fM与y=fM关于X轴对称；③P二-『(-力与y=fM关于原点对称；(g)y=f1(%)与y=f(Z)关于直线尸”对称；®y=∖fMIW图象可将丿二产(力的图象在X轴下方的部分以X轴为对称轴翻折到X轴上方.其余部分不变•®y=f(M)的图象：可将y=fM.XMo的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性•三、伸缩变换®y=AfM(力>0)的图象可将y=fM图象上每一点的纵坐标伸(∕l>l)缩(0<^0)的图象，可将y=fM的图象上每一点的横坐标伸(0<^1)到原来的丄，纵坐标不变而得到.a四、函数及图象(大致图象)典型例题精讲例1:已知y=fM的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f3的解析式是(A)图2—7C・—11D.-2x+lA.」天~—21x1+1B.F一2∣λ∣+1解析：当f(x)二J∕-2∣χ∣+ι时,/(χ)=√(∣χ∣-l)2=IIXI-Il=χ-∖α≥i)I-X(Oayl)l+x(-1≤λ∙<0)-(x+D(XV-I)≡2—S其图象恰好是上图・例2:画出函数y=lgk+l∣的图象•例3:要将函数F=U的图象通过平移变换得到F二丄的图象，需经过怎样的变换？解析5";黑)(X>-1)(XV-I)X-IX解析≡y=-^--l1先沿X轴方向向左平移1个单位，再沿F轴方向向上平移1个单位，即可得x-1到y二丄的图象•Λ例4:方程kx=√ι-u-2)2有两个不相等的实根，数乞的取值围•解析:设%=kx1>a=λ∕1-U-2)2②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心(2,O)I半径为1,如图2-9.易知当0/1与半圆相切时，kc严半I故当OW心斗时，直线与半圆有两个交点，即OWX斗时原方程有两个不相等的实根•例5:作函数『(力=χ+-的图象.分析:f3二χ+丄不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f(χ)的性质进行研究.解析:函数的定义域是(-8,0)U(0,+∞)1∙∙∙f(-力=-f(X),∙∙∙f(x)是(-8,O)U(0,+8)上的奇函数.又∖fMl=k+丄I二冈+丄22,当且仅当k∣二1时等号成立，XIxl・•・当乂>0时；当XVo时‘y≤-2；当x∈(OI1)时函数为减函数，且急剧递减；当x∈[1,+∞)时函数为增函数，且缓慢递增，又^≠0,y≠O,•••图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象,再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—IO所示.评述：熟悉各种基本函数图的“原型"是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性・与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用•例6：f(力是定义在区间[-G可上的奇函数，其图象如图所示・令gM=afM+⅛则下列关于函数g(X)的叙述正确的是(B)若冰0,则函数0M的图象关于原点对称若a=-1,-2o)或向下(方Vo)平移旳个单位，得g(x)=af(Z)+/?的图象•例6：(全国II)把函数y二&的图象按向量5=(2,3)平移，得到y=f(x)的图象则f(x)二(C)(A)eχz+2(B)ex+3-2(C)eκ^2+3(D)ex"-3例7：(模拟)如图为函数y二m+log”X的图象，其中m,n为常数,正确的是(D)下列结论(A)m<0,n>l(B)m>O,n>l(C)m>O10τo=V由yb=f(Ab)(D]二广（乂）・=>y'=f(2a-xf)=f[a+(a-x,)∖又∙/f(a+x)=f(a-x)即点D（匕V）也在y=f（%）的图象上.-y=fM的图象关于直线X=a对称.例14:画出函数y=√2x+l的图象，并利用此图象判定方程√2λ+1=%+a有两个不同的实数解时，实数刁所满足的条件•解析:图象是抛物线∕=2x+1在JZMO上的部分•把y=x+a代入∕=2x+l,得（x+d）'二2x+1,即Y+2（日一1）x+-1=0.由4二0得刁二1,此时直线与抛物线相切-又因抛物线顶点是（-*,0）,可知当直线过点（-*,0）时，即a=∣时直线与抛物线有两交点，故当1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解.
浙公网安备 33021202002483